CAPACITÉ
OBSERVÉE
CALCULÉE
|mm.
975. Il reste enfin à étudier l'état permanent quand les pertes par l'air ne sont pas négligeables.
D'après la formule (7) du n° 957, le potentiel V0 au milieu d'un fil, dont l'une des extrémités communique avec le sol et dont l'autre est au potentiel Ylt a pour expression
en posant
v i Il
,-pl
■ii
Si les potentiels sont connus, on en déduit pour y, en ne prenant que la racine positive, laquelle est la seule admissible,
V iV02
On peut , dans deux expériences successives avec des fils de môme nature et de longueurs différentes, déterminer le rapport qui existe entre le potentiel V0 au milieu du fil et le potentiel V4 à l'extrémité; on aura ainsi, par les équations (5) et (2), deux moyens de calculer la valeur du coefficient (3, et la concordance des résultats sera une vérification des formules.
M. Gaugain a opéré de cette manière sur deux cordonnets de soie bien homogènes dont les longueurs étaient 4 et 8 mètres. La conductibilité de ces cordonnets était tellement faible, qu'il fallait plus d'une demi-heure pour que le potentiel au milieu du
fil de 8 mètres cessât de croître d'une manière appréciable. Le potentiel de la source étant représenté par 52, les potentiels de points milieux ont été 18,7 pour le fil de 4 mètres et 9 pour le iil de 8 mètres, tandis que, si l'influence de l'air eût été négligeable, le potentiel du point milieu eût été représenté par 26 dans les deux cas.
En prenant pour unité la longueur (4 mètres) du fil le plus
court, on déduit de la première expérience e2= 2,355. Si l'on
calcule, d'après cela, le potentiel au milieu du fil le plus long, on trouve 9,08 au lieu de 9 qu'a donné l'observation directe. Dans ce cas, l'intensité du courant est exprimée par la formule
M = — es — = cs3V. -, -, .
dx 1 eïl—e-?1
Si l'on déterminait expérimentalement les valeurs de l'intensité en deux points, on aurait encore une autre manière de calculer le coefficient (3 et de vérifier la théorie.
976. État variable. — Les problèmes relatifs à l'état variable présentent de grandes difficultés, tant au point de vue expérimental qu'au point de vue théorique. Un des plus simples que l'on puisse se poser est celui-ci : un conducteur cylindrique et homogène de dimensions données étant mis en communication, d'une part avec le sol et, d'autre part, avec une source d'électricité constante dont le potentiel est connu, déterminer le temps qui s'écoule jusqu'au moment où le potentiel en un point du conducteur prendra une valeur déterminée. On pourra appeler durée de propagation l'intervalle de temps ainsi défini.
Le problème peut être subdivisé en deux autres. On peut demander que ce potentiel atteigne une valeur absolue déterminée, ou une fraction déterminée du potentiel limite qui convient au même point dans l'état permanent. Il y a donc lieu de considérer deux durées de propagation, l'une absolue et l'autre relative ; cette dernière sera le temps nécessaire pour atteindre une fraction déterminée du potentiel limite.
M. Gaugain a étudié ce phénomène sur des fils de coton, ou sur des colonnes d'huile, par des méthodes analogues à celles que nous avons déjà indiquées. Dans le cas le plus simple où les
déperditions par l'air sont négligeables, il a constaté que la durée de propagation, absolue ou relative, est en raison inverse du coefficient de conductibilité et de la section du conducteur, proportionnelle au carré de la longueur et au coefficient de charge.
Si donc on représente par A un coefficient constant, la durée de propagation, absolue ou relative, peut être exprimée par la formule
es
dans laquelle les différentes lettres ont les significations que nous leur avons données plus haut (955). Ces résultats sont parfaitement d'accord avec la théorie d'Ohm. En effet, la formule (11) du n° 958 montre que la valeur du potentiel en un point reste la même dans différentes expériences lorsque le seul facteur qui renferme le temps atteint la même valeur. Si donc l'expérience est réalisée dans des conditions telles que l'on
a2/ ait — - = A, le potentiel sera le même.
es On en déduit, en remplaçant a*2 par sa valeur—,
es
L'expérience montre encore que la durée de propagation relative est indépendante du potentiel de la source ; cela résulte aussi de la formule d'Ohm, puisque la valeur de U et celle du potentiel limite sont toutes deux proportionnelles au potentiel de la source. Il n'en est pas de même pour la durée de propagation absolue; la formule montre que le problème est alors beaucoup plus complexe.
Si la déperdition par l'air n'est pas négligeable, on voit immédiatement que la durée de propagation, absolue ou relative, doit être augmentée, et il est facile de montrer aussi qu'elle croît plus rapidement, toutes choses égales d'ailleurs, que le coefficient de charge et le carré de la longueur du fil.
