Tubes de force. — Canaux de force. — Si en déplaçant

DEFBB, éLBCTR. INDOSTR. — T. I, FASC. 1. 3

ainsi la tige CD du pendule le long d'une ligne de force, nous faisons croître en même temps le côté du carré AB de façon à maintenir constante la valeur de /, le petit plan AB (fig. 12) engendrera une pyramide quadrangulaire à axe curviligne, jouissant de la propriété que le flux total de force y est constant, tandis que le flux de force par centimètre carré y est variable.

Si le plan, au lieu d'être carré, avait affecté la forme circulaire, le volume engendré par le mouvement de ce petit plan, prendrait le nom de tube de force. L'avantage de la forme carrée consiste en ce que Ton peut juxtaposer autant de canaux de force que l'on veut sans perte de place, de façon à en avoir dans toutes les directions possibles. Si chacun d'eux donne passage à un flux de force total constant et égal à une dyne (qjtt de gramme j, le plan-unité ayant une

masse de un gramme par centimètre carré, et qu'il soit nécessaire de juxtaposer 1000 canaux de ce genre pour remplir en tous sens l'espace dans lequel sont situées les masses agissantes, on dira que le flux total de force du système des masses attractives est égal à 1000 unités.

34. — Appliquons ce qui vient d'ôtre exposé à un cas très simple en cherchant la valeur du flux total de force d'une sphère homogène de masse M. Nous savons que l'attraction exercée par une sphère homogène sur une masse m de dimensions très petites par rapport à

elles, a pour valeur

^ Mm

CriAPlTRE PREMIER 35

X ôtant la dislance du centre de la sphère à la masse m qui, dans le cas actuel, affecte, comme nous l'avons dit, la forme d'un plan sans épaisseur sensible dont la masse est égale à 1 par unité de surface; et /i désignant l'attraction exercée par l'unité de masse (réduite à un point) sur l'unité de masse à l'unité de distance.

Fig. i3

On a donc, en appelant a le côté du petit carré soumis à l'attraction (fig. 13) et dont le plan est perpendiculaire à Oc = jr,

Cette équation montre immédiatement que le flux total d'un canal de force ne peut conserver une valeur constante /, que si le rap-

port -y est lui-même constant. Si cette condition est remplie, il est

facile de voir que le carré ab engendrera en se mouvant perpendiculairement à Oc, une pyramide à base carrée dont le sommet est en et dont l'axe est Oc.

Le nombre total des canaux de ce genre que Ton peut placer autour de la sphère, est égal au nombre des carrés de surface a* que l'on peut placer sur la sphère de rayon x.

Or, la surface de cette sphère, étant égale à if^x^^ le nombre des

carrés de surface a* sera égal à — 5 — Le flux total de force de la masse sphérique M, aura donc pour valeur

3S. — S'il y avait plusieurs sphères agissantes au lieu d'une seule, le calcul ne serait plus aussi simple, et il faudrait procéder de la manière suivante. Remarquons d'abord que les canaux de force sont normaux aux surfaces équipotenlielles qu'ils traversent et que leur nombre restant invariable entre deux surfaces équipotenlielles voisines, il en résulte que le flux total de force est constant quelle que

soit la distance à laquelle on se place du groupe des masses agissantes. Si donc nous pouvions trouver la valeur de ce flux total correspondante à une surface équipotentielle très éloignée du groupe des masses agissantes, cette valeur conviendrait également pour toutes les autres surfaces. Or, cela est facile, car il est presque évident qu'une surface équipotentielle très éloignée de l'ensemble des masses agissantes diffère d'autant moins d'une sphère que la distance est plus grande. Il suffit, pour s'en rendre compte, de considérer seulement les deux masses actives les plus éloignées l'une de l'autre MiM* (lig. 14), parce que l'erreur commise sera alors la plus grande possible.

"^^ p. x^ ~irj"-~::::r-:z-— ^

Fig. 14

Si l'on décrit du milieu de la droite M1M4 une sphère d'un rayon Om extrêmement grand par rapport à MiMi, l'action exercée par Mi sur m, aura pour valeur :

De même l'action émanant de M4, sera

xî Ces deux forces faisant un angle extrêmement petit, leur résultante

différera infiniment peu de leur somme :

Mais les distances Xi et x^ diffèrent aussi infiniment peu de la distance moyenne Om = xo \ on voit, en définitive, que nous ne commettrons qu'une erreur relative (*) infiniment petite en prenant

(1) On sait que Verreur relative est le rapport de Terreur absolue à la Taleur exacte de la quantité considérée. Elle est dite infiniment petite, lorsqu'on est maître de la rendre aussi petite que Ton veut.