R ""OA

par suite, l'angle 0MB est égal à l'angle a.

Décrivons du point B comme centre une sphère de rayon r égal à BM et désignons par dt^ Tangle sur lequel on voit du point B l'élément dj. L'élément de surface découpé par cet angle solide sur la sphère de rayon r sera r^dtù. Les deux éléments de surface r^dtù et da font aussi Tangle a puisqu'ils sont respectivement perpendiculaires aux droits BM et CM, ce qui donne

7*d(ù = da COS a.

On en déduit

mwdi r* ,

9 — j— COS a=<fm[k — aoj.

Or, le rapport - est constant, car la similitude des mômes

triangles donne aussi

BM OM r R

MA~OA' ^" p""D'

La composante dirigée vers le centre de l'action exercée par l'élément MM' a donc pour expression

On voit déjà que cette composante est la môme que celle qui provient de l'action de l'élément NN' opposé du premier par rapport au point B.

L*action de la surface sphérique tout entière est la somme de toutes les expressions semblables relatives à tous les éléments

df la surface, c'est-à-dire

R* ,, , R\ 4rRV.

&»lh» action est donc la niènie que si la masse enliùre 4::RVi npandue sur la surface sphérique, agissait sur le point A à la distance OA.

Si Ton considère maintenant une sphère non réduite à sa surface, mais composée de couches concentriques homogènes, on [Kiurra répéter le même raisonnement pour une série de couches innniment minces dans lesquelles on décomposera la niasse totale. Le théorème étant applicable à chacune des couches, la résultante sera la même que si toute la masse agissante était nuicentri»e au centre de la sphère.

Si h*> actions électriques suivent la loi du carré des distances, romme Télectricilé est distribuée sur la boule de rexpérience (irnédente, sinon uniquement à la surface, du moins en coulius concentriques homogènes (Tinfluence de la petite charge lie Taiguille ne pouvant pas produire de trouble sensible dans (Hto distribution), cette boule doit agir sur le pendule comme >i toute rélectricité qu*elle possède était concentrée en son centre.

Dos lors, les oscillations de l'aiguille étant très-petites, comme Dous Tavons supposé, la distance de la plaque au centre de la Ixmle ne change pas sensiblement et la direction de la force dle-iuéme varie très-peu. L'aiguille est donc soumise à une foa^e sensiblement constante de grandeur et de directicm et oscille comme un pendule géodésique. La durée T des oscillations sera donnée par la fornmle

danb laquelle Imr* est le moment d'inertie de l'aiguille par rapport au fil de suspension, / la longueur de l'aiguille, et F ta force t»\iTnV sur la petite plaque électrisée. Si T' est la durée des ««filiations de la même aiguille soumisi» a une autR' force F\ <Hi aura

Les actions de la boule étant en raison inverse du carré des distances D et D" de la plaque au centre de la boule, on a aussi

On déduit de là

Les durées des oscillationsr de l'aiguille doivent donc être proportionnelles aux distances de la plaque au centre de la boule, ce qui est conforme à Texpérience.

La réciproque des raisonnements que nous venons d'indiquer est d'ailleurs exacte. Si l'on démontre, par expérience, que l'action d'une sphère sur un point extérieur est en raison inverse du carré de la distance du centre de la sphère au point considéré, on peut en conclure que les forces élémentaires obéissent également à la loi du carré des distances.

On peut remarquer que le même théorème s'applique aussi à l'action réciproque de deux sphères A et B composées de couches concentriques homogènes. En effet, l'action de l'une des sphères A sur chacun des points de la seconde est la même que si la masse de cette première sphère était concentrée en son centre ; on n'a plus alors à considérer que l'action d'un point sur une sphère, et l'action réciproque se réduit à celle des centres où l'on aurait concentré séparément les masses des deux sphères considérées. Dans la balance de Coulomb, par exemple, on est donc autorisé à remplacer les deux boules électrisées par leurs centres, comme on l'avait fait par un raisonnement approximatif. Toutefois cette conclusion n'est rigoureuse que si l'électricité que possède chacune des boules peut être considéiée comme symétrique par rapport au centre, et une telle distribution de l'électricité ne peut plus être admise si le diamètre des boules n'est pas assez petit par rapport à la distance qui les sépare.

