CHAPITRE PREMIER

aussi bien à un condensateur et donnerait alors le flux total de force électrique qui traverserait un plan situé entre les deux armatures.

241. — Attraction exercée par Tune des faces d'un leuillet magnétique sur l'autre face. — Remarquons que le flux total de force ayant pour valeur le produit d'un nombre abstrait 2-^ par une quantité de magnétisme ou d'électricité, suivant les cas, n'est lui-même qu'une quantité de magnétisme ou d'électricité. Le flux de force n'est donc nullement une force, en dépit du nom qu'on lui a donné.

Pour rendre plus claire la différence qui existe entre la force et le flux de force, nous allons calculer l'attraction exercée par Tune des faces d'un feuillet magnétique sur l'autre face, ou par l'une des armatures d'un condensateur à lame d'air sur l'autre armature (problème que nous avons déjà résolu quant au condensateur), en nous servant pour cela de la définition même du flux de force.

Par définition^ le flux de force qui traverse une surface très petite placée dans un champ de forces^ a pour valeur la composante normale à celte surface, de la force qui la solliciterait si elle était chargée, par unité de surface de l'unité de quantité électrique, ou de l'unité de quantité magnétique, ou môme de l'unité de masse matérielle suivant que le champ de forces est dû à des masses électriques, magnétiques ou matérielles (pesanteur). Le théorème de Green nous permet de calculer la somme de toutes ces composantes normales, lorsqu'au lieu d'un élément de surface, on considère une surface finie de forme absolument quelconque. Or, dans le cas particulier où cette surface est un plan, toutes les composantes normales sont évidemment parallèles et, en vertu des lois de la statique, leur somme est alors égale à leur résultante.

Il résulte de là, que la composante normale de la résultante de toutes les forces appliquées à un plan placé dans un champ de forces et chargé d'une unité de quantité, électrique, magnétique ou pondérale par unité de surface, est exprimée par le même nombre que le flux total de force qui traverse le plan. Mais, si la charge du plan était de q unités par unité de surface, il est évident que toutes les

forces élémentaires et par conséquent la composante normale de la résultante, seraient multipliées par q ; de sorte que, en désignant par Fn cette composante normale et par ^ le flux total de force qui traverse le plan, on a Téquation

Fn = 7^.

Mais q étant la charge du plan par unité de surface, on a, en désignant par S sa surface et par Q la charge totale supposée uniformément répartie :

q = - dou ^n = -^.

Mais le flux de force qui traverse la face attirée, a pour valeur le produit de la charge totale (électrique, magnétique ou pondérale) de la face attirante par Fangle solide 27r sous lequel on voit la face attirée de chacun des points de la face attirante, puisqu'on suppose ces deux faces extrêmement rapprochées. Ce flux reste donc égal à la moitié seulement du flux total (iirQ) émis dans toutes les directions. Nous avons donc, en remarquant que dans le feuillet magnétique comme dans le condensateur, la charge totale de la face attirante est numériquement égale à celle de la face attirée,

gî = 2uQ d'où Q = -^

et

2irS

Mais nous avons représenté par 3 la densité magnétique -^- à la surface du feuillet (231 et 23S), de sorte que Ton a

valeur identique à celle que nous avons déjà trouvée (230) pour l'attraction exercée par les deux pôles d'un aimant sur une armature de fer qui est en contact parfait avec eux. Il doit en être ainsi, car cet ensemble équivaut évidemment à deux feuillets magnétiques égaux, puisque les surfaces terminales de Taimant et de Farmature sont chargées de quantités égales de magnétisme et séparées par un intervalle extrêmement petit. Quant à Fanalogie complète de celte expression

CflAPITRE PREMIER 301

et de celle qui représente raltraction des armatures d'un condensateur, nous Tavons déjà démontrée (231).

242. — Ce que nous voulions montrer une fois de plus, c'est Tutilité du symbole géométrique auquel on a donné le nom de flux de force, en même temps que Terreur que Ton commettrait en le confondant avec les forces réellement développées par les actions électriques, magnétiques ou gravifiques. L'équation

nous fait voir en effet que les efforts mécaniques développés, dans le problème qui nous occupe, sont proportionnels au carré du flux de force. Ce qui nous fait insister sur ce points c'est qu'on entend dire souvent que certains corps sont conducteurs du flux de force magnétique^ expression dénuée de sens, puisque le flux de force, comme nous l'avons dit, est un symbole géométrique parfaitement défini et non pas une entité matérielle ; et que, par une singulière contradiction, les corps auxquels on applique cette expression incorrecte, sont précisément ceux à l'intérieur desquels l'effort /^, exercé par l'unité de quantité magnétique sur une quantité égale placée à l'unité de distance, est plus petit que dans l'air.

Le flux de force est une expression algébrique créée de toutes pièces pour simplifier certains calculs, absolument comme le potentiel, et il est aussi singulier de dire qu'un corps conduit le flux de force, que si Ton disait que les corps conducteurs conduisent le potentiel électrique ou que les diélectriques conduisent le flux de force électrique. Cependant, comme cette expression a été adoptée par beaucoup d'auteurs pour traduire certains faits, nous l'emploierons nous-même à l'occasion, mais sans y attacher aucun sens concret et uniquement pour abréger le langage.

On peut dire que le Potentiel, le Flux de Force et le Feuillet magnétique sont les trois instruments principaux de recherches et de démonstration dans le domaine de l'Electricité et du Magnétisme, et qu'ils permettent de résoudre des problèmes qui, traités par les

méthodes ordinaires employées en mécanique, présenteraient des difficultés . insurmontables ou conduiraient à des solutions d'une telle complication qu'elles seraient sans aucune utilité.

