CHAPITRE PREMIER

Mais il est facile de voir que cette petite surface sphériquc représentée sur la figure par Tare de cercle ac\ peut être considérée comme égale à la projection orthogonale du carré ab sur un plan perpendiculaire à Me. Donc

x*a«» = as cos a, a ou : — = au> ;

et enfin : A- = fiUdtv,

2^ Cherchons maintenant une seconde expression de la composante normale /«. Supposons pour cela que nous permettions au carré ab un déplacement très petit perpendiculaire à son plan et qui Tamène en c^b\ Soit dn la grandeur de ce déplacement, qui sur la figure est représenté par cc\

Le travail développé par la force /^ pendant ce petit déplacement,

est égal à

A X dn.

D'autre part, le potentiel absolu moyen du petit carré ab peut être considéré comme égal à celui de son point milieu c, c'est-à-dire comme étant égal au travail développé par M sur la masse-unité venant d'une très grande distance jusqu'en c. Par conséquent, si le plan ab avait une masse égale à Tunité, le travail accompli pendant le déplacement cc\ aurait pour expression û?G ; rf5 étant la différence des potentiels «n c et ç'. Mais comme la masse du plan ab est égale non pas à Tunité, mais à ds, le travail a pour valeur :

diSXds,

Egalant cette valeur du travail à la précédente, nous aurons :

/;. Xdn = d^X ds,

d'où :

d^ds

Or le premier mode de calcul de /«, nous avait conduit à l'équation :

On a donc :

^ds = f,Mdi^.

dn

Le premier membre est le produit de la surface ds du petit carré ab par la force qui serait appliquée perpendiculairement à son plan s'il

avait une masse égale à l'unité. C'est le flux de force qui entre par r élément de surface ds normalement à cet élément.

Le second membre est proportionnel au produit de la masse agissante M par Télément de surface intercepté sur la sphère de rayon 1 par la pyramide d'ouverture très petite construite sur l'élément ds comme base.

Supposons que la masse M soit complètement enveloppée par une surface de forme quelconque et décomposons cette surface en une infinité d'éléments ds auxquels nous appliquerons la formule que nous venons d'établir. Nous aurons donc autant d'équations que d'éléments de surface ds.

En ajoutant ensemble tous les premiers membres de ces équations,

le résultat de cette addition représenté par le symbole S -^ ds^ nous

fera connaître la somme de tous les flux de force entrant dans la surface entière et perpendiculaires à cette surface en chacun de ses points.

La somme des seconds membres S/jMrfw est facile à trouver.

En efl'et, /iM étant un facteur constant, on peut écrire :

S^Mrfu) = ^MSrfa>.

Mais Srfw étant la somme de toutes les aires élémentaires découpées sur la sphère de rayon 1, par les petites pyramides quadrangulaires juxtaposées qui ont pour base les éléments ds de la surface enveloppante, on a évidemment :

Srfto = 47:,

donc, on a l'équation suivante due à Green :

an '

Mais nous avons vu (34) que i^/^M représente précisément la valeur du flux total de force émané de la masse M tel que nous l'avons défini et l'équation ci-dessus montre qu'il est égal à la somme de tous les flux de force qui entrent normalement à cette surface quelle que soit sa forme et la position du point M à son intérieur.

37., — Il résulte de là, que s'il existait une seconde masse Mi à