THÉORÈME DE GREEN

36. — Soit M une masse matérielle douée des propriétés de la gravitation, ab le côté d'un petit plan carré perpendiculaire au plan de la figure (fig. 15), chargé d'une couche matérielle uniformément répartie sur sa surface d'étendue ds et sollicité par la masse M suivant la droite Me qui passe par son centre de gravité. Nous supposerons que la couche matérielle dont il est recouvert, possède une masse égale à l'unité par unité de surface; de sorte que sa masse totale est exprimée par le même nombre que sa surface ck. Nous supposerons le côté ab de ce carré très petit par rapport à la distance Me.

Nous allons calculer l'intensité de la force à laquelle le plan est soumis dans la direction c¥ de la normale élevée en son milieu. Nous

pourrons procéder pour cela de deux manières différentes qui devront évidemment nous conduire à la même valeur.

l** La force attractive / exercée par M sur ab suivant la direction 3/c, a pour expression :

Mm

fi désignant Tattraction des deux points matériels ayant une masse

Fig. 15

égale à Tunité et séparés par une distance égale à Tunité de longueur; m étant la masse du plan ab^ masse représentée comme nous venons de le dire par le môme nombre que sa surface ds ; et X étant la distance Me. La valeur de / peut donc s'écrire

Cette force Mc^ peut être décomposée en deux autres : la première tangente au plan ab et dont nous ne nous occuperons pas, la seconde cF perpendiculaire à ce plan et qui a pour valeur / cos McF, d'où en désignant par a l'angle McF et par /"„ la force cF :

Décrivons maintenant du point M comme centre deux sphères, Tune de rayon Mr = 1, l'autre de rayon Me = x. Les aires interceptées sur ces deux sphères par la pyramide quadrangulaire d'ouverture très petite dont le sommet est en M et dont la base est Ile petit carré ab^ seront entre elles comme les carrés des distances Mr = 1, Me z= X. Si on désigne par rfw l'aire interceptée sur la sphère de rayon 1, Taire interceptée sur l'autre de rayon x aura

pour valeur :

x^dfii.