Emploi de dcnx eorp» d'éprcawc. — M. RiesS a modifié UU

peu la méthode de Coulomb en employant simultanément soit deux plans d'épreuve identiques, soit deux boules d'épreuve identiques, ce qui permet de ne toucher qu'une fois le conducteur que l'on étudie.

Supposons d'abord que l'on ait vérifié l'identité électrique de deux boules d'épreuve. On les pose en même temps sur deux

points d*un conducteur électrisé, la boule a au point A et la boule b en B. On met la boule b à l'écart, en la suspendant dans rintérieur d'une cloche en verre de façon qu'elle ne subisse plus aucune influence étrangère, on introduit la boule a dans la balance (la boule mobile étant chargée) et on obtient une torsion A^ ; on substitue alors la boule b et on observe une torsion B^ ; on détord un peu le fil et on attend que l'aiguille repasse au même point, la torsion n'est plus alors que B,. Cette dernière expérience permettra de déterminer la déperdition.

Les obser\'ations ayant été faites aux époques o, t et t, on voit que la perte de torsion relative à la boule b pendant l'unité

de temps est ( -4 — r^ ) et que pendant le temps / clic avait été

«B^— BJ ;; — ;, quantité qu'il faut ajouter à la torsion \\ pour

avoir celle qu'on aurait obsenée en opérant en même temps que pour la boule a. Le rapport des densités électriques aux deux points A et B est donc

Si les deux boules sont identiques, et que, renversant leui*s rôles, on touch'^ le point A avec la boule 6 et B avec a, on doit obtenir le même rapport que dans le premier cas.

M. Riess vérifiait l'identité de deux corps d^épreuvc, plans ou boules, en les appliquant simultanément sur le bouton d*une bouteille de Leyde. lia obtenu ainsi, pour deux plans d'épn*uve, successivement les rapports (*)

.' l^éun^UiiriciiâL M, l p. 157.

i 14 TRAITÉ D'ÉLKCTRICITÉ STATIQUE.

el, pour deux boules d'épreuve,

Ces rapports sont aussi voisins de l'unité qu'on peut l'espérer. M. Riess ajoute que les deux corps d'épreuve, boules ou plans, peuvent être employés dans tous les cas avec autant de facilité et d'exactitude que le plan de Coulomb, mais sans affirmer que sa méthode soit préférable ; il ne semble pas en effet qu'elle doive être meilleure. Cette deuxième boule d'épreuve, dont il faut se préoccuper pendant qu'on expérimente avec la première, ne peut être qu'une gène; les deux boules ne peuvent jamais être absolument identiques, surtout si Ton songe à la difficulté de trouver des supports également isolants, et l'on applique le coefficient de déperdition qui a été obtenu parles deux dernières expériences à l'intervalle des deux premières, c'est-à-dire en dehors des limites dans lesquelles il a été déterminé. Enfin, il n'est pas commode d'instituer une série d'expériences alternatives comme dans la méthode de Coulomb.

Cette modification de M. Riess présente un avantage réel dans le cas où l'on voudrait déterminer la distribution sur un corps dont l'état électrique serait très-variable, comme le conducteur d'une machine électrique en mouvement, ou sur un conducteur dont la déperdition serait très-rapide ; en touchant en même temps deux points d'un pareil conducteur on obtiendrait un résultat indépendant des variations qu'il peut éprouver. La méthode de Coulomb ne serait plus alors applicable.

Ct>. Différentes manière» de déterminer le rapport d«s densités électriques de deux points^ et le partage de Télectrlelté entre deux

eondneteurs. — On a toujours supposé, jusqu'à présent, que l'ùiguille mobile de la balance avait été primitivement chargée d'électricité de même nom que celle du corps que l'on étudie. L'avantage de celle précaution est qu'on peut obtenir des répulsions plus énergiques el que les torsions obtenues sont directement proportionnelles aux charges du plan d'épreuve, c'est-àdire aux densités électriques des points touchés.

DISTRIlilTlON I)K LlXhXTRlCITÉ. i\b

On peut cependant opérer autrement en ramenimt chaque fois la boule mobile à Tétat neutre et Trlectrisant avec le plan d'épreuve lui-même. Si l'on désigne par q la charge du plan d'épreuve, nq la fraction que prend la boule mobile, il restera sur lo|ilun 7(1 — n), de sorte que la torsion totale sera proportionnelle à m/ (l — n)7=r/*(i — n)ny c'est-à-dire proportionnelle au carré de la charge du plan d'épreuve. Par suite, le rapport ilob densités au\ deux points touchés sera égal à la racine carrée du rapport des torsions que Ton aura obtenues en opérant de cette manière. Cette méthode serait la seule ap[dicable dans le ca>où les deux points dont on v(mdrait comparer les densités électriques seraient chargés d'éleclricilés contraires.

