CHAPITRE TROISIÈME

La projection DD' de CC sur une perpendiculaire à MM', représente la quantité dl sino; et si cette projection était réellement un élément de conducteur traversé par le courant I, cet élément serait sollicité par la même force / perpendiculairement au plan de

la figure. Désignons maintenant par dz la projection {dx cos ^) sur la direction de /, du déplacement imprimé à DD' qui, pour nous, remplace CC, et par dx la longueur DD' = dl sin e. Nous pouvons écrire

fdx cos 9 = AI.rfjr.rf2.

Or, le produit dx,dz est Taire du rectangle ayant pour base DD' = dx et pour hauteur le déplacement dz de CC suivant la direction de /. Les deux côtés de ce rectangle étant perpendiculaires aux lignes de force, son plan Test également, et le produit de son aire dx,dz par l'intensité h du champ, représente la valeur du flux de force magnétique qui le traverse et qui traverse également Taire du parallélogramme réellement engendré par le déplacement de l'élément CC. On a donc, en désignant par d5 le flux de force

fdx cos 9 = Irfgr.

D'où ce théorème important :

I^ travail produit par un élément de conducteur qui se déplace dans tin champ magnétique^ a pour mesure le produit de [intensité du courant qui le traverse^ par le flux de force magnétique coupé par l'élément pendant son déplacement.

Mais ceci pouvant s'appliquer à chacun des éléments d'un conducteur de longueur et de forme quelconques traversé par un courant qui a la même intensité dans tous ses points, on voit que le théorème peut s'énoncer d'une façon beaucoup plus générale en disant que le travail développé par un circuit quelconque qui se déplace

548 ÉXECTRO-MAGNÉTISME

dans un champ magnétique, est égal au produit de Tiniensité du courant par la somme de tous les flux de force magnétique coupés par chacun de ses éléments pendant qu'il passe d'une position à une autre.

405. — Autre forme de renoncé du théorème précédent. — Théorème du flux de force embrassé. — Supposons que le circuit soit constitué par une courbe fermée, déformable ou non, à laquelle on imprime un déplacement absolument quelconque dans un champ magnétique produit par des centres magnétiques distribués arbitrairement dans Tespace. Appelons 9^ le flux total de force magnétique embrassé par le circuit dans sa première position et 9*i la valeur de ce flux lorsque le circuit occupe la seconde position (en ayant soin de bien tenir compte du sens dans lequel les lignes de force traversent le plan du circuit). Il est évident que le flux embrassé par la courbe fermée qui forme le circuit, n'a pu augmenter ou diminuer qu'à la condition qu'un nombre do canaux de force égal à ^i — 5o passe de l'extérieur à l'intérieur de la courbe et coupe par conséquent le périmètre de celte courbe. C'est au moment où cette intersection a lieu, que se produit le travail mécanique qui a par conséquent pour mesure

d'où on conclut que : ie travail mécanique développé par un circuit fermé filiforme qui se déplace dans un champ tnagnétique, a pour mesure le produit de l'intensité du courant par la variation du flux total de force magnétique embrassé par ce circuit pendant le déplacement,

11 résulte de là, que le travail produit par un circuit déformable ou non qui, partant d'une certaine position, revient l'occuper exactement après avoir parcouru un trajet quelconque dans un champ magnétique, est finalement égal à zéro. Mais ceci n'est vrai qu'à la condition expresse que l'intensité du courant ainsi que les éléments du champ magnétique n'aient éprouvé aucune variation pendant le cycle décrit par le circuit. S'il en était autrement, le travail méca-

CaAPlTRE TROISIÈME 549

nique pourrait avoir une valeur différente de zéro. Elle serait dans tous les cas, égale à la valeur de l'intégrale / ld9,

406. — Exemples de calcul du travail produit par le déplacement d'un circuit fermé dans un champ magnétique. —