La mèlhode des oscillations peut être employée pour vérifier la loi des répulsions électriques, mais Coulomb a trouvé que toutes les expériences dans lesquelles on fait agir l'électricité par

sa force répulsive, s'exécutent d'une manière plus simple, plus eiacte et plus commode au moyen de la balance.

'29 . Loi éem ^puuiaiés d'éieetrieUé. — PouF étudier la manière dont varient les forces électriques avec los quantités d'électricité mi>es en présence, il faut d'abord définir ces quantités ellesmt^mes et indiquer comment on pourra obtenir sur un corps une charge électrique double ou triple d'un autre. La question peut être envisagée de deux manières différentes. Si, par analope avec les définitions adoptées pour la mécanique générale, on considère les masses électriques ou les quantités d'électricité comme proportionnelles aux forces, on ne fera plus que traduire une di'*finition en disant que les forces électriques sont proportionnelles aux quantités d'électricité. L'expérience indique que lorsqu'une sphère conductrice électriséo est mise en contact avec une autre sphère identique à l'état neutre, l'action exercée sur un corps extérieur par chacune d'elles, après leur séparation, est la même et égale à la moitié de celle qu'exerçait la sphère primitive. Les charges ou les masses électriques de ces deux sphères sont donc égales entre elles et moitié moindres que celle de la première.

Kn se plaçant à un autre point de vue, on peut admettre que lorsqu'une sphère conductrice électrisée est mise en contact avec une autre à l'état neutre, la quantité totale d'électricité ne change pas, de sorte que chacune des sphères possède alors la moitié de la quantité d'électricité qui se trouvait primitivement sur la première. Cette proposition ne peut pas faire de doute, si Télectricité e>t un fluide matériel répandu dans les corps électrisés; ce fluide doit se partager en deux moitiés égales entre les sphères en contact. Mais la proposition cesse d'être évidente quand on ]*emarque que la nature de l'électricité reste encore douteuse. Si cet agent esi un phénomène de mouvement, de vibration, une foive vive dans un état inconnu, pouvant éprouver des transformations par le seul fait d*unc communication par conductibilité, etc., on ne sait plus quelle fraction de la charge primitive restera sur l'une des deux sphères. L'expérience montrant que l'action exercée ^ur un corps extérieur par chacune des sphères s^'parèes l'une de l'autre est moitié moindre que celle de la sphèiv primitive, on peut dire cette fois que l'action e\ei*cèo par un

corps est proportionnelle à la quantité d'électricité qu'il possède.

Coulomb (*) admet comme évident le partage de l'électricité par moitiés égales entre deux conducteurs identiques, et il a vérifié par expérience que ce partage est indépendant de la nature des corps, pourvu qu'ils soient conducteurs. Il a suspendu dans la balance une petite balle de cuivre de 8 lignes de diamètre, et les deux balles étant électrisées à la manière ordinaire, Taiguille a été chassée à peu près vers 48°. Au moyen du bouton du micromètre, on a tordu le fil de suspension de 120° et Taiguille s'arrêta après quelques oscillations à 28° ; 1l\ torsion totale du fil était alors de 28 -f- 120 = 148°. On fit alors loucher la boule fixe par une boule de moelle de sureau de même diamètre également isolée et on enleva cette dernière. L'aiguille s'est rapprochée de la balle de cuivre et, pour le ramener' à la môme distance de 28°, il fallut détordre le fil de façon que le micromètre ne marquât plus que 44°; la torsion totale était alors 44 -h 28 =72°. Pour la même déviation, la torsion totale était donc de 148° dans le premier cas, et d'environ moitié moins, de 72°, dans le second. Mais la diminution de force répulsive était ce jour-là de ~ par minute, et, comme l'expérience avait duré une minute, le dernier résultat aurait dû être, s'il n'y avait pas eu de déperdition, de 73°, 5, c'est-à-dire aussi exactement que possible, la moitié du premier.

