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rapport est égal à celui des charges du plan d'épreuve ou des densités électriques aux deux points touchés.
54. On a essayé quelquefois de vérifier ce principe, que la charge prise par le plan d'épreuve est proportionnelle à la densité électrique au point touché, par les expériences suivantes :
1° On touche par le plan d'épreuve un point d'une sphère électrisée et on détermine à la manière ordinaire la torsion pro* duite par la charge qu'enlève le plan ; on met ensuite la sphère en communication avec une autre sphère égale à l'état neutre, on sépare les deux sphères et on touche la première de nouveau par le plan d'épreuve. La torsion totale du fil est moitié moin« dre dans le second cas.
2° On vérifie que le rapport des charges prises par le plan d'épreuve en deux points d'un conducteur de forme quelconque est indépendant de la charge totale, de même que le rapport des densités électriques doit aussi en être indépendant.
On ne peut rien conclure de ces expériences. Si l'on admet.
DISTRIBUTION DE LtLECTRICITfi. 105
ro qui parait évident, que Téquilibre électrique sur un conducteur ne peut avoir lieu que d'une seule manière, et que la loi de distribution est indépendante de la charge totale, il est clair que le plan d'épreuve, touchant en un point un corps électrisé, constilue avec lui un conducteur d'une forme particulière; la charge électrique qui se trouve sur le plan est donc proportionnelle à la charge totale du conducteur et par suite à la densité électrique au point touché ; c'est là seulement ce que vérifie la première expérience.
En second lieu, la charge du plan d'épreuve ne peut dépendre que de la forme de la surface au point touché, c'est-à-dire des deux rayons de courbure p^ et p, ; on peut représenter cette charge m par l'expression
'^ étant la densité électrique et / une fonction inconnue des rayons de courbure de la surface, fonction qui dépend aussi des dimensions du plan.
En un autre point, on aura de même
et, par suite,
Le rapport— , est constant en même temps que —, . mais ces
deux rapports ne sont pas nécessairement égaux.
D'ailleurs, si le plan d'épreuve est très-petit par rapport aux rayons de courbure, l'application de ce plan sur la surface n'en changera pas sensiblement la forme, et il est clair qu'à la limite on doit avoir pour un plan infiniment petit
La véritable justification do la méthode serait donc de déterminer le rapport des densités électriques en deux points par des plans d'épreuve de grandeurs différentes et de vérifier que
l'on obtient toujours le même résultat, tant que les dimensions du plan sont au-dessous d'une certain limite.
55. Coulomb a cherché à déterminer par l'expérience suivante, le rapport qui existe entre la charge du plan et celle de la surface touchée (*).
Un globe A de 8 pouces de diamètre étant isolé et éleclrisé, il l'a touché avec une boule B de 1 pouce de diamètre et, en introduisant cette boule dans la balance dont la boule mobile était chargée, l'équilibre a été obtenu avec une torsion totale du fil de 144''. Il a mis ensuite le globe A en contact avec un disque plan de 16 pouces de diamètre et, après avoir séparé ces deux corps, il a touché de nouveau le globe par la boule B, et obtenu dans la balance Une torsion de iV. La diminution de torsion 144 — 47 = 97 correspond à l'électricité enlevée par le disque, de sorte qu'au moment du contact le rapport des charges du disque et du globe était J^ ou environ |. Le rapport des surfaces des deux corps étant aussi égal à j, il en résulte que le partage électrique entre eux s'effectue proportionnellement à la surface totale de chacun d'eux.
a J'ai trouvé, dit Coulomb, par un très-grand nombre d'expériences faites avec des plans plus petits que le précédent, que ce résultat avait toujours lieu; c'est-à-dire, quels que fussent le diamètre du globe et celui du plan, toutes les fois que le plan était mis en contact tangentiellement avec le globe, il partageait l'électricité du globe dans le rapport de la somme de l'étendue des deux surfaces du plan à celle du globe. L'expérience a surtout donné ce résultat d'une manière très-exacte lorsque le plan mis en contact avec le globe était d'un très-petit diamètre, relativement à celui du globe (^). »
« Quelle que soit la figure du corps, Texpérience apprend qu'un petit plan, mis en contact avec ces surHices, prend toujours, au moment qu'on le retire du contact, une quantité d'électricité double de celle de la portion de surlace touchée. L'expérience donne encore ce même rapport double, en faisant toucher un plan très-petit à un grand plan élcctrisé ('). »
(») Mémoires de l'Académie (17S8), p. 674. (') Mémoireê de l'Académie (1786), p. C75. ;*) îbid., p. 670.