243. — Travail développé par un Feuillet qui se déplace dans un champ magnétique. — Un champ magnétique ne pouvant exister que grâce à la présence de corps doués de la propriété magnétique, nous supposerons d'abord que le feuillet se meut dans un milieu où se trouvent répartis de tels corps que, pour abréger, nous appelons masses magnétiques, et que nous supposerons sans dimensions. Un système magnétique quelconque peut toujours être considéré en effet, comme composé d'un nombre infiniment grand de ces masses magnétiques, à la condition, comme nous le savons, qu'il contienne autant de masses positives que de masses négatives, de façon que la somme algébrique des quantités de magnétisme qui le composent, soit nulle.

Considérons maintenant une seule de ces masses contenant une

quantité de magnétisme égale à q. Supposons que le feuillet situé

d'abord à une très grande distance du système magnétique, s'en

approche à une distance que nous définirons par l'angle solide oj

sous lequel le feuillet est vu du point de masse q. Le travail développé

pendant le déplacement, par l'action mutuelle du feuillet et de la

masse q^ est q fois aussi grand que si cette masse était égale à

l'unité, c'est-à-dire q fois aussi grand que le potentiel du feuillet.

Mais nous avons vu que ce potentiel a pour valeur 4>a). Le

travail développé par Taction mutuelle du feuillet et de la

masse y, est donc égal à ♦wy. Mais le produit wy de l'angle

solide sous fequel on voit le feuillet du point y, par la quantité q

de magnétisme contenue dans le point, est précisément le flux de

force émané du point et reçu par le feuillet (Théorème de Green).

En le désignant par f, nous aurons donc pour la valeur t du travail

cherché

Une seconde masse magnétique çr', donnerait lieu à une équation identique

ClUriTRE PREMIER yu3

On voit immédiatement que, en écrivant cette équation autant de fois qu'il y a de masses magnétiques dans le système magnétique considéré, et en ajoutant membre à membre toutes les équations ainsi obtenues, on aurait

ou pour abréger

La somme des travaux d'un nombre quelconque de forces qui agissent sur u» corps, étant égale au travail de leur résultante, il vient, en désignant par 6 le travail total accompli par le feuillet lorsqu'on l'amène d'une très grande distance à sa position actuelle,

Il importe de remarquer que Ton ne peut pas remplacer ici 2/ par le flux total de toutes les masses y, q\ q" parce que les angles w, w', a>% ... varient avec la position de chaque masse.

On voit que la position du feuillet par rapport au système magnétique, est définie par les angles solides sous lesquels on le voit de chacune des masses magnétiques agissantes. Cela constitue donc un véritable système de coordonnées qui diffère absolument du système de plans coordonnés ordinairement employé dans les problèmes de mécanique, et permet d'exprimer le travail total Î5 sous la forme si simple que nous venons de trouver.

Supposons maintenant que le feuillet passe d'une position à une autre, ce déplacement correspondra à la production d une certaine quantité de travail et, en vertu d'un principe que nous avons souvent invoqué, ce travail est indépendant du chemin suivi par le feuillet pour passer de la première position à la seconde.

On peut donc supposer que le feuillet retourne d'abord de sa première position jusqu'à une très grande distance du système, pour revenir de là à sa seconde position. La diff'érence des travaux accomplis dans ces deux trajets est précisément égale au travail cherché. Nous aurons donc, en désignant par Ci le travail accompli par le feuillet lorsqu'on l'amène de l'infini à sa première position, par tT» le travail accompli lorsqu'on l'amène de l'infini à la seconde position

304 MÂQKÉTISME

et par © le travail cherché,

b = "5| — Cl

ou, en remplaçant ^j et Ç^ par leur valeur en fonction des flux de force reçus par le feuillet dans chacune de ses deux positions successives,

C = <ï>2/i - <PIf\ = 4>(iy, - 2A) .

Ce qu'on exprime en disant que : Le travail accompli par un feuillet qui se déplace dans un champ magnétique^ est égal au produit de la puissance * du feuillet par la variation du flux de force qui le traverse,

244. — Il résulte de là, que si le feuillet se déplace d'une petite quantité, et que pendant ce déplacement, la somme des flux de force qu'il reçoit n'éprouve aucune variation, le travail accompli sera nul. Ceci exige, puisque le déplacement est fini, que la résultante des forces mécaniques (nous employons cette expression pour qu'on ne les confonde pas avec les flux de force) appliquées au feuillet soit nulle. Le feuillet est donc en équilibre dans les positions pour lesquelles un petit déplacement n'entraîne aucune variation du flux total de force qu'il reçoit du champ, c'est-à-dire pour lesquelles ce flux total est un maximum ou un minimum. Abandonné librement à lui-même, le feuillet tend donc toujours à se placer dans une région du champ où le flux total qu'il en reçoit a la plus grande valeur possible.

Toutes ces conséquences du calcul se vérifient parfaitement lorsqu'on observe les mouvements d'une aiguille aimantée placée dans le champ d'un aimant.

245. — Travail dû au déplacement relatif de deux feuillets magnétiques. — Considérons deux feuillets magnétiques que nous désignerons par A et B. Nous pouvons regarder chacun d'eux comme plongé dans un champ magnétique créé par l'autre, et calculer, au moyen de la formule précédente, le travail dû à un déplacement quelconque imprimé au premier.