Comme la distance des boules est restée la même, la force répulsive était exactement proportionnelle à la torsion totale du fil. La boule fixe n'ayant plus dans le second cas que la moitié de sa charge primitive, il en résulte que la répulsion électrique entre deux corps électrisés est proportionnelle à la quantité d'électricité que possède chacun d'eux, et, par suite, au produit des charges électriques des deux corps.

Coulomb a montré que l'égalité de partage a lieu aussi bien entre deux corps d'une même forme quelconque, pourvu qu'ils soient symétriquement placés par rapport au point de contact, et que cela est encore vrai, môme pour des corps médiocres conducteurs, si l'on a soin de faire durer le contact assez long-

:*) Mémoires de l'Académie des sciences, p. ($9 (1786).

LOIS DES ACTIONS ÉLECTRIWES. 6i

Irinp*^. '\însi un disque de fer de 10 lignes de diamètre a perdu eiacteinent la moitié de sa charge quand on Ta touché avec un div|ue de papier de même diamètre; mais il faut alors que le nmtact dure plusieurs secondes.

r>0. On pourrait de même vérifier la loi des quantités d^électririté ou du partage électrique entre deux corps par les attractions électriques en employant la méthode des oscillations. La boule fixe et le disque de l'aiguille étant électrisés de manières différentes, on déterminerait la durée T d'un certain nombre d'oscillations. On toucherait ensuite la boule avec une autre «iphcrc conductrice de même diamètre, et, enlevant cette sphère auxiliaire, on déterminerait la durée T' du même nombre d*oscillations.

Entre ces durées T et T' et les forces F et F' qu'exerce la boule dans les deux cas, on a la relation

La charge électrique de la boule fixe étant diminuée de moitié dauN la seconde expérience, on doit a\oir

. F'i et, par suite,

* Telle serait la relation expérimentale à vérifier entre les durt'<*s d'un même nombre d'oscillations dans les deux expériemes, abstraction faite de la déperditicm.

En résumé, on peut conclure de ces expériences que raction He fieux éléments de volume éledrises est proporlionnelle au prtÀnit des quautitês d'élertrlcilé qui se trouvent dans ces deux élnnents et en raison inverse du carré de leur distance.

ôt . Eftpértrnces ^oaiéHetirc^ * crilcs éf CiMilMib. — Les lois

énoncées par Coulomb ont été immédiatement admises sans contestation, et toutes les expériences ultérieun's ainsi que t**» ('onséi|uences déduites des théories basées sur ces lois ne faisaient qu'en conlirmer de plus en plus Tevactilude ; mais

M. Harris (*) les a mises en doute en leur opposant les résultats d'expériences faites dans des conditions qu'il n'est pas inutile de discuter.

M. Harris a employé une balance de torsion nouvelle, dans laquelle l'aiguille était suspendue par deux fils de cocon parallèles, au lieu du fil métallique employé par Coulomb. L'aiguille (fig. 15), de 10 pouces de longueur, est formée de

deux fils de verre nm\ n'm réunis par un tube de lai* ton m'n' et porte à ses extrémités : d'une part, un petit disque de bois doré m, et de l'autre un contrepoids n en verre. Cette aiguille est suspendue au double fil de cocon par deux crochets 6 et 6' ; elle porle en outre une tige de laiton oo' à laquelle est attachée une autre aiguille -^ W perpendiculaire à la ---^4 , première et destinée à inr^ diquer les déviations sur un cercle divisé A. La même tige se termine à la partie inférieure par une petite cavité dans laquelle entre une pointe fixe 1, afin d'éviter les déplacements latéraux. Le disque fixe est aussi un morceau de bois doré p porté par une tige isolante. Dans cet appareil, on détermine la distance angulaire de deux corps élcctrisés ainsi que la torsion totale de la suspension bifilaire par des dispositions mécaniques assez compliquées, dont la figure n'indique que les parties essentielles. La déviation du disque mobile m est donnée par le déplacement de l'aiguille W par rapport au cercle fixe A. Le disque fixe p est porté par un cercle mobile B, dont la rotation peut être indiquée à l'aide d'un repère latéral fixe ou par une tige t terminée en

Fig. 15.