La seconde forme de l'expression du travail est précieuse au point de vue pratique, parce que le calcul direct du flux qui coupe le périmètre du circuit serait souvent très difficile et peut-être môme impossible, tandis que celui de la variation du flux enfermé dans ce périmètre, est aisé dans nombre de cas. Mais il ne faut pas perdre do vue que cette seconde forme est une conséquence algébrique de la première et rien de plus. La première, au contraire, exprime un fait physique sans lequel le travail mécanique ne se produit pas, et qui consiste en ce que les éléments du conducteur doivent se déplacer dans un espace doué de la propriété magnétique, et par conséquent couper les lignes de force par lesquelles nous représentons géométriquement cette propriété magnétique. Il est à peine besoin de dire d'ailleurs, que si le circuit était fixe dans l'espace et que les centres magnétiques fussent mobiles, le résultat serait rigoureusement le même, à la condition, bien entendu, que le mouvement relatif du circuit et des centres magnétiques, fût identique dans les deux cas. Nous allons donner quelques exemples de l'application de cette seconde formule.

Premier exemple. — Cherchons d'abord le travail produit par un fil rectiligne (fig. 202) CC qui glisse parallèlement à lui-môme sur deux conducteurs rectilignes parallèles AB, A'B' reliés entre eux par un troisième conducteur AA' dans lequel est intercalée une

source d'électricité P. Cet ensemble est supposé placé dans un champ magnétique uniforme dont toutes les lignes de force sont perpendiculaires au plan de la figure.

Le conducteur étant supposé placé d'abord dans la position CC, forme avec les côtés CA, AA', A'C, un circuit fermé dont nous n'avons pas besoin de connaître Taire, puisque c'est de Y accroissement du flux de force qui la traverse et non de la valeur absolue de ce flux, que dépend le travail produit. En passant de la position CC à la position DD' le conducteur mobile augmente Taire totale de la quantité CDD'C'C. Le travail C produit pendant ce déplacement a donc pour mesure le produit de Tintensité I du courant par l'accroissement de flux magnétique correspondant. On a donc

ç = Ix A X surface CDD'C'C, h désignant Tintensité du champ uniforme.

Si nous avions traité ce problème en nous appuyant directement sur la loi de Biot et Savart, nous aurions calculé d'abord la force appliquée au fil mobile CC en vertu de Taction du champ magnétique et nous aurions trouvé, en la désignant par F

F = AxIxCC'.

Puis nous aurions obtenu le travail en multipliant F (qui est dirigé dans le sens de la flèche empennée) par le déplacement de CC' dans le sens de la force, c'est-à-dire par CD ou CD', nous aurions eu ainsi

G = AxIxCCxCÏ) = AIX surface CDD'CC,

valeur identique à celle que nous venons de trouver.

Deuxième exemple. — Supposons maintenant que le conducteur, au lieu de glisser parallèlement à lui-même, tourne autour d'un axe C (fig. 203) perpendiculaire au plan de la figure et parallèle aux lignes de force du champ uniforme. Cet axe communique au moyen d'un frolleur B' et du conducteur B'DE avec l'un des pôles de la pile P. L'autre pôle est relié au frotteur B lequel appuie constamment sur la circonférence métallique BJKLB dont l'un des points C est soudé au conducteur CC et qui tourne par conséquent avec ce conducteur. L'ensemble formé par la circonférence

CnAPITRE TROISIÈME

BJKLB et le conducteur C'C, est supporté par un disque en matière isolante de façon que le courant, après s'être partagé entre les deux portions de circonférence BG et BLKJC, est obligé de traverser intégralement le conducteur mobile C'C. Ce dernier, étant placé dans un champ magnétique dont les lignes de force sont perpendi-

Fig. 203

culaires au plan de la figure, est sollicité en chaque point par des forces telles que MQ situées dans le plan de la figure et perpendiculaires à CC'; il tend donc à prendre un mouvement de rotation sous rinlluence des forces constantes qui agissent sur lui et dont nous allons calculer le moment.

Désignons par / la longueur du conducteur CC ; par a Tangle BCC décrit depuis la position initiale CB jusqu'à la position actuelle ce ; par h l'intensité du champ magnétique et par I celle du courant.

Le travail développé pendant que le conducteur décrit l'angle BCC, a pour mesure

C = 1 X A X aire BCCB = Ih

Mais ce travail a aussi pour expression le produit du moment Jll de la résultante de toutes les forces appliquées au conducteur CC par Tangle «, d'où

6 = Jll«.

