PRODUIT
Fer. . .
• Cuivre. .
On voit d'après ce tableau que la loi est sensiblement vérifiée. Le défaut de concordance rigoureuse des résultats tient uniquement à ce que les fils que Ton compare ne sont jamais absolument identiques, les opérations mécaniques différentes qu'ils ont subies ayant suffi pour modifier leurs propriétés physiques et leur élasticité en particulier.
Les lois de torsion des fils peuvent donc, en appelant s la section d'un fil et7 sa longueur, être représentées par la formule
le coefficient C étant le couple de torsion pour un fil de même nature, de section égale à Tunité et de longueur égale à 1 .
5** On peut déduire de ces expériences la valeur du couple c, pour le fil que Ton emploie, à l'aide du rayon de gyration du cylindre suspendu. Soit qu'il soit nécessaire de tenir compte de ce cylindre, le tableau précédent permet de déterminer le rapport des coefficients de torsion pour le fer et le cuivre. Ces coefficients étant en raison inverse des carrés des durées d'oscillation, la comparaison des résultats obtenus avec les fils du n*" 12 donne pour leur rapport 3,35.
22. Bidance de Coulomb. — C'est sur la Connaissance des lois de torsion des fils métalliques que repose la construction de la balance électrique. Seulement comme les forces qu'il faut comparer sont extrêmement faibles, il fallait avoir recours à des fils beaucoup plus fins que ceux qui ont servi dans les expériences précédentes.
La balance employée par Coulomb pour l'étude des répulsions électriques est représentée fig. iO. Cette figure et la description que nous en donnons sont prises à peu près textuellement dans les mémoires de Coulomb (*).
('^ Mémoire* de T Académie des sciencet, p. 570 (1785).
Sur un cylindre de verre ABCD <le 1 2 pouces de diamètre et de i-2 poncps de hauteur, on place un plateau de verre AC do iô pouces de diamètre percé de dcui trous de 20 lignes à peu prés de diamètre ; sur cvliii du milieu rst mastii|ué un tube de \erre de 24 pouces de hauteur. A l'estréinilé supérieure de ce lulie esl placé un micromètre de torsion composé de trois pièces : l'une esl une garniture H, mastiquée sur le lube de verre; )a 5^ondo<^t formée d'un disque HW divisé sur son champ en
r»Wi depK'S el d'un tuyau de cuivre >' qui entre dans la garniture [I; le (roisiémc est un ttouton K qui s'engage dans une cavilé du disque 011 il peut loumer et esl muni d'un index l qui atteint les di\isions du dis-]ne. Le fil de mêlai esl saisi à sa partie supi*rwire psr une sorte de pince ou porle-crayon attaché au houlon 1-1 piirte à »a parlie inrérieurc une autre pince dans laquelle est nieagée une aiguille horizontale; cette pince doit être as^ci lourde pour tendre le 111 sans le rompre. Le (il était en argent el aiail2f* pouces de longueur; et l'on a reconnu, parles mélh«Mlos
rappelées plus haut, que pour donner à ce fil une torsion de 360*", il sufrirait d'une force de j— ^^ grain agissant à rexlrémité d'un levier de 4 pouces (environ. 0'"'"*r-,17 à l'extrémité d'un levier d'un décimètre) ; un pied de longueur de ce fil ne pesait d'ailleurs que ~ de grain (3 milligrammes environ) ; le diamètre du fil était d'environ 0"^,035. L'aiguille qui est suspendue horizontalement à la moitié à peu près de la hauteur du grand vase qui la renferme est formée, ou d'un fil de soie enduit de cire d'Espagne, on d'une paille également enduite de cire d'Espagne et terminée de c et b sur 1 8 lignes de longueur par un fil cylindrique de gomme laque : à l'extrémité b de cette aiguille est une petite balle de sureau de 2 à 3 lignes de diamètre ; en d est un petit plan vertical de papier passé à la térébenthine, qui sert de contrepoids à la balle b et qui ralentit les oscillations.
Dans le second trou du couvercle est suspendu, à l'aide d'une pince en bois P, un petit cylindre dont la partie inférieure est aussi de gomme laque et qui porte une balle a également en sureau. Autour du vase, à la hauteur de l'aiguille, est collée une bande de papier divisée en 360 parties.