(*) Phil, tram., part. 11, p. 417 (1836).

pointe à une petite distance des divisions du cercle fixe A. Les lils do coron sont attachés à la partie supérieure d*un clislssis qui peut tourner sur un troisième cercle fixe C et dont la rotation est donnée par un index I. On voit, d*après cela, sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans d'autres détails, comment s'effectuent toutes les' mesures!*).

La théorie de la suspension bifilaire est très-simple. Si l'aiguille n'est soumise à aucune force extérieure, elle est en équilibre lorsque les deux fils sont dans un même plan vertical. Quand l'aiguille est déplacée de cette position, elle se relève un peu, les fils s*étant inclinés sur la verticale, et l'influence de la pesanteur tend à ramener l'aiguille vers sa position d'équilibre en produisant un couple qu'il est facile d'évaluer.

Soient aa' (fig. lU) les deux points de suspension des fils, B et B' les points d'attache inférieurs, l'aiguille étant déviée, A et A' les points où les verticales menées par a et a' rencontrent le plan horizontal mené par BB'. Désignons par a la déviation angulaire AoB de l'aiguille et par ^ l'inclinaison des cordons AaB. Si le corps suspendu au système bifilaire est bien équilibré, son centre de gravité est en o, et Ton peut remplacer son poids p

par deux forces égales à -appliquées l'une en H et l'au-

Ire en B'.

La force - appliquée en B peut être décomposée en ^^ *^

deux autres, l'une parallèle au cordon aB, qui tendra le fil,

l'autre dirigée vers le point A et égal à - tang 3.

En désignant par r la demi-distance BB',le moment de cette dernière force est

-tang3''cos-.

La même chose a lieu au point B' et ces deux composantes ho*

* Totr le Traité iTéUciHciié si de maçnétitme de M. Becqueivl, t. V, i* partie, p. <S5.

64 TRAITÉ DtLECTRICITÉ STATIQUE.

rizontales donnent un couple dont le moment est

pr tang g cos - •

Les angles p et a sont liés entre eux par une relation assez simple. En désignant par / la longueur du fil, les deux triangles ÂaB et AoB donnent

mm

AB = /sin Û = 2rsin- .

Comme l'angle 0 est toujours très-petit, on peut remplacer la tangente par le sinus, et il vient

pr tang 3 cos -= j r^ sm - cos - = y r sm a.

En toute rigueur il faut ajouter encore à cela le couple qui provient de la torsion du fil lui-môme. Si Ton désigne par c% le moment du couple de torsion de chacun des fils, il en résulte que le moment du couple résultant, qui tend à ramener l'aiguille vers sa position d'équilibre, est

yr*sma-f- 2ca.

La loi des oscillations est, comme on le voit, assez compliquée dans le cas général. Si, comme cela a lieu pour des fils de cocon, on peut négliger le second terme 2Ca, l'autre étant proportionnel à sin a, Tappareil oscillera comme un pendule géodésique, et il n'y aura isochi^onisme que pour les très-petites oscillations. La durée de ces oscillations est alors, en désignant par p le rayon de gyration du corps suspendu.

M. llarris a vérifié en effet que la durée des oscillations de cet appareil est proportionnelle à la racine carrée de la longueur des fils et en raison inverse de leur distance. Il a trouvé aussi

1*^ <>scillalions isochrones pour toutes les déviations, ce qui u'*M pas conforme au calcul précédent.

Un voit aussi que la durée d'oscillation est proportionnelle au rj^oude gyration du corps suspendu aux deux fils et indépendunle de son poids.

Celte balance bifilaire ne parait présenter aucun avantage sur r^ppareil de Coulomb. En efTet, la construction en est beau- < <iup plus compliquée et la théorie moins simple. Si les deux tll> sont libres, la torsion totale ne peut pas dépasser 180^, ^dti^ quoi les iils viendraient se toucher, et à partir de ce mouient la loi de torsion serait tout à fait modifiée. 11 est vrai i|ue, pour parer à cet inconvénient, M. Ilarris a placé entre les tils, de dislance en distance, de petits arrêts $ (ûg. 15) en paille ou eu liège qui empêchent ces contacts de se produire, et c^est u cause de cette circonstance que le couple de torsion a été à peu |»u^ proportionnel à l'angle de torsion pour des angles qui al- Lient jusqu*à 300 degrés.