Ces deux valeurs de 6 devant êlre égales, on a nécessairement

d'où

ai) =

Ihl'

C'est la valeur de la force qui, appliquée à la circonférence d'une poulie de rayon 1, produirait le même travail C lorsque la poulio tournerait d'un angle a.

Choix des imités. — Pour traduire ces formules en nombres, il faut exprimer l'intensité I en unités électro-magnétiques C.G.S., c'est-à-dire en dizaines d'ampères; h en unités magnétiques C.G.S. ; / en centimètres. L'angle a doit être considéré comme représentant le rapport de l'arc /m^aiV^ BC, au rayon CC; il doit donc être pris égal à 2ic ou 6,2832 lorsqu'on veut calculer le travail Ç développé pendant un tour complet. Quant au travail mécanique t5, il est exprimé en ergs (Un kilogrammètre vaut 98,100,000 ergs).

Fig. 204

Tkoisième EXEMPLE. — Uuc baguc métallique C (fig. 204), coupée en un point, dans laquelle on entretient un courant circulaire d'intensité I en faisant glisser deux de ses points très rapprochés dd sur deux conducteurs fixes (non représentés sur la figure) aboutissant à une pile, se meut parallèlement à elle-même, de façon que son centre décrive une droite qui se confond avec la ligne polaire d'un aimant droit AB. On demande d'évaluer le travail mécanique produit pendant ce déplacement, en admettant que dans sa première position C, la bague soit assez loin du pôle A pour ne recevoir qu'un flux do

CUAPITRE TROISIÈMB 553

force négligeable et que dans sa seconde position C, son centre coïncide avec le point neutre de l'aimant.

Si nous voulions appliquer la loi du flux coupé, le problème serait au-dessus de nos forces, pafcc que nous ne pourrions exprimer analyliquement la valeur de ce flux correspondant à chacun des déplacements successifs de la bague. La seconde forme de la valeur du travail (loi du flux embrassé), va nous permettre, au contraire, do résoudre immédiatement la question. En efl'ct, le travail produit étant égal à

il suffit de trouver la valeur de ces deux flux de force. Or on a, dans la première position

9^0 = 0, le travail se réduit donc à

Mais ^1 est précisément le flux total de force qui traverse Taimant en son milieu, c'est-à-dire 4^3^, 3 étant V intensité d'aimantation du barreau et s sa section (251).

Le travail cherché a donc pour valeur

Supposons par exemple qu'il s'agisse d'un gros électro- aimant de 20 centimètres de diamètre dans lequel il est facile d'obtenir un flux de 10 000 unités par centimètre carré, on aura

s = 314cent. carr.

grj = 314x10000 = 3140000,

et si la bague est traversée par un courant de 10 Ampères ou l unité C.G.S., le travail développé'aura pour valeur 3 140 000 ^ry^ ou environ 0^8™,032. Si l'on fait passer ainsi successivement 1000 bagues ou spires de la position C à la position C et qu'on rompe le courant dans chacune d'elles lorsqu'elle arrive en G', le travail total produit sera égal à 32 kilogrammètres. Nous verrons plus tard comment on peut réaliser cela pratiquement.

554 ÈLECTRO-MAGNÉTiSMB

407. — Ce dernier exemple montre bien Timportance pratique de la seconde forme de l'expression du travail mécanique développé par un circuit fermé qui se déplace dans un champ magnétique, et nous verrons, en traitant des moteurs électriques, à quel degré de simplicité il permet de ramener leur théorie, soit qu'ils servent à produire du travail mécanique au moyen d'un courant, soit qu'ils aient au contraire un but inverse.

La facilité avec laquelle ce théorème permet ainsi de résoudre des problèmes dans lesquels on élimine des quantités qu'il serait nécessaire de connaître si l'on se servait de la première forme (théorème du flux coupé), a eu pour résultat de faire perdre de vue son origine à quelques savants qui le considèrent comme un théorème indépendant et déduit directement de Texpiérience, attendu, disent-ils, qu'on ne peut jamais opérer que sur des circuits fermés. Certains d'entre eux lui appliquent même la dénomination de principe du flux embrassé.

