CHAPITRE PREMIER
tend vers la limite
dont elle diffère extrêmement peu. Ainsi lorsque ce rapport est égal
à -T-jr-î la valeur rigoureuse diffère à peine de 1,3 ^/o de la valeur
limite.
Or, nous avons vu (221) que l'action exercée par un aimant rectiligne, sur un pôle magnétique situé à une grande distance, sur une droite passant par les deux pôles de l'aimant, a pour expression
^tt) désignantle moment magnétique de Taimant ; q'y la quantité de magnétisme du pôle soumis à l'action de Taimant ; et x la distance du point neutre de Taimant au pôle mobile. Remplaçant g' par (i et T par a, nous voyons que cette expression présente la plus complète analogie avec celle qui représente Taction du courant circulaire sur le pôle mobile. Pour que ces actions soient égales, il suffit de poser
2fih gJIb fx a' ~ a' ' d'où on tire
Is = â\>.
373. — Equivalence d'un courant circulaire et d'un feuillet magnétique. — Ainsi donc, si on remplaçait le courant circulaire par un aimant perpendiculaire à son plan et dont le moment magnétique aurait pour valeur le produit k, l'action exercée sur le pôle P resterait exactement la môme. Nous pourrions d'ailleurs imaginer que l'aimant est constitué par deux quantités de magnétisme -+- f^', — f*' réparties sur deux surfaces polaires de section s séparées par un intervalle o. Le moment magnétique de cet aimant ayant pour mesure le produit 8^' et devant être égal à Is, on a l'équation
doù
Mais-^ est la densité magnétique à la surface polaire de Taimant,
c*est la quantité que nous avons désignée par 3 en parlant des feuillets magnétiques (233) ; on peut donc dire que le courant circulaire est équivalent, dans son action sur le pôle P situé à une grande distance, à un feuillet magnétique satisfaisant à la relation
qui devient, en remplaçant le produit 38 par la puissance 4> du
feuillet
Remarquons maintenant que si au lieu de supposer, comme nous Tavons fait, que le courant circulaire a un diamètre fini et que la distance a du pôle au centre de ce courant est très grande, nous supposons que le diamètre du conducteur circulaire est infiniment petit, tout ce que nous venons de dire sera rigoureusement exact quelque petite que soit la distance OP, parce que l'exactitude de nos
conclusions dépend seulement du rapport - et nullement de la grandeur absolue de Tune ou de Tautre de ces quantités. Nous pouvons donc dire qu'un courant circulaire infiniment petit est, dans les conditions que nous venons de définir, rigoureusement équivalent à un feuillet magnétique de môme surface dont la puissance serait exprimée par le même nombre que l'intensité du courant. On démontre facilementque le théorème est encore vrai quand le courant, au lieu d'ôtre circulaire, affecte une forme quelconque, pourvu que la surface embrassée soit infiniment petite.
374 — Action exercée par un circuit fermé infiniment petit sur un pôle magnétique situé dans son plan.— Supposons
maintenant que, au lieu d'ôtre située sur une droite perpendiculaire au plan de circuit circulaire et passant par son contre, le pôle magné-
CUAPITR& PREMIER 495
tique soit situé dans le plan même du circuit. Soit P le pôle magnétique (ig. 179\ Pô et Pc deux vecteurs infiniment voisins et aécrf le circuit fermé infiniment petit qui, au lieu d'être circulaire est composé de deux portions rcctilignes ab, de et de deux arcs de cercle ad, bc décrits du point P comme centre. Les portions rectilignes ab, de et les arcs curvilignes ad, bc étant infiniment petits, la surface abcd est un infiniment petit du second ordre. Désignons par r le rayon vecteur Pa = Prf ; par rfo l'angle infiniment petit «P3 des deux vecteurs, et cherchons la valeur des actions exercées par chacun des quatre côtés du quadrilatère abcd sur le pôle P, perpendiculairement au plan de la figure.
Nous pouvons éliminer immédiatement les côtés ab et de car ils sont situés sur des droites passant par P, et dans ce cas, la formule de Biot et Savart montre que l'action exercée est nulle.
L'action exercée par ad a pour valeur
, (/(/ s in Pac/
ul ^7-; 1
Va
ou, en remarquant que ad = /c/O, que Pâ = /• et que sin Pw3 = 1,
, rdO .jilrfO A — - = -i
L'action exercée par le côté bc a pour valeur, en remplaçant P^ par r-hdr,
jildQ
r -4- dr
Le courant qui parcourt bc étant de sens contraire à celui qui parcourt ad, ces actions sont aussi de sens contraire, de sorte que Taction résultante développée sur P est égale à
?* r-^-ar \ r r~\-dr/ i\r -\- dr)
ou, en négligeant dr qui est infiniment petit par rapport à r,
, dUr
Cette action étant proportionnelle au produit de deux infiniment petits du premier ordre, est un infiniment petit du deuxième ordre ;
DrPREZ, ÉLECTB* LNDUSTR. — T. I, F.\SC. 2
nous la désignerons donc par rf*/ et nous aurons, en la multipliant haut et bas par r
Mais et donc
dY = (xl
rdB = ad, dr = aby ad . au
Or, le produit ad,ab est précisément l'expression de la surface S du quadrilatère abcd. Donc enfin
^ ^ surface abcd __ aïs
375. — Comparons maintenant celle expression à celle de la force développée par un aimant AB sur un pôle magnétique b (fig. 180) situé à une grande distance sur la droite Ob perpendiculaire à cet aimant et passant par son milieu 0. Nous avons déjà fait un calcul
Fip. 180
analogue (274) et nous avons trouvé que l'action totale développée par les deux pôles de laimant, est parallèle à celui-ci et que, en désignant par fjL la masse magnétique de chacun des pôles de Taimant ; par 2X leur distance mutuelle ; par [i la masse magnétique du pôle isolé b\ par D — a' la distance de ce pôle isolé au centre de Taimant AB, la force totale dirigée suivant bd a pour valeur
Si on suppose que Taimant soit très petit par rapport à sa distance
