CHAPITRE PREMIER

invariable. La masse-unité m est au contraire mobile et nous supposerons qu'on l'amène de la distance très grande i où elle est d abord représentée, à la position a. Pendant ce trajet, le travail développé

par la masse M,, a pour valeur - — > xi désignant la distance Mia.

On trouverait de même que le travail dû à MsMs ... etc. est égal à Z^', /M? ...etc.

Xi Xi

Mais on démontre en mécanique que lorsque plusieurs forces agissent simultanément sur un point mobile, on peut les remplacer par une force unique ou résultante capable d'imprimer au point mobile un mouvement identique à celui qu'il prend sois l'action des forces qui agissent réellement sur lui, et que, en outre, pour un déplacement quelconque du point mobile, le travail de la résultante est précisément égal à la somme des travaux des composantes.

Les forces émanant des masses Mi, M2, M3, M4, et agissant toutes sur la masse-unité m, peuvent donc être remplacées par une résultante unique, dont le travail est, par définition, le potentiel du système MiMîMsMi lorsque la masse m est amenée d'une très grande distance au point a. Or ce travail étant égal à la somme des travaux des composantes, il en résulte que le potentiel du système M1M2M3M4 a pour valeur :

Xx X% XX

c'est-à-dire la somme des potentiels correspondant à chacune des masses composantes.

Le potentiel de l'ensemble des masses Mi, M2, M3, M* correspondant à une autre position b de la masse m, aurait de même pour valeur

x'ijo'tx/z désignant les distances du point b aux masses Mi, M2, M3. De sorte que, en définitive, lorsque la masse-unité m est amenée de a et i, le travail développé pendant ce trajet (différence de potentiel des positions a et 6) a pour valeur :

r'^{^-^)Mi-é:)

c'est-à-dire la somme des différences de potentiel propres à chacune des masses du système.

29. — Expression de la force au moyen de la différence de potentiel. — La différence de potentiel de deux points a et b étant, par définition, égale à la valeur du travail développé par la masse-unité lorsqu'elle passe de la position a à la position 6, il est facile, lorsque cette différence de potentiel est connue ainsi que la distance oé, de trouver l'intensité de la force qui, dirigée suivant ab, produirait le même travail.

Soit F cette force et dl la distance ab, le travail qu'elle produirait a pour valeur ¥dl. Ce travail étant égal à la différence de potentiel d^, on a

dC = Fd/, d'où ¥=—'

al

Si les deux points a et 6 étaient situés sur une surface équipotentielle, le travail rfb serait nul et par conséquent la force F ellemême serait nulle quel que grand que fût dl. Or la masse m étant cependant soumise à un effort qui est la résultante de toutes les forces émanant des masses Mi, Mj, Ma, Mi, le travail développé par son déplacement dl sur la surface équipotenticlle, ne peut être nul que si ce déplacement est perpendiculaire à la résultante. D'où on conclut que la direction de la résultante de toutes les forces qui agissent sur la masse m, est perpendiculaire à la surface équi potentielle ; d'où ce théorème :

La force qui agit sur une inasse soumise à l'action des forces éînanantd'un système de înasses Mi, Mj, ... est en cha/)ue point de l'espace normale à la surface équipotenticlle guipasse par ce point.

On voit de suite que si toutes les masses agissantes se réduisent à une seule, ou à une sphère homogène, les surfaces équipotentielles seront elles-mêmes des sphères ayant même centre que la masse agissante.

Si au lieu de se mouvoir tangentiellement à la surface équipolentielle, la masse m se déplaçait perpendiculairement à cette surface, elle traverserait successivement des surfaces équipotentielles SiS* et le travail aurait encore pour valeur F„ X o.b (fig. 7).