Formoles relative» à la torsion des fils. — V Quand UH

point matériel assujetti à se mouvoir sur une courbe est soumis à une force dont la composante langentielle est proportionnelle à la distance du mobile à un point fixe, distance comptée le long de la courbe, ce mobile décrit de part et d'autre de sa position d'équilibre des oscillations isochrones, quel que soit l'écart initial ou l'amplitude.

En effet, soit m la masse du mobile M (fig. 7), et la distance

OA du point de départ à la position d'équilibre, distance comptée le long de la courbe ; X la dislance OM du mobile au point 0 à une époque quelconque / ; la composante tangenlielle F de la force a pour ex-

«) Phil. troM. abndged, vol. XVIII, p. 388 (1798).

{*) Le mémoire de Cavendish renferme la note suivante : « M. Coulomb a appliqué la môme méthode à 1 étude de petites attractions dans un grand nombre do cas. Mais Mitchell m'avait parlé, avant la publication des expériences de Coulomb, de sou projet d'exécuter des expériences analogues. »

pression

F = Kmar.

L espace parcouru est (a — x). On sait que l'accélération tan- C^ntielle est égale à la dérivée de la vitesse par rapport au temps, ou à la dérivée seconde de l'espace parcouru. On a donc au^bi

F = m(a^xY'=—fnx'\

ce qui donne

La fonction qui satisfait à cette équation est

x=zacost\K,

la constante étant nulle si Ton compte le temps à partir du moment où le mobile est en A. On voit d'après cette expression

qu*au bout du temps T donné par la condition TvK = 7, le mobile aura atteint son écart maximum de l'autre cAte du point 0, et sera venu en A' à une distance égale à celle du point de départ. Ce temps T est la durée d'une oscillation simple, et l'on a

On voit aisément que si la force qui agit sur le mobile augmente moins rapidement que la distance du mobile au point 0, la durée des oscillations augmentera avec Tamplitude et que Tinverse aura lieu si la force croit plus vite que Técartement du mobile.

fiéclproquement, toutes les fois que les oscillations sont isochrones quelle que soit l'amplitude, on peut en conclure que la force tangentielle est proportionnelle h l'écart du mobile. C^'est b loi qui régit les oscillations scmores et les vibrations par lesquelles on explique les phénonit ne^^ lumineux.

2' Considérons maintenant un corps solide pouvant tourner jutour d*un axe et soumis à une foi'ce dont le moment par rap- |M)rt à Taxe de rotation est proportionnel ù Fangle dont le corps t->t écarté de sa position créquilibre. Soit C (fig. 8) Taxe de ro-

36 TRAITÉ DtLEGTRICrrÉ STATIQUE.

tation, M le point d'application de la force F que nous supposerons tangente au cercle décrit par ce point et 0 la position du point d'application de la force quand le corps est en équilibre. Cette force a pour expression, en désignant par d la distance

CM et par a la distance angulaire du corps à sa

position d'équilibre,

F=Ka: = Kda.

On peut remplacer cette force F agissant au point M par un système quelconque de forces appliquées à difiérents points du corps solide, pourvu que la somme des moments de toutes ces forces par rapport à Taxe de rotation soit égale au moment de la force F elle-même. Nous allons appliquer à chaque élément du corps une force / tangente à la circonférence que décrit cet élément, proportionnelle à sa masse m, à sa distance à Taxe de rotation r et à l'angle de rotation a ; cette force aura pour expression ^^;^.^,

Pour détermmer la constante H nous écrirons que la somme des moments de toutes ces forces est égale au moment de la force proposée, ce qui donne

ou bien ^> î(î'mr)l>:.'|i

"^^^■g^Tiol ri îr! i\ ii I

1 mr* est ce qu'on appelle le mOOpQiitjf (i'inevtieid«it>Hrps paV rapport à l'axe de rotationi{nO^I»peUl|Jl'ié(*i>fe'^sowfl Itt >fqrme Mp*, M désignant la ma^e^ Wl(|l§.idji|i)Ç0rp$r|et(f 1q fajjbnidoigiyiration, c'est-à-dire Iai4î4l9n^ei à r*ï:0 du^iJQÎAfîâUqiuelJÎl ftiu^iràilj porter la masse totale poiuijqHfiilQiraomçiiJLd if<v^rii^ ii^,40^pai$<cbattgé- Si iC^bacuiv id€^^ jHOWtsdjii corps pçallwl;lil)i^e*aQnll.sQtt$ llinfli|flHe#:<^Q jA,fonço»^pAîvie ^«e.l'pnj y,a 4pplui»^ vte f tlUl^Q idlwr.