977. Ces résultats peuvent être généralisés et appliqués, par exemple, à toutes les expériences dans lesquelles on a utilisé les
fils télégraphiques pour déterminer la vitesse de propagation de l'électricité. Si l'on entend par là le temps nécessaire pour que le fil atteigne son état limite, ce temps est infini en théorie. Si on le détermine, en pratique, par la condition que le potentiel en un point ne diffère pas scnsihlement du potentiel limite, la valeur obtenue dépendra de la précision avec laquelle on évaluera la différence des deux potentiels, ou l'intensité du courant, et l'on pourra obtenir des durées extrêmement différentes, suivant le degré d'approximation auquel on s'arrêtera. Enfin, la durée de propagation n'est pas mieux définie si l'on observe le moment où l'électricité devient appréciable au point considéré, par le courant ou par le potentiel, parce que l'apparition de l'électricité semblera plus ou moins rapide, suivant le procédé à l'aide duquel on appréciera l'état électrique du fil.
La question se complique encore davantage si le fil éprouve des déperditions, soit par le contact de l'air, soit par une suite de dérivations qui s'effectuent dans toute sa longueur, comme celles que produisent les poteaux d'un fil télégraphique aérien, soit par un milieu ambiant autre que l'air, comme pour les fils souterrains ou les câbles plongés dans la mer. Dans ce dernier cas, en particulier, les fils sont entourés d'un milieu parfaitement conducteur dont ils ne sont séparés que par une couche isolante de faible épaisseur ; le coefficient de charge est alors très-grand, la déperdition est loin d'être négligeable et la propagation doit, en général, paraître beaucoup plus lente.
Le problème de la vitesse de propagation de l'électricité, que l'on s'est proposé souvent de résoudre par expérience, n'est donc pas défini d'une manière simple, comme pour le son ou la lumière. D'après la théorie d'Ohm et les recherches de M. Gaugain, il n'y a pas lieu de s'étonner des divergences considérables que présentent les résultats obtenus par différents observateurs (444), parce que les conditions dans lesquelles ils se sont placés n'étaient pas directement comparables.
978. Relations qui existent entre les théorèmes d'électricité statique et les lois de propagation des courants. — NOUS avons VU
(243-251) qu'il existe des relations très-simples entre les lois de propagation de la chaleur, par conductibilité, et les lois de distribution des forces électriques dans un milieu isolant. Comme
la propagation de l'électricité dans un milieu conducteur repose sur les mêmes lois fondamentales que la propagation de la chaleur par conductibilité, il en résulte aussi que la propagation de l'électricité et la distribution des forces dans le problème correspondant d'électricité statique doivent présenter les mêmes corrélations. Considérons des corps At, A2, A.... maintenus à des potentiels constants Vt, V2, V3...; supposons deux expériences dans lesquelles ces corps soient séparés d'abord par un milieu conducteur de l'électricité, puis par un milieu isolant. La distribution des potentiels dans le milieu intermédiaire est exactement la même dans les deux cas. Dans le premier, le flux d'électricité est normal à chacun des corps considérés A4, A2, A3..., et reste normal à toutes les surfaces de niveau intermédiaires ; la quantité qui s'écoule par un élément de surface de l'un de ces corps rentre dans un autre corps par un élément correspondant de surface. Dans le second cas, la force électrique est normale en chaque point de la surface des conducteurs An A2, A....; les lignes de force sont des orthogonales aux surfaces de niveau situées dans le milieu isolant, et les quanlités d'électricité répandues sur deux éléments correspondants sont égales et de signes contraires. En résumé, les forces dans le problème d'électricité statique varient exactement suivant les mêmes lois que les flux d'électricité dans le problème corrélatif.
Considérons, en particulier, les deux armatures A et 1> d'un condensateur fermé, maintenues aux potentiels Vx et Y2. La force électrique, sur un élément de surface de l'armature intérieure A, est proportionnelle à la densité correspondante (161); la somme des forces est donc proportionnelle à la charge totale M. Cette charge totale M est proportionnelle à la différence des deux potentiels Vj—^V,, et à une fonction 9 qui dépend de la forme et de la distance des deux armatures. D'autre part, si les armatures À et B sont maintenues aux mêmes potentiels et séparées par un milieu conducteur, il s'écoulera de l'une à l'autre une quantité d'électricité proportionnelle à la somme des forces considérées, c'est-à-dire à la charge M du condensateur et à la même fonction <p. Le flux électrique et la charge du condensateur sont donc dans un rapport constant.