Pour commencer à opérer avec cet instrument, on fait correspondre le trou latéral du couvercle à peu près au zéro de la graduation sur la bande de papier ; on met l'index I du micromètre sur le zéro du disque gradué, et on fait tourner le disque sur le tube qui le soutient jusqu'à ce qu'en regardant par le fil vertical qui suspend l'aiguille et le centre de la balle, l'aiguille se trouve répondre au zéro du papier. On introduit ensuite la balle fixe exactement en face de ce même repère : l'aiguille a été alors un peu déplacée et taboulé mobile se trouve appliquée sur la boule fixe par la petite torsion qu'a éprouvée le fil. La balance est prête à servir. '
23. Considérons d'abord le cas des répulsions. On électrise un petit conducteur qui n'est autre chose qu'une épingle à grosse tête E enfoncée par sa pointe dans un bâton de cire d'Espagne; on introduit cette épingle dans le trou du couvercle et on lui fait toucher la boule fixe. En retirant l'épingle, les deux balles sont électrisées et se repoussent mutuellement à une distance que Ton détermine en visant dans le plan qui passe par le fi] et Taiguille. Tournant alors le bouton supérieur dans un sens convenable, du
côté opposé à la déviation de l'aiguille mobile, on augmente la torsion du fil : la balle mobile se rapproche et on mesure la nouvelle distance. On observe par ce moyen la distance à laquelle difTérents angles de torsion ramènent la balle b vers la balle a, et en comparant les forces de torsion avec les distances correspondantes des deux balles, on détermine la loi de répulsion. La torsion totale du fil dans chaque expérience se compose de Tangle dont l'aiguille est déplacée et de l'angle dont on a tourné le bouton supérieur.
Coulomb a fait un grand nombre d'expériences à ce sujet et il a toujours trouvé que la torsion totale du fil est en raison inverse du carré de la distance de l'aiguille ; mais il n'a rapporté de résultats numériques que pour une seule expérience.
Les deux balles ayant été électrisées avec la tète d'épingle, et l'index du micromètre étant au zéro, l'aiguille s'est éloignée de Z&*. La torsion du fil était aussi de 36^.
Ayant tordu le fil de 126"^ au moyen du bouton, les balles se sont rapprochées et arrêtées à IS"" l'une de l'autre. La torsion du fil était alors de 126-^18=^44^
Ayant tordu le fil de 567% l'aiguille est venue se fixera 8^,5. La torsion totale du fil est 567h-8,5=575%5.
Si la déviation eût été de 9"^ dans la troisième épreuve, les torsions se seraient trouvées égales à 36, 144 et 576, c'est-à-dire exactement proportionnelles à 1, 4 et 16, ou 1', 2* et 4*, pendant que lés déviations angulaires sont entie elles comme 1, 1/2 et 1/4.
Coulomb fait au sujet de cette expérience plusieurs observations. Et d'abord l'extrême ténuité du fil employé ici rendait les expériences très-diiïiciles ; la position d'équilibre pour une torsion nulle n'était pas certaine à quelques degrés près et le moindre ébranlement suffisait à le casser. Aussi Coulomb s'est servi sou • vent pour des expériences semblables d'un fil de diamètre presque double qui offrait beaucoup plus de résistance. La force de torsion était 14 ou 15 fois plus grande, mais l'équilibre s'établissait mieux et les résultats ont été les mêmes.
La torsion totale du fil étant en raison inverse du carré de la distance angulaire des boules, on peut en conclure, au moins comme première approximation, que la répulsion des boules
électrisées est en raison inverse du carré de la distance de leurs centres. En effet, la réaction du fil peut être remplacée, comme nous l'avons vu, par une force unique appliquée à la boule mobile, tangente à la circonférence que décrit celte boule et proportionnelle à la torsion. La répulsion électrique s'exerce suivant la corde de l'arc qui sépare les deux boules, mais à cause de la petitesse des angles, elle est peu inclinée sur la tangente, et par suite sensiblement égale à la force de torsion ; cette force répulsive est donc en raison inverse du carré de la distance angulaire des boules, ou bien, au même degré d'approximation, en raison inverse du carré de la distance rectiligne de leurs centres.
24. L'étude plus complète de Texpérience de Coulomb montre même que la conclusion est beaucoup plus rigoureuse qu'on ne pourrait le prévoir par ce raisonnement sommaire.