éîÏMîori serait egàte à -7=:^<!oinlnWoa ra vuplus'Aaut ; e)tlè serait)

donc la même pour tous les points, et par suite cette durée d*o$cillation n*est autre chose que celle du corps lui-même. On a donc pour le corps solide

On peut remarquer que Kd étant la valeur de la force lorsque la délation est égale à l'unité, son moment est alors égal à Kd*. En désignant cette quantité par la lettre c, l'équation devient

Supposons en particulier que le corps solide soit soumis à une Torce P constante de grandeur et de direction (fig. 9), appliquée en un m^?m>pointM. La composante langentielle de cette force sera P sin «. Si l'on se borne à considérer des oscillations assez petites pour que Ton puisse remplacer le sinus par l'arc, cette composante langentielle peut alors être exprimée par Pa et son moment est Pefa. Le corps est donc exactement dans le même cas que si le point M était soumis h une force tangente & la circonférence que décrit ce point, proportionnelle à la déviation, et dont le moment pour une déviation égale à l'unité serait Pd. La durée des oscillations est alors

Pi«. 9.

Dans le cas du pendule géodésique, cette force P n'est autre

p chose que le poids du pendule ; r: est l'accélération 9 de la pesanteur, d est la distance du centre de gravité du corps à Taxe de rotation, et la durée des oscillations est

Cest la formule du pendule composé.

39 TRAITÉ DtLECTRICrrÉ STATIQUE.

S'il s'agit, au contraire, du pendule simple, c'est-à-dire réduit à un point matériel, les longueurs p et d sont égales à la longueur / du pendule, ce qui donne

de sorte que, pour obtenir la longueur / d'un pendule simple, synchrone d'un pendule composé, il suffît d'écrire

Nous aurons occasion de faire fréquemment usage de ces formules.

21 . Expériences de Conlomb sur la torsion des fils métalUqwfl.

— L'appareil dont se servait Coulomb pour étudier la torsion des fils est très-simple (*). Un fil de métal est saisi à sa partie supérieure dans une pince attachée à uhe potence en bois. Ce fil porte à son extrémité inférieure une autre pince à laquelle est suspendu un cylindre de métal. Sur la planche qui sert de base est posé un cercle divisé en degrés et dont le centre est situé sur le prolongement du fil ; un index collé au cylindre s'étend jusqu'aux divisions du cercle et indique les déviations.

Quand on tourne le cylindre d'un certain angle, et qu'on l'abandonne ensuite à lui-même, l'appareil revient, en vertu de l'élasticité du fil, vers sa position d'équilibre, et il exécute de part et d'autre des oscillations isochrones, mais dont l'amplitude diminue constamment.

Comme le fil reste vertical et que les oscillations sont isochrones quelle que soit l'amplitude, au moins entre des limites très -étendues, il en résulte que l'ensemble des réactions élastiques du fil déformé par la torsion se réduit à un couple horizontal dont le moment est proportionnel à l'angle de torsion. On peut encore considérer le phénomène mécanique d'une aulre manière. Le couple de torsion étant représenté par deux forces perpendiculaires à la droite qui joint leurs points d'application, si l'on applique l'une des forces — /de ce couple sur le fil

[*) Métnoirei (te l'Académie de» gciefiees, p. 229(1784).

lui-même, et l'autre -f- / à rextrémité d'un levier égal à l'unité, rintensilé de cette force sera représentée par le même nombre que le moment du couple primitif.

Supposons maintenant le poids du corps suspendu au fil as* ***z grand par rapport aux forces de torsion, pour que la détîalion que produirait la force — /, appliquée au fil, soit négligeable, on pourra supprimer cette force et considérer le fil comme étant soumis à une force unique -f-/ qu'on appelle la force de Inrtion.

Quant à la diminution rapide des amplitudes, elle peut être attribuée en partie à la résistance de l'air, mais elle est due surtout, comme Ta montré Coulomb, à l'imparfaite élasticité du fil. Sans aborder ce point de vue, cherchons seulement à évaluer les couples de torsion.

Coulomb a opéré sur trois sortes de fils de clavecin, tels qu'on les trouvait dans le commerce, et sur trois fils de laiton correspondant par le numéro et à peu près par la grosseur aux fils de iev. Le tableau suivant donnera une idée exacte des dimensions de ces fils et de leurs qualités élastiques.

fiinrffto