Dans la balance de Coulomb la sensibilité est indépendante du |Miids de Taiguille et ne dépend que de la nature du fil. Ici, au iuntraire, la sensibilité est d'autant plus faible que le poids de i'uiguille est plus grand, et la disposition compliquée de M. Ilarris avait amené le poids total de l'aiguille à 480 grains ('), «luirun 25''"^",5. Si Ton suppose que les fils aient 1 métré de longueur et qu'ils soient écartés seulement de 2 millimètres, « onditions qu'il parait même difficile de réaliser, on obtiendra, cfi prenant pour unités le milligramme et le décimètre.

Comme rcxprcssion ~- représente le moment du couple nc-

<'*^saire pour tordre Taiguille de OO"", on voit qu'il faudrait pour (fia une force de [ de milligramme ù l'extrémité d'un bras de louer d'un décimètre. Pour le même écart, le fil de Coulomb n'cxi- ^•aitque-^ de milligramme; il avait une sensibilité six fois plus .lande. La balance bifilaire est néanmoins un appareil très-ingé-

• Lof. ri/., |i. 425.

nieux dont il a été fait de nombreuses applications dans les expériences d'électricité.

M. llarris (*) s*était servi déjà dans le môme but d'une véritable balance avec laquelle il pesait les actions électriques, et il a imaginé, pour atteindre ce but, diverses dispositions ingénieuses que nous indiquerons plus tard ; mais ces appareils ne peuvent jamais acquérir la môme sensibilité que les fils de torsion pour l'évaluation des petites forces.

Dans ces expériences, d'ailleurs, on ne trouve pas que M. Barris ait pris aucune précaution (*) pour éviter l'influence perturbatrice des conducteurs étrangers, lesquels, diaprés ses descriptions et ses figures, paraissent exister en assez grand nombre dans le voisinage des corps étudiés, conducteurs dont les uns étaient isolés et les autres en communication avec le sol. Coulomb S'était en outre astreint à n'employer que des sphères afin que Tallraction fût la môme que si la quantité d'électricité de chacune d'elles eût été concentrée en son centre. M. Harris a employé, au contraire, des corps de formes quelconques, de disques, par exemple, munis de cônes sur leurs faces postérieures. Il n'y a donc pas lieu de s'étonner que les expériences de M. Harris aient été souvent en contradiction avec celles de Coulomb et qu'il soit arrivé à des conclusions telles que les suivantes (') :

1* Entre deux disques conducteurs également chargés et treséloignés, la répulsion est en raison inverse du carré de la distance et proportionnelle au produit de leurs charges électriques ;

2* Quand les charges sont inégales, la répulsion est inversement proportionnelle à la distance entre certaines limites ; elle se montre tout à fait irréguliôre pour de petites distances et peut môme être remplacée par une attraction ;

5° La force électrique n'est pas toujours proportionnelle aux quantités d'électricité, surtout dans le cas des attractions.

Le premier énoncé est conforme à la loi de Coulomb, les conditions de l'expérience étaot bien choisies. Les deux propositions suivantes et plusieurs autres semblables émises par M. llarris, malgré leur contradiction apparente avec les mômes

(1) Phil. trans,, part. II, p. t215 \\%oh].

,•) VV. Tliomsou, Reprini of papei-ê, etc., p. 'il et 24.

[^) Phil, trans., part. II, p. 431 (1856).

hii^f on sont cependant des conséquences dii*ectes si l'on a soin de faire intervenir, dans Tévalualion des forces, la distribution de i*électricité et la forme des corps, circonstances qui ont alors une influence considérable.

r>:>. Les objections de M. llarris n'avaient pas obtenu un grand crédit: cependant M. Marié-Davy (*) a cru utile de répéter les eipériences de Coulomb en ayant soin de s'entourer de toutes les» précautions nécessaires. Voici, entre autres, le résumé de plusieurs observations sur la répulsion de deux boules égales en mmdie de sureau, dans dos conditions où, la déperdition d'éloctrieilé étant très-faible, la correction relative a cette cause d'erreur pouvait être faite avec beaucoup d'exactitude.

h\ClL b'iCAllT

RAPPORT

M LA DlSTAICCi: