ir^t

wlle expression est la variation 5/ qu'éprouve l'action / exen.ee sur le point 0 par une portion du cône limitée à une surface spbérique du rayon r. On a donc à la limite

lim

L action de la couche limitée par une sphère de niyon a et une autre de rayon r sera

Héwêoire» de r Académie ^1785 , p. 587.

Si n > 3, le terme a ~ augmente de plus en plus à mesure que a diminue et tend vers l'inflni, de sorte que Taction des couches voisines du point 0 est prédominante.

Si n = 3, l'intégrale est alors, le signe 1. indiquant un logarithme népérien,

f= (pmpo) (1. r — La);

le second terme l.a tend encore vers Tinfini quand a diminue jusqu'à zéro ; les couches voisines sont encore prédominantes. Si n < 5, on peut écrire n = 3 — a, et il vient

Dans ce cas, le terme a" tend toujours vers zéro en même temps que a. L'action des couches éloignées n'est plus négligeable par rapport à celle des couches voisines.

En particulier si n= s, on a simplement

/=çm|jL(D(r-^a),

c'est-à-dire que l'action exercée sur le sommet du cône par une couche d'une certaine épaisseur, est indépendante de la distance, la diminution des forces élémentaires étant exactement compensée par l'accroissement de section de la couche.

Ces propriétés étant démontrées par un cône d'ouverture inûniment petite, le sont aussi pour un cône d'ouverture angulaire finie.

Il parait résulter de ce calcul que la cohésion eX l'adhésion, qui produisent les phénomènes de capillarité, que l'élasticité, les actions chimiques doivent varier suivant des lois plus rapides que le cube de la distance puisque les porlions les plus voisines ont une influence prédominante.

On a supposé dans la démonstration que le cône était homogène ; mais les conséquences sont encore vraies pour le cas où la densité varierait d'une manière continue, pourvu toutefois qu'elle ne devienne pas infinie au point 0, ce qui est physiquement impossible.

49. Considérons maintenant un corps conducleur éleclrisé (*) et supposons que le fluide électrique soit répandu dune manière continue dans toute son étendue. Découpons sur ce corps une calotte infiniment petite AMB (fig. 26), et prenons aussi de l'autre c<')lc de la section un volume AM'B symétrique delà calotte. La force qui agit sur un élément de fluide

situé au milieu 0 de la section AB peut ^^ — -v,

être considérée comme formée de a/ ^\

trois parties. Faction / de la calotte J^-^, \

AMB, Faction f du volume symé- \] y

trique AM'B laquelle est naturellement ^\ J

dirigée en sens contraire, etTaciion F '"-.^__ ■-

du volume restant. Pour qu'il y ait Fi« <6.

équilibre, il est nécessaire que la résultante de ces trois forces soit nulle. S'il y a du fluide électrique dans l'intérieur du corps, la densité y varie d'une manière continue ; les deux forces / et /' doivent différer infiniment peu Tune de l'autre, et leur résultante est infiniment petite par rapport à chacune d'elles.

Four que l'équilibre soit possible, il faut donc que la force F !»<iit infiniment petite par rapport à/', c'est-à-dire que les parties les plus voisines aient une action prédominante et que la force varie au moins aussi rapidement que Finverse du cube de la distance. Si, au contraire, la loi est moins rapide. Faction des partiels éloignées n*est pas négligeable et l'équilibre n'est possible que si /'=rO, c'est-à-dire s'il n'y a pas d'électricité dans l'intérieur du corps, ce qui est conforme à l'expérience. Ainsi, pour l'électricité et pour tout agent analogue se distribuant régulièrement à la surface, on peut conclure que n est plus petit que 5.

50. Pour démontrer que la loi est précisément celle du carré, on s'appuiera sur cet autre fait expérimental qu'il n'y a pas non plu«% d'électricité sur la surface intérieure d'un conducteur fermé, et qu'un pareil corps n'exerce aucune action sur ceux qu'il i*enfenne.

Cherchons à évaluer Faction exercée par un milieu homogène HJ Uig. t27|, compris entre deux ellipsoïdes semblables et sem-

.>. Mrm^ireatk iWcadémù (\im), p. 7r».

100 TRAITÉ DtLECTRlClTÉ STATIQUE.

blablement placés, sur un point M situé dans l'intérieur, les forces élémentaires variant en raison inverse du carré de la distance.

Menons du point M comme centre un cône d'une ouverture angulaire infiniment petite par rapport à la distance des deux surfaces qui limitent le milieu. L'action qu'exerce sur le point M le milieu compris dans le volume NA découpé par le cône peut être remplacée par l'action du volume BB^A^A compris entre le cône et deux sphères décrites du point M comme centre avec des rayons égaux à MA et MB. Cela revient à ajouter d'un côlé et à retrancher de l'autre des éléments de volume infiniment petits par rapport à NA. Or l'action de la portion

de cône ABj est proportionnelle, comme nous venons de le voir, à sa hauteur AB. Le même cône prolongé de l'autre côté, découpe dans le milieu un volume A'N' dont l'action sur le point M est directement opposée à la première et qui est aussi proportionnelle à A'B'. Comme les portions de corde AB et A'B' comprises entre les deux surfaces sont égales, la résultante des actions des deux volumes AN et A'N' est nulle. La couche tout entière peut ainsi être décomposée en éléments dont les actions se détruisent deux à deux, et par suite la résultante générale est nulle.

Supposons au contraire que la loi soit différente. Menons par le point M le plan CD parallèle au plan diamétral conjugué de la corde MO. Si les forces varient plus rapidement que l'inverse du carré des distances, n étant plus grand que 2, l'action sur le point M de l'élément AN sera plus grande que celle de A'N' ; et tous les éléments de la couche situés au-dessus du plan CD auront de même des actions plus grandes que celles des éléments correspondants situés au-dessous de ce plan. En supposant les forces répulsives, la résultante des actions exercées sur le point M ne serait pas nulle et serait dirigée au-dessous du plan Cl). Si l'exposant n est au contraire plus petit que 2, la résultante ne

Fig. Î7.

DISTRIBDTTON DE LÊLECTRICITÉ.

iOt

M*ra pas encore nulle par la même raison, et sera dirigée audessus du plan CD. Dans les deux cas, la résultante n'étant pis nulle, il pourrait y avoir de réiectricité à la surface intérieure d'une enveloppe fermée conductrice, et un pareil conducteur devrait agir sur les corps qu'il renferme, ce qui est contraire aux expériences de Faraday.

51 . Toutefois les raisonnements qui précédent peuvent paraître insuflisants parce qu'on y a supposé que l'action de deux éléments varie suivant une puissance de la distance. Laplace a démontré que cette restriction n'est pas nécessaire et, sans supposer aucune forme particulière à la loi des distances, il a prouvé que la distribution du fluide électrique à la surface des conducteurs n'est compatible qu'avec la loi de Coulomb. Les calculs de Laplace exigent des développements mathématiques assez étendus, mais M. Bertrand (M a publié récemment une démonstration très-simple de cette propriété importante.

« Soit 9(/*| l'action exercée à la distance r parla masse 1 sur la masse 1 , et posons r*^(r) =z¥{r) ; je dis que F(r) est constant. S*il ne lest pas en effet, il augmente ou diminue. Soient r, et t; deux limites assez rapprochées pour que F ( r) augmente toujours quand r varie de r, à r,. Je prends une couche sphérique homogène infiniment mince de diamètre AB = rj -f- r, (fig. 28) et un point P sur le diamètre AB, tel que XV=r^y BP = r,. Par ce point P, je conçois un plan RS perpendiculaire à AB, qui coupe la sphère en deux zones RAS et RBS. Je dis que le pointP, allin'î par ces deux zones supposées homogènes ne peut rester en ••quiiibre. Concevons en effet deux cAnes infiniment petits d'ouverture //(.), opposés par le sommet et coupant la couche en K et R ; leurs attractions, dirigées en sens contraire sur P, seront

-.-y-?(PK) et 3i„ ^r?(PH).

^1 et \\ étant les angles sous lesquels le cune coupe la sphère.

Fig t8.

(« kntmal de pk^wfue, t. U. p. 418 ^1877»]

Wl TRAITÉ D'ÉLECTRICITÉ STATIQUE.

Ces angles sont égaux : si donc on pose PK = p4 et PH=p,, les deux actions sont entre elles comme F(pj) est à F(p,) ; mais p^ et p, sont compris entre r^ et r, ; p, est plus grand que p^ ; donc F(p,) est plus grand que F(pj). Toutes les actions dirigées audessous de RS l'emportent donc une à une sur les actions correspondantes dirigées au-dessus, et par conséquent le point P sera tiré vers le bas. Il n*est donc pas en équilibre et la loi de la nature est la seule qui permette à toute couche sphérique d'être sans action sur les points intérieurs. î)

