CHAPITRE DtâUXIÉME

point d un corps électrisé, la quantité d'électricité répartie sur l'unité de surface en ce point. Si par exemple on a une quantité d'électricité égale à dix unités C.G.S. sur un centimètre carré, on dira que la densité électrique en ce point est égale à dix.

Si nous considérons une sphère creuse métallique de rayon R chargée d'une quantité d'électricité Q, la charge sera répartie uniformément sur toute la sphère et la densité électrique en un point

sera égale à ^, S étant la surface de la sphère. Mais S = inR»,

donc la densité électrique en un point est :

Proposons-nous de trouver l'effort p exercé sur l'unité de surface de la sphère par cette charge électrique. Pour cela, nous allons mettre à profit l'identité des lois élémentaires des actions électriques avec celles de la gravitation universelle et calculer d'abord la pression d une couche liquide matérielle répartie sur une sphère creuse dénuée de masse.

Considérons sur la sphère dont le rayon intérieur est Ko (fig. 21) une surface élémentaire UqÔq dont l'aire est égale à l'unité et soit Of/h = h l'épaisseur de la couche liquide uniforme qui couvre toute

âu-iu

Fig. 21

la sphère. L'effort exercé sur une couche de liquide infiniment mince ai, faisant partie du petit cylindre considéré, est dû à la différence des efforts exercés sur lui par deux sphères concentriques : Tune qui lui est extérieure et qui est représentée par la zone annulaire comprise entre Ra et R^ai, l'autre qui lui est intérieure et qui est représentée par la zone couverte de hachures comprise entre Ra et Ro/io. Or, comme nous l'avons déjà dit, la résultante de toutes les forces exercées par une sphère creuse homogène sur un point intérieur est nulle ; donc la couche infiniment mince ab est soumise à

une force attractive qui ne dépend que de la seconde zone sphérique lUaoRa; l'action de cette dernière sur la couche ab qui lui est extérieure est égale au produit de la masse totale de la zone sphérique comprise entre Ro et R par la masse de la couche ai, divisé par le carré du rayon R de cette couche. L'attraction exercée sur la couche ab aura donc en définitive pour valeur :

f}lL\iadx

—Ri—'

dx désignant l'épaisseur de la couche; / Tattraction exercée par Tunité de masse sur Tunité de masse à Tunité de distance; M la masse totale de la zone sphérique comprise entre R et Ro; \l la masse de Tunité de volume du liquide; a Taire de la base ab du cylindre.

On peut remplacer R^ par RJ sans erreur appréciable; quant à M, masse de la couche sphérique liquide comprise entre Ro et R, sa valeur diffère très peu du produit de la surface de la sphère de rayon Ro par la distance x de la couche ab à la surface de cette sphère. Nous écrirons donc :

M = 47:jjlRjj:.

Donc l'action exercée sur la couche d'épaisseur dx^ a pour valeur :

dF = fAnii^axdx.

En faisant varier j: de à A, et en ajoutant toutes les valeurs de dF correspondantes à ces variations, on trouve :

F = ^f-Kii^ax^.

Donnons à j: la valeur h, la formule devient :

F = 2fr.ix^ah\ Nous pouvons mettre le second membre sous la forme :

mais mh est la masse matérielle du cylindre qui a pour base l'aire a et pour hauteur h; en désignant cette masse par m, on voit que la formule devient :

a d'où on tire en divisant les deux membres par a

4 = HtÏ-