Enfin, on pourrait aussi ne pas s'astreindre à ramener toujours taboulé mobile à la même distance. Le plan d'épreuve étant introduit dans la balance, on constaterait simplement la dislamn; là laquelle l'aiguille mobile se maintient en équilibre; la répulsiuQ des deu.\ corps à l'unité de distance serait alors

4/c. asin- tang —

Si la boule mobile a été primitivement chargée, le rapport des densités électriques en deux points donnant lieu aux déviations 1 et i, sera

asm -tang -

~ 3' âsin -taniç-

Si, au contraire, la boule nïobile était chargée chaque fois aver le plan d'épreuve et ramenée ensuite à l'état neutit*, il faudrait pr«»ndie la racine carrée de cA»lte fraction pour obtenir le rapport deb densités.

Cette dernière méthode pourrait être très-rapide, mais elle n'oflh» pas les mêmes garanties d'exactitude. Si on xnilail rtMupluyer dans une série de recherches, il \audrail niifox euctue ;:iaduer l'appareil expérinuMitalement en d(»iinaiit au plan dépri'u\e une série de eliaiges «pii seraient t^uijnnrs d.nis h* 1 appui t de 1 à -i etformaut une table des déviations eorre^piMulanles.

64. Lorsque deuxconducteursélectrisés sont en contact, on peut déterminer par le plan d'épreuve la distribution de rélectricitè sur chacun d*eux et par suite le rapport des quantités totales d'électricités que possèdent les deux corps. Mais le problème est beaucoup plus simple si on ne cherche à déterminer que le rapport des charges, c'est-à-dire le partage de l'électricité entre les deux conducteurs.

Pour cela, l'un des conducteurs A étant seul électrisé, on applique le plan d'épreuve en un point P et, le portant dans la balance dont la boule mobile est chargée de la même électricité, on obtient pour un certain écart une torsion totale T. On touche ensuite le conducteur A par l'autre conducteur B, on enlève ce dernier, et, après avoir posé le plan d'épreuve au même point P du conducteur A, on obtient une torsion nouvelle

T'. Le rapport y, est égal au rapport des densités au même point P

et par suite au rapport des charges électriques M et M' que possédait le corps A avant et après son contact avec B. Ce dernier conducteur a pris dans le contact la charge M— M'. Or, de l'équation

on déduit

Tel est le rapport des charges électriques des deux conducteurs A etB lorsqu'ils sont maintenus en contact.

65. Coulomb a souvent employé une méthode un peu différente. Au lieu d'évaluer la densité électrique en un point de l'un des conducteurs A, il introduisait ce conducteur lui-même dans la balance à la place de la boule fixe et déterminait la torsion nécessaire pour maintenir l'aiguille primitivement chargée à une certaine distance. 11 enlevait ce conducteur, le mettait en contact un instant avec le conducteur B et, reportant le premier dans la balance, faisait une deuxième observation. Le rapport des deux torsions T et T' ainsi obteimes est encore égal au rapport des charges M et M' du cpnducteur A avant et après son contact

MSTRIBUTiOH DE L-ËLECTRICITÉ. 117

avfc le second, et le rapport des charges électriques des deux coitducleurs A et B en contact est

Pour ce genre d'expériences, Coulomb s'est servi d'une balance plus grande (fig 51) qui lui permettait d'y introduire des boules de nit>(al de quatre pouces de diamètre et d'employer des lits mélalliques plusgros, par exemple du fil de cuivre n° l'iducomtneree.

U cage de celte balance était carrée et formée par des glaces de • piedfxle longueur sur 15 à 16 pouces de hauteur, montées dans du bois bien sec; celle cage était couverte par des morceaux de ?lKes mobiles pour laisser des ouvertures plus ou moins gnndïs. Le tube de verre qui porte le micromètre et le fll était soul™" par une traverse en bois reliée à la base, el une division f'Tespondant à des angles au centre égaux était IractV sur une di-sTatcsdc la cage. On voit aisément comment s'cFTocluaieiit 1"^ expériences.

Il n'a été fait qu'un petit nombre d'expériences pour déterminer la distribution d'électricité sur un corps unique ; le calcul présente d'ailleurs des difficultés insurmontables quand la forme des corps n'est pas extrêmement simple.

66. Sphère et EUipsoide. — Daus le cas d'uiic sphère, il est clair que la distribution doit être uniforme par raison de symétrie.

