CHAPITRE DEUXIÈME

la quantité de chaleur dégagée dans ces conditions par le passage d'un courant, serait infinie, à moins que l'intensité du courant ne fût infiniment petite ; mais il est à peine besoin de dire que cette impossibilité de faire passer un courant d'intensité finie dans un fil de section infiniment petite, n'infirme en rien les résultats auxquels nous sommes arrivés. Dans la réalité, on devra considérer un conducteur comme étant composé d'une infinité de conducteurs filiformes de section infiniment petite et soudés entre eux comme les fils d'un câble. En appelant d^ la section infiniment petite d'un de ces conducteurs élémentaires et i la densité du courant que l'on se donne d'avance, le courant qui passe dans le fil de section da a pour valeur

td<7,

de sorte que la formule de Biot et Savart pourrait s'écrire, en introduisant la section du conducteur

__ [xidcds sin

11 faut remarquer que do étant une section infiniment petite, est un infiniment petit du second ordre, tandis que ds est du premier ordre, la force / est donc un infiniment, petit du troisième ordre.

Pour trouver la valeur de / sous forme finie, il faudrait, en général, rapporter le système conducteur à un système d'axes coordonnés et exprimer les quantités qui entrent dans cette formule en fonction des trois coordonnées de chaque point du système conducteur et faire au moins deux intégrations successives (si toutefois elles étaient possibles). Cela conduirait à des calculs inextricables pour obtenir simplement la valeur de l'action exercée sur un pôle magnétique, c'est-à-dire du champ magnétique en un seul point de l'espace. Dans la pratique, on a dû chercher des méthodes ou des expédients permettant de supprimer ou du moins de réduire considérablement les calculs dont nous venons de donner la très rapide énumération et on est arrivé, dans un certain nombre de cas simples, à trouver non seulement la valeur de /, mais aussi à déterminer la forme des lignes de force du champ magnétique d'un système conducteur.

Nous reviendrons plus loin sur ce sujet lorsque nous parlerons du potentiel d'un circuit fermé, mais nous voulons montrer tout de suite le parti que l'on peut tirer des flux de force pour éviter dans certains cas les calculs dont nous venons de parler.

Rappelons d'abord que Ton peut décomposer l'intensité du champ magnétique en un point de l'espace comme on décompose une force, puisque cette intensité est, par définition, la force appliquée àl'unité do masse magnétique. Cela étant, représentons par un petit rectangle C (fig. 198) de base dx et de hauteur dz la section infiniment petite d'un conducteur de longueur dy perpendiculaire au plan de la

Fig 198

figure. Nous pourrons considérer l'intensité du champ magnétique dans lequel se trouve cet élément de conducteur, comme étant la résultante de trois intensités différentes rectangulaires entre elles ; les deux premières OA et OB situées dans le plan de la figure et par conséquent perpendiculaires à la direction du courant ; et la troisième perpendiculaire au plan de la figure et dirigée suivant l'élément de courant. Cette dernière, en vertu de la formule démontrée au n° 395^ ne donne lieu à aucune action mécanique sur l'élément de conducteur; nous pouvons donc la laisser de côté. Quant à la composante du champ représentée par OA, elle donne lieu à une force perpendiculaire au plan formé par cette composante et par l'élément de courant et qui, par conséquent, se projette suivant la direction OB de la seconde composante ou suivant son prolongement. L'intensité /oB de cette force est donnée par l'expression

foB = Ô\Xlxdy.

Mais l'intensité totale I du courant qui traverse la section du conducteur, a pour valeur le produit de cette section par la densité i du

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courant, donc

dy étant la dimension du conducteur dans le sens perpendiculaire au plan de la figure, le produit dy,dz représente Taire de la face du conducteur qui est perpendiculaire à OA; tandis que le produit OA.df/,dz représente le flux de force magnétique qui la traverse. Nous pouvons donc écrire, en désignant ce flux élémentaire par ?oa

ou en remplaçant /ob par /, et ©oa par ^x

/", = idxoj,.

Le produit dx peut se mettre sous une autre forme ; en effet, le courant total I qui traverse la section droite C étant égal au produit de cette section par la densité i du courant, on a

1 = idx,diy d'où

idx = -T7-. , az

Mais -7— est l'intensité du courant que traverserait un élément do

conducteur ayant la môme épaisseur dx que celui que représente la figure, mais dont la hauteur dz serait égale à Tunité. Si nous représentons cette intensité par 1,, nous aurons l'expression très simple

dont nous allons faire immédiatement une application intéressante.

403. — Efiort longitudinal exercé sur un solénoldepar un aimant placé à son intérieur. — Supposons d abord que le sole-

hcTTrY«TYrrrinnrYYTYrrrTTYnTrnl

UXXJUUUUJUULJUUUUUUUtJUUJUULU. ) P C

Fig. 199

noïde AB (fig. 199) soit très long pçir rapport à son diamètre, et qu'au lieu d'un aimant il y ait en M un simple pôle magnétique

placé sensiblement au milieu du solénoïde. Pour appliquer la formule que nous venons de démontrer, nous supposerons que l'axe des z se confond avec Taxe AB du solénoïde et nous allons chercher l'expression de la somme des forces élémentaires appliquée au pôle M suivant celte direction. Nous venons de voir que chaque élément de conducteur exerce, sur le pôle M, une force qui a pour mesure le produit de Ii par le flux de force magnétique qui traverse normalement la face du conducteur parallèle à la direction de cette force. Par conséquent, la somme de toutes ces forces élémentaires est égale au facteur commun Ii (dont la valeur est la même en chaque point du solénoïde si l'enroulement est bien régulier) multiplié par la somme de tous les flux de force qui traversent normalement la surface intérieure du solénoïde. Or, le théorème de Green nous permet d'évaluer immédiatement la valeur de ce flux. En désignant par fji la quantité de magnétisme contenue dans le pôle M, nous savons que le flux total qui traverserait la surface du solénoïde, si elle s'étendait indéfiniment à droite et à gauche de M, aurait pour valeur ir^ii (207). Par conséquent, l'eff'ort total exercé parallèlement à AB par un solénoïde indéfini, a pour expression

Cette expression étant indépendante de la position de M lorsque le solénoïde est indéfini, s'appliquera également à un nombre quelconque d'autres masses magnétiques, et si ces masses étaient solidaires les unes des autres, la résultante de toutes ces forces parallèles serait égale à leur somme l'F ; on aurait donc, en désignant par -|Ji la somme de toutes les masses magnétiques

IF = Aizllui.

Si le solénoïde ne peut être considéré comme infiniment long, on peut tenir compte de la manière suivante de l'erreur commise en appliquant la formule ci-dessus.

Le flux de force total émané d'un pôle magnétique M (fig. 200) de masse (i, a pour valeur ir^a. Mais lorsque la surface qui enveloppe la masse magnétique M n'est pas entièrement fermée, il faut déduire de ce flux celui qui traverse les ouvertures pratiquées dans la sur-