DÎSTRÎBUTIOX DE L'ÉLECTRICITÉ. i07
L expérience dont nous avons rapporté les détails est lelleuient éloig:n(V des conditions dans lesquelles on se sert du plan d'rpreuve qu'elle n'a aucune force démonstrative. Les autres f\|>érieiices dont parle Coulomb ne peuvent pas être discutées, puisqu'il n'en a pas donné les résultats, mais il est bien difli* (ile d'admettre que le plan d'épreuve prenne une charge électrique proportionnelle à l'ensemble de ses deux surfaces, c'est-àdire double de celle qui existait sur la surface qu'il touche. La rontradiction parait surtout manifeste quand il s'agit du contact d'un plan sur un autre plan.
50. Néanmoins Coulomb a voulu démontrer encore cette propriété par le raisonnement suivant :
Nous avons vu (28) que l'action d'une couche sphérique homo- ,:i'ne sur un point extérieur A est la même que si toute la masse tlectriquc était concentrée au centre. De plus l'action de la couche DEC (fig. 50) limitée par un cmie tangent à la sphère, ayant son ^^ rs
M)mmet en A, est égale à celle de la couche DE'C, puisque le point B est conjugué du point A et que tous les (Irraents découpés par des cônes a\ant le point B pour sommet, exer- fïk so.
«eut sur le point A des actions dont
Icb composantes parallèles à AO sont égales deux a deux. L'action de la calotte DEC est donc la moitié de l'action totale, c't*!>t-à-dire, en employant les mêmes notations que plus haut, ^ dê.^ignant ici la densité électrique sur la surface,
^JrllV 5m
Si la distance d est très-petite ou si le rayon de la sphère augmente de plus en plus, celte action se réduit a
9^M*i-;jL
Ce résultat, étant indépendant du rayon de la sphère, sera \Tà\ aub>i pour une surface quelconque, pourvu que la distance du point considéré soit très-petite par rapport aux dimensions d«* la calotte que le cône langent mené par ce point décou|)era
i08 TRAITÉ D ÉLECTRICITÉ STATIQUE.
sur la surface ; il est encore vrai si la densité, au lieu d'être constante, comme nous l'avons supposée, est variable d'un point à l'autre de la surface.
Enfin le théorème est également vrai pour un plan indéfini chargé d'une couche éleclrique uniforme : l'action de ce plan sur un point quelconque est égale aussi à
elle est la même que celle d'un élément de surface sur un point infiniment voisin, comme il est facile d'ailleurs de le montrer directement.
57. Considérons maintenant un petit plan cd (fig. 31) dont l'une des faces est chargée d'une couche homogène de densité {jl' placée à une petite distance ab d'une sphère où la densité électrique est (A. Si la distance* ab est assez petite pour n'offrir aucune résistance au passage de l'électricité ou si elle est formée par un petit fil métallique, il faut, pour que l'équilibre existe, que la résultante des forces qui agissent sur un point de ce fil soit nulle. Or l'action de la sphère est ^m^rix, celle du plan 9m2z[A'. On doit donc avoir ]>/ = 2[jl, ou bien, si on le veut, la densité éleclrique sera égale à pi. sur chacune des deux surfaces du plan cd.
Cette dernière partie du raisonnement de Coulomb est inexacte, parce qu'il ne peut pas y avoir d'électricité au point de contact de deux corps ; la surface CD voisine du point a n'est pas électrisée et l'action de la sphère est réduite à celle de la portion éloignée, c'est-à-dire à çm2îC[jL; il en résulte alors [x'= jjl. D'après cela, le plan d'épreuve doit prendre une charge égale à celle qui existait sur la portion de surface où il est appliqué. Coulomb démontre d'ailleurs de la manière suivante qu'il ne peut y avoir d'électricité au contact de deux corps A et B (fig. 32) . S'il y avait de l'électricité sur l'élément de surface qui entoure le p. point de contact C, son action f en un point infini-
ment voisin P serait finie, comme on vient de le montrer, et proportionnelle à la densité électrique sur cet
Fig. 31.