Il faut remarquer d'abord qu'il est impossible de soustraire un corps électrisé aux causes qui tendent à affaiblir peu à peu ses propriétés électriques, ou, en d'autres termes, à la déperdition de l'électricité, et malgré toutes les précautions prises pour isoler les boules, la déperdition n'était pas supprimée. Or, Coulomb a observé que, le jour même où cette expérience a été exécutée, lorsque la boule mobile était à la distance de SO"" sous une torsion de 50®, cette boule se rapprochait de 1* en 3 minutes. Comme l'expérience relative aux variations de distance avait duré 2 minutes, l'erreur de 1/2 degré constatée dans la troisième épreuve était parfaitement explicable par la déperdition de l'électricité.
En second lieu, pour être autorisé à conclure de l'expérience que la loi du carré des distances est applicable à l'action réciproque de deux éléments électrisés, il faudrait que les boules fussent infiniment petites par rapport à la distance qui les sépare ; mais nous verrons bientôt que l'action exercée sur un point extérieur, par une sphère électrisée d'une manière uniforme, est la môme que si toute rélectricité était concentrée au centre de la sphère, et que l'erreur commise en remplaçant chacune des deux boules par son centre dans l'expérience de Coulomb est en général insignifiante.
Enfin, si Ton réduit ainsi chacune des boules à son centre, le calcul exact des conditions d'équilibre ne présente plus aucune difficulté.
Fig. il
Prenons pour plan de figure le cercle que décrit Taiguille mobile. Suit A (tig. 1 1 ) le centre de la boule iixe, B celui de la houle mobile, a la déviation angulaire, / le rayon du cercle, et T Tangie dont on a tourné rindex supérieur, de sorte que la torsion totale du fil est alors T -H s. A la répulsion / exercée par la boule iivt* ^ur la boule mobile, nous pouvons ajouter, sans troubler l'équilibre de Tappareil, deux autres forces H-/' et — f égales et parallèles i la précédente, et appliquées au milieu de Taiguille, en 0. Les deux forces /et — /' constituent un couple qui agit sur Taiguille en ^c^s inverse du couple de torsion du fil, et Téquilibre aura lieu quand les moments de ces deux couples seront égaux.
Uuant à la force -h/^, elle tendra à dévier le fil de la verticale, mais cet effet sera trés-faible à cause de Textrémc pelilcsse des forces électriques, et d*ailleurs la déviation angulaire n*en sera fias modifiée.
En désignant par c le moment du couple de torsion du fil pour uu angle égal à Tunité, le moment du couple de torsion du fil
cbtégal à c(T -♦-»); lemomentdu couple /et — /'est//cos ; on a donc
c(T-ha)=//cos-.
Si la force répulsive/ est en raison inverse du carré de la dis-
tance, on pourra la représenter par 4/* sin*- , ç étant la répulsion deb boules à l'unité de distance; et Téquation précédente devient
ou bien
cos- 4/sin*-
(T-ha)sin-tang- = -f-.
« sic
48 TRAITÉ DtLEGTRICnÉ STATIQUE.
Si la loi des distances est exacte, le premier membre de cette équation devra être constant pour toutes les expériences exécutées avec une même charge électrique.
On voit maintenant que la relation approchée à laquelle on est arrivé ne difTère pas sensiblement de ce que donne la formule exacte. En effet, dans les limites où les expériences ont été faites, on ne commet pas d'erreur appréciable en remplaçant
le sinus et la tangente de Tangle— par le carré de l'angle. Pour
une déviation de SG"", on aurait
et
sin y tang| = 0,1004,
Terreur commise en substituant une de ces valeurs à l'autre est donc plus petile que ^, et la précision de rexpérience ne peut guère dépasser cette limite. Le produit (T-ha)a' est donc constant dans toutes les expériences d'une même série, ou bien la torsion totale est en raison inverse du carré de la distance angulaire. D'ailleurs, si Ton applique le calcul exact aux expériences de Coulomb, on obtient les résultats suivants :
EXPtfBIEKCES
OBSSRYi.
CALCULK
DIFP<BERCB
Le calcul des déviations a été fait en partant de la première observation. La différence de 6' pour la seconde expérience est inappréciable; la troisième expérience donne une différence de 35' en partie explicable par la déperdition de Télectricité.
M. Riess (^) a (ait des expériences analogues avec une balance
(«) HfiibungteUeiriciiât, bl. I, p. 92.
«semblable dont le fil n'avait que 20 pouces de longueur, mais il ne sVst pas attaché comme Coulomb à obtenir des nombres simples. Toîci le tableau de ces expériences et du calcul des angles dc-duit de la formule exacte en prenant la première observation |K>ur base :
ariftmo»
DirriftincB
OMIRVÉ
CÂLBOli