On sait qu'une couche homogène comprise entre deux ellipsoïdes concentriques et homothétiques n'exerce aucune action sur un point intérieur ; une couche semblable, de très-petite épaisseur, appliquée sur la surface d'un ellipsoïde, peut donc

servir à y représenter la distribution de

l'électricité. La densité électrique en un

point P (fig. 35) est proportionnelle à

l'épaisseur PA' de la couche en ce point,

c'est-à-dire à la distance HH' des deux

plans tangents en deux points homolo-

'^' gués P et P' des deux couches. Soit l -h a

le rapport de similitude des deux surfaces, a étant très-petit, p

la perpendiculaire 011 abaissée du centre sur le plan langent en

P, l'épaisseur IIH' est égale à pa, et la densité |x au point P est

Si l'on désigne par rt,fc et c les demi-axes de l'ellipsoïde, le volume de la couche est

-'3ra6c[(l-f-a)'— i],

OU sensiblement 4-a6ca. La charge électrique totale est donc

M=:^ 4zaftcaK, d'où l'on déduit

On a d'ailleurs

il en K'sulle que la densité sur chacun des sommets est proportionnelle à la longueur de Taxe correspondant.

Si Ton suppose que l'un des axes, c, devienne très-petit, l'ellipsoïde se transforme en un plateau infiniment mince. Puisque

on a

krJtb

les lipnes d'égale densité sont des ellipses concentriques et homothétiques. La densité électrique aufrmente à mesure qu'on ^Wigne du centrç sur un rayon. Toutefois, celle formule lie peut convenir à aucun cas réel, puisque la densité serait infinie sur le bord même du plateau, ce qui est évidemment impossible.

ie ne connais d*ailleurs aucune expérience dans laquelle on Ml essayé de vérifier la loi de distribution sur un ellipsoïde.

67. LuM» alioBfféc. — Biot â rapporté (M quelqiieN expériences Vi'il a retrouvées dans les papiers de Coulomb, el que ce physicien n'avait sans doute pas

jugé i propos de publier. , ^^; '• y^

L'une d'elles est relative à la . .

Ji'^lribution de Télectricité "* "

^ur une lame allongée (fig. 56) de 1 1 poures de longueur, 1 pouce

de lai'peur et ^ ligue d'épaisseur.

tn louchant cette lame par un plan d'épreuve, idternativement

Traif^ de phfêique expérimentale et mathèniatiifur. t. H, p. 275.

au milieu A et au point B, situé à un pouce de l'extrémité, il a obtenu les torsions totales suivantes :

En A, 570 550 520

En B, 440 595.

Ces nombres donnent pour le rapport des densités en B et en A trois valeurs : 1,22, 1,20 et 1,18, dont la moyenne est 1,20.

Il a obtenu de même, en comparant le point A avec le bord C de la lame :

EnC, 400 590 500

En A, 195 185,

d'où l'on déduit, pour le rapport des densités, les nombres 2,02 2,05 et 2,00, dont la moyenne est 2,02.

Coulomb a mis ensuite le plan dépreuve dans le prolongement de la lame elle-même, en D, au lieu de l'appliquer sur la surface, et il a trouvé :

En A, 505 285

EnD, 1175 1157,

ce qui donne les rapports 5,98 et 4,05, dont la moyenne est 4,01 . Ce rapport étant sensiblement le double de celui qui a été obtenu pour le point C, Biot en conclut que le plan d'épreuve dans la dernière expérience subissait l'influence des deux surfaces de la lame, et que la quantité d'électricité qu'il prenait était proportionnelle au double de la densité au point touché. Il parait douteux que Coulomb eût adopté cette manière de voir ; le plan d'épreuve appliqué par sa tranche sur un corps électrisé change tellement la forme de la surface au point touché que la méthode n'est plus applicable en aucune façon. D'autre part, il est certain que si l'on touchait un point quelconque de la lame. Cou B, par un plan d'épreuve posé sur sa tranche, on prendrait une quantité d'électricité beaucoup plus grande, sans qu'il soit nécessaire, pour expliquer ce résultat, de faire intervenir la surface inférieure de la lame ; mais il n'y a aucune relation simple à établir entre les charges que peut enlever le plan d'épreuve dans ces deux positions différentes.

DISTRIBUTION DE LtLECTRICITfi

Pour une autre lame de 22 pouces de longueur, il y a eu le même rapport 2 entre la densité de Textrémité et celle du milieu.

Biot en conclut que pour des lames suffisamment longues par rapport à leur diamètre, la loi de distribulion électrique