DISTRIBUTION DE L^ËLECTRICITÉ. 109
élément ; Taction de cet élément serait la même, mais de sens contraire, sur un point P' situé de l'autre cûlé. Comme la résultante doit toujours être nulle, l'action des parties éloignées des conducteurs A et B varierait d'une quantité finie égale à 2/ quand on passerait du point P au point P' inflniment voisin, ce qui est évidemment impossible. Il faut donc que la force / soit nulle, c'est-à-dire que la densité électrique soit nulle, dans le voisinage du point de <ïontact C.
58. De ce mode de raisonnement, on peut encore déduire des résultats très-simples :
Vctction d'un conducteur quelconque électrisé sur un point P extérieur infiniment voisin (lig. 53) est le double de celle qu exerce Vêlement de surface ÂB voisine du point P.
En effet, sur un point F intérieur au corps, la résultante des actions de toute la couche électrique est nulle ; Taction de la portion ADB de la surface p. ^
est donc égale et de signe contraire à
celle de l'élément ACB. Quand on passe du point P' au point P infiniment voisin, l'action de ACB change de signe, celle de ADB ne change pas ; l'action totale en P est donc double de celle de l'élément ACB.
Or l'action de ACB sur une masse extérieure m infiniment voisine est égale à çm^rfA, (a étant la densité au point C ; l'action totale est donc çmixyL, elle est égale à celle d'une couche sphérique uniforme dont la densité serait la même que celle de la surface considérée au point le plus voisin du point attiré.
En particulier, l'électricité répandue sur un élément de surface de du corps lui-môme est pui^, et l'action que la couche entière exerce sur elle est
Cette force est une pression que le fluide exerce sur le milieu ambiant, pression qui doit être équilibrée par une pression égale et contraire exercée parce milieu. La pression par unité de surface serait donc
no TRAITÉ D'ÉLECTIUCITÊ STATIQUE.
on voit qu'elle est proportionnelle au carré de la densité, et c'est là ce qu'on désigne quelquefois par le mot de tension électrique.
M. Thomson réduit, au contraire, la pression électrique à çîxpi'. Il fait remarquer qu'une surface plane électrisée ne peut, par raison de symétrie, exercer sur elle-même aucune action normale. De même, l'action d'un élément de surface quelconque sur lui-même ne doit pas intervenir dans la poussée normale et on ne doit tenir compte que des portions éloignées. Ce raison^ nement parait assez plausible, mais il n'est pas douteux en tout cas que la pression ne soit proportionnelle au carré de la densité, puisqu'elle est proportionnelle à la charge totale et à celle de l'élément lui-même.
59. Sans entrer plus avant dans le détail des phénomènes qui ont lieu au contact du plan d'épreuve, on est autorisé à admettre ce principe que le plan d'épreuve enlève une quantité d'électricité proportionnelle à la densité électrique du point 'sur lequel il a été appliqué ; mais, pour obtenir avec assezjd'exactitude le rapport des densités électriques en deux points, il est nécessaire de prendre des précautions particulières.
On ppère autant que possible avec des conducteurs de grandes dimensions, afin que le plan d'épreuve lui-même puisse n'être pas trop petit et prenne des charges électriques notables, même quand la densité est assez faible, ce qui convient toujours mieux à cause de la déperdition. On isole ces conducteurs, soit en les suspendant à des fils de soie vernis à la gomme laque, soit, comme le montre la figure 55 empruntée à Coulomb, en les posant sur des pieds en gomme laque.
A chaque contact, le plan d'épreuve enlève au conducteur une certaine quantité d'électricité. Cette perte est en général négligeable, mais on Télimine complètement en ayant soin de ne pas toucher le plan d'épreuve avant de l'appliquer de nouveau sur le conducteur de sorte que la charge totale ne sera pas changée.