408. — Digression sur les écrans magnétiques. — Nous n'adopterons pas cette manière de voir, d'abord parce que, au point de vue purement historique, il est certain que le théorème du flux coupé a précédé l'autre qui n'en est qu'une simple conséquence, comme on l'a vu, et ensuite parce que, si le second théorème présente de grands avantages pratiques, il a, en revanche, l'inconvénient de faire connaître les résultats bruts d'un calcul, sans donner aucune notion sur l'enchaînement des phénomènes intermédiaires qui entrent en jeu dans la question pour laquelle on l'utilise. Nous allons faire comprendre ceci par un exemple auquel nous avons fait allusion en parlant de la propriété du fer à laquelle on a donné le nom d'écran înagnétiçtie.

Supposons que dans le second exemple de Talinéa précédent (fig. 203), on ait entouré le conducteur radial tournant CC d'un tube de fer à parois très épaisses : les lignes de force du champ magnétique extérieur seront-elles affectées par sa présence ou bien, au contraire, conserveront-elles la même forme? Dans les ouvrages classiques actuels, on affirme nettement que leur forme est profondé-

ment modifiée et que, si le tube est très épais, aucune d'elles ne pénètre dans la région centrale occupée par le conducteur qui se trouve ainsi dans un milieu non magnétique ; les parois du tube seraient, au contraire, sillonnées par des lignes de force très denses affectant une forme sensiblement demi-circulaire comme on le voit (fig.205).

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Fig. 205

Cette manière de voir parait d'ailleurs corroborée par Taspect des fantômes magnétiques qui accusent un champ très énergique en dehors du tube et un champ presque nul àTintérieur, et enfin, il est bien certain que les parois du tube livrent passage à un flux magnétique intense, car si on coupe le tube en deux par un plan diamétral NN', perpendiculaire aux lignes de force et passant par le conducteur C, on constate que les deux moitiés NAN', NBN' du tube, adhèrent énergiquement Tune à Tau tre dans toute leur longueur. Si, au contraire, on fait la section longitudinale du tube suivant AB, par un plan parallèle aux lignes de force, on trouve que les deux moitiés ANB, AN'B se repoussent, ce qui prouve en A la présence d'un pôle conséquent et en B la présence d'un second pôle conséquent qui est de signe contraire. On conclut de là qu'une certaine portion du flux de force du champ extérieur se divise en deux nappes symétriques par rapport à AB et qu'elle reste confinée dans les parois métalliques du tube, qui lui offrent un chemin beaucoup moins résistant que l'air contenu dans la région intérieure occupée par le conducteur.

Nous n'admettons pas cette manière d'expliquer la répartition des lignes de force, et voici l'interprétation que nous lui donnons.

5oG ÉLECTRO-MAGNÉTISME

Comme nous Tavons déjà exposé dans la partie de cet ouvrage qui est relative à l'induction magnétique, nous pensons que, conformément à ce que Fon admet implicitement lorsqu'on démontre le Théorème de Green^ les actions émanées de chaque centre magnétique élémentaire, se propagent en ligne droite et comme si les autres centres n'existaient pas. Mais, si on cherche la résultante de ces actions indépendantes appliquées simultanément à une masse magnétique, la grandeur et la direction de cette résultante n'a aucun rapport simple avec les composantes. Les lignes de force, que Ton peut se représenter comme décrites par le libre mouvement dans l'espace de ta masse-magnétique-unité soumise aux forces simultanées qui émanent de tous les centres primitifs (cette masse-unité étant supposée dénuée d'inertie), prennent une forme extrêmement compliquée qui n'a plus le moindre rapport avec les lignes de force rectilignes des centres d'action élémentaires, bien qu'elles en soient déduites suivant les règles ordinaires de la statique. Gela posé, il devient facile de reconnaître que la présence du tube de fer donne naissance à deux systèmes de lignes de force qui sont : 1^ le système qui existait primitivement avant l'introduction du tube dans le champ ; 2° le système développé dans le fer lui-môme par induction magnétique et qui prend naturellement naissance dans la portion de Tespace où ce métal existe, puisque chacune de ses molécules est douée de la propriété de se transformer en un aimant énergique sous l'influence du champ extérieur. Ce second système est donc propre au fer; les flux de force qui le constituent ont été créés dans le métal lui-môme ; et ils n'appartiennent nullement au champ extérieur. Cest ce que tous les auteurs admettent expressément lorsque, exposant les principes fondamentaux de l'induction magnétique, ils écrivent l'équation :

Flux total intérieur = Flux du champ extérieur -+- Flux induit.