52. DétermiiiaUoii expérimentale de la dlstribatlon de Téleciii-

eité. — L'électricité forme donc une couche très-mince à la surface des corps conducteurs. Cette couche n'est uniforme que dans le cas de la sphère ; dans tous les autres on pourra supposer qu'elle présente aux différents points, soit une densité variable, l'épaisseur étant supposée constante, soit une épaisseur variable avec une densilé uniforme, soit encore une épaisseur et une densité variables. Le choix de l'hypothèse est absolument indifférent puisque l'épaisseur doit être extrêmement faible ; on appellera donc charge électrique en un point ou densité électrique la limite du rapport de la quantité d'électricité qui est répandue sur une petite surface comprenant le point considéré à l'étendue de cette surface. Oh donne quelquefois à cette quantité le nom de ten- Hion électrique, mais le mot de tension a été employé en électricité au moins dans trois sens différents. On a appelé ainsi tantôt la densité électrique ou Faction qu'un élément de la sur* face électrisée exerce sur un point extérieur, laquelle est en effet proportionnelle à la densité ; tantôt la pression que l'électricité répandue sur cet élément de surface exerce sur le milieu ambiant, laquelle, comme on le verra plus loin, est proportionnelle au carré de la densité ; tantôt enfln une fonction d'une nature toute différente qui a été longtemps mal définie et qui joue un rôle important dans la théorie des courants électriques. Il vaut donc mieux éviter l'emploi de ce mot tension à moins qu'on n'ait soin de bien spécifier la signification qu'on lui attribue.

Coulomb a déterminé expérin^entalement dans certain un nombre de cas simples la manière dont rélectricité est distribuée à la surface des corps conducteurs en équilibre électi^ique. C'est d'ailleurs un problème dont la solution est une conséquence directe

DISTRIBUTION DK L'ÊLECTRICITË. 105

de la loi du carré des distances. La couche électrique répandue à la surface d*un conducteur doit satisfaire à cette condition que son action soit nulle sur un point quelconque de Tintèrieur du corps. En efTet, si cette action n'était pas nulle, elle produirait deux forces égales et contraires sur les deux fluides positif et né* gatif qui constituent le fluide neutre au point considéré ; il en n*sulterait une décomposition nouvelle et un mouvement des fluides électriques, ce qui est contraire à Thypothése. Le calcul présente en général de très-grandes diflicultés ; Poisson a traité le problème dans un certain nombre de cas et nous verrons que les résultats de la théorie sont entièrement conformes à ceux que Coulomb avait obtenus par expérience.

53. ■éth«4e d« fimm «'éfprewve. — La méthode expérimentale de Coulomb repose sur l'emploi du plan d'épreuve^ c*cst-à-dire d'un petit plan conducteur isolé avec lequel on touche les points dont on veut déterminer l'état électrique. Celui dont se senait Coulomb (^) était formé d'un disque e de papier doré (flg. 29) de cinq à six lignes de diamètre et de ^*, de ligne d'épaisseur, collé à une tige edc de gomme laque fondue à la bougie et étirée en fil gros comme un crin, attachée elle-même à un tube cb en verre ou en bois séché au four et verni à la gomme laque. Tne difficulté pratique à laquelle il faut prendre garde est que les fils de gomme laque ne M>nt pas parfaitement imperméables à Télectriciié ; ils le sont moins les jours humides que le^ jours très-secs, et le choix de la gomme laque n*est pas sans importance : la moins claire est en général celle qui réussit le mieux. n%. ».

On vérifie d'ailleurs qu'une tige de gomme laque est assez isolante en touchant par sa pointe un corps électris4* et la portant ensuite dans une balance dont la boule mo* bile a été chargée d'électricité de même nom ; si Ton aperçoit une répulsion sensible, la gomme laque doit être rejetée. Si, a\cc un plan d'épreuve incomplètement isolé, on touchait alternali\ement deux points très-inégalement chargés, la gomme

de C Académie .1787), p. 425.

104 TRAITÉ DtLECTRIClTÉ STATIQUE.

laque pourrait garder pendant la seconde expérience une partie de rélectricité prise par le plan d'épreuve dans la première, et les résultats seraient altérés.

Pour avoir le rapport des densités électriques de deux points A et B d'un conducteur on opère de la manière suivante :

1° On charge d'abord taboulé mobile d'une balance de torsion d'électricité de même nom que celle du conducteur;

2"* On touche avec le plan d'épreuve l'un des points Â, et on le porte ensuite dans la balance à la place de la boule fixe. On cherche la torsion T qu'il faut donner à l'index supérieur pour maintenir la boule mobile en équilibre à une distance déterminée a;

5® On reporte le plan d'épreuve au second point B et, l'introduisant ensuite dans la balance, on détermine la torsion T' nécessaire pour établir l'équilibre et la même distance a.

A cause de sespelites dimensions, le plan d'épreuve prend sur le conducteur la charge que possède en ce point une surface égale à la sienne ou au moins une charge propoi tionnelle à la densité électrique du conducteur. Le rapport des répulsions élec-

triques est égal à jfr, » et, s'il n'y a pas eu de déperdition , ce