CHAPITRE PREMIER

les considérer comme parallèles, et admettre que Taire de la section faite suivant OP est la projection orthogonale de Taire de Télément ds sur un plan perpendiculaire à OM. On a donc :

Aire de la section suivant OP = ds cos 6,

de sorte qu'en représentant par dm Taire interceptée sur la sphère de rayon SS' = 1

section suivant OP ds cos 6 r*

T d'où

et enfin

Si la puissance * du feuillet est la même dans tous ses points, on

peut intégrer immédiatement et écrire la valeur V — Y de la

différence de potentiel

ou en remplaçant * par sa valeur 3X

V — V' = 3Xju>.

Si la masse-unité m est d'abord située à une très grande distance, Tangle solide w est très petit ; mais il grandit à mesure qu'elle so rapproche de la face AA' du feuillet et devient égala 2^^ lorsqu'elle se confond avec AA', quelle que soit la forme du contour du feuillet.

Le travail total qu'il faut appliquer à la masse-unite\ pour l'amener d'une très grande distance sur la face kS! chargée de magnétisme de même signe ^ a donc pour valeur

235. — Potentiel d'un feuillet magnétique déduit du potentiel électrique. — Contradiction apparente. — - C'est surtout quand nous traiterons de TÉlectro-magnétisme et de TElectrodynamique, que Ton verra la simplification apportée dansi la solution de beaucoup de problèmes par la considération des feuillets magnétiques. Mais nous pouvons dès à présent l'appliquer à une question

que nous avons déjà résolue par d'autres moyens, et la comparaison des résultats obtenus nous permettra de nous faire dès à présent une opinion sur les avantages de la nouvelle méthode et de montrer qu'il ne faut pas l'appliquer sans certaines précautions. Nous avons vu que la capacité C d'un condensateur, la quantité Q d'électricité répartie sur chaque armature et la dififérence de potentiel V des deux armatures, sont liées par l'équation

Q = GV d'où ^ = T-

Lorsque le condensateur est formé de deux plans parallèles de surface S, séparés par une lame d'air d'épaisseur très faible X, on a

4'ïrA

d'où on tire, en remplaçant C par cette valeur dans Téquation qui donne V

Or le rapport ^ est précisément la quantité d'électricité dont est

chargée l'unité de surface de chaque armature, et qui correspond dans le feuillet magnétique, à la densité magnétique que nous avons désignée par 3.

L'identité algébrique des lois du magnétisme et de celles de l'électricité statique, identité que nous avons signalée plus haut avec

insistance, nous autorise donc à écrire en remplaçant ^ par 3

V == 471X3, tandis que nous venons de trouver

V = 2itX3.

Il est nécessaire d'expliquer cette contradiction.

Pour cela reportons-nous à la démonstration de la formule relative au condensateur sphérique (79), et remarquons que la valeur de V est obtenue en amenant la masse-unité d'une très grande distance jusqu'à la sphère intérieure et en lui faisant traverser Tinter-

CnAPITRE PREMIER 293

valle compris entre les deux sphères. Or dans le condensateur sphérique^ cet intervalle est la seule région de l'espace dans laquelle la masse-unité développe un travail mécanique, l'action mécanique extérieure, d'un condensateur à sphère concentrique, étant nulle. Nous avons ainsi trouvé (82) l'équation

Qi = -T^ ou V = 4Tr8Q„

dans laquelle 8 représente la distance des deux armatures (X dans le feuillet magnétique), et Qj la charge par unité de surface (3 dans le feuillet magnétique) .

Lorsque nous avons étendu nos formules au cas où les deux sphères concentriques devenant de plus en plus grandes, on peut considérer comme plane une portion limitée de leur surface etappliquer ainsi ces formules au condensateur formé de deux plans^ nous avons admis implicitement que le potentiel V de l'ensemble des deux armatures, était le travail développé par la masse-unité lorsqu'elle traverse l'espace compris entre les deux armatures. Or, la valeur de ce travail est indépendante du trajet suivi par la masse-unité, pour passer d'une armature à l'autre, puisque chaque armature étant formée d'un corps bon conducteur, possède un potentiel de valeur constante dans toute son étendue. Donc, si la masse-unité se rend d'une des armatures à l'autre, soit par le chemin le plus court, soit en suivant un trajet abcde tel que celui indiqué sur la figure 130, le travail V sera le môme. Supposons donc qu'elle suive ce second trajet, et qu'elle s'éloigne d'abord de l'armature A jusqu'à une très grande distance b.

Pendant ce déplacement ab, le travail développé sera, en vertu de l'équation que nous avons démontrée en parlant du feuillet magnétique et qui s'applique aussi au condensateur,

*x2ir, dans laquelle * doit être remplacé par le produit de la densité électrique -^- > par l'écart des armatures 8.

La masse-unité étant arrivée au point b duquel on voit Farmature

A SOUS un angle solide w extrêmement petit, on lui fait décrire une seconde portion bcd du trajet total dont la forme est quelconque mais qui est assez éloignée du condensateur pour que ce dernier soit vu

Fig. 130

constamment sous un angle très petit, de sorte que le travail déve- • loppé par la masse-unité pendant cette seconde portion du trajet, soit négligeable.

A partir du point rf, la masse unité suit un trajet rectiligne qui ramène surTarmature B, pendant lequel le travail développé est égal et de même signe que dans la première portion ab du trajet, de sorte que le travail total développé, ou différence de potentiel des deux armatures, a pour valeur

V = 2x2ir* = 4it*,

c'est-à-dire précisément ce que nous devons trouver pour faire disparaître la contradiction apparente signalée plus haut.

236. — Ce^ considérations rétrospectives sur Les condensateurs nous montrent que si l'action extérieure d'un condensateur à lame d'air composé de deux sphères concentriques, est nulle, il n'en est pas de même de celle d'un condensateur plan, car le potentiel de ce dernier ayant pour valeur, lorsque la masse-unité reste constamment