Ces deux systèmes de lignes de force émanant de deux systèmes matériels (le ou les aimants qui engendrent le champ magnétique, et le tube) coexistent, suivant nous, dans l'espace sans s'influencer et l'expérience suivante permet de séparer complètement Faction des aimants extérieurs de celle qui est due au tube de fer.

GflAPlTRS TROISIÈME

409. — Supposons que le conducteur tournant CC (fig. 203), au lieu de s'arrêter en G à une circonférence métallique contre laquelle frotte le balai B qui ramène directement le courant à la pile, soit courbé en C (fig. 206) suivant un arc de cercle CD', puis recourbé de nouveait en D' suivant un second rayon D'D de môme longueur que ce. Les extrémités C et D de ce circuit, étant à la môme dis-

Fip 206

lance du centre D de rotation du disque en bois qui sert de support, et communiquant avec deux frotteurs non représentés sur la figure, on comprend sans peine que si un courant est lancé dans ce système de façon à entrer en C pour sertir en D, les actions mécaniques produites par le champ magnétique sur les deux conducteurs identiques ce, D'D seront égales et inverses, les lignes de force du champ étant toutes d'égale intensité et parallèles à Taxe 0.

Mais, si on enveloppe le conducteur DD' d'un tube de fer FF', qui fasse corps avec lui, sans le toucher, le champ magnétique est profondément modifié en apparence dans la région où se trouve le tube, comme le montre le tracé graphique de la figuro 205; l'espace qui environne immédiatement le conducteur DD' paraît complètement dépourvu de lignes de force, tandis que les parois du tube sont sillonnées de lignes de force très nombreuses. Malgré ce changement considérable apporté au champ magnétique primitif, l'expérience montre que le système CC'D'D reste en équilibre quelles que soient Tintensité du courant, celle du champ magnétique et les dimensions du tube de fer.

Pour tirer de cette expérience des conclusions, relativement à la

5o8 ÉLECTRO^MAGNÉTISHB

grandeur des forces appliquées à chaque portion du circuit, remarquons d'abord que le tube de fer étant lié invariablement au circuit mobile CG'D'D, les actions exercées sur lui par les différentes parties de ce circuit sont, en vertu du principe de la réaction égale et contraire à l'action, accompagnées d'actions inverses qui leur font équilibre, de sorte que nous n'avons pas à en tenir compte. Il en est de môme des actions mutuelles des différentes portions du conducteur CC'D'D.

Il ne nous reste donc plus à évaluer que les forces développées par les aimants extérieurs qui engendrent le champ uniforme dans lequel se meut, en tournant autour du point 0, le système CC'D'D. On peut les réduire à quatre, savoir :

(a) Action du champ extérieur sur le conducteur CC — Nous avons vu qu'elle est mesurée par le moment d'une force qui a pour expression

(b) Action du champ sur l'arc de cercle CD'. — La force appliquée en chaque point de ce conducteur est perpendiculaire au plan passant par la direction du courant et de la ligne de force au point considéré ; elle est donc normale au conducteur CD' en chacun de ses points et passe par conséquent par Taxe de rotation 0. Il en résulte que Tensemble des forces appliquées à CD' est simplement équilibré par la résistance des pivots et ne produit aucune tendance à la rotation.

(c) Action exercée sur le tube de fer FF', — Ce tube est soumis à l'influence du champ magnétique principal engendré par les aimants extérieurs^ainsi qu'à celle du circuit fermé CCD'D. Ces deux influences produisent dans le tube une aimantation résultante, indépendante de l'angle qu'il décrit pendant sa rotation autour de l'axe 0, le champextérieur étant supposé uniforme. La rotation du lubeautour de l'axe ne peut donc donner lieu à aucune production de travail ; car s'il en était autrement, en le remplaçant par un aimant permanent identique à lui et en supprimant le circuit CCD'DC, on pourrait obtenir une production indéfinie de travail qui n'entraînerait aucune dépense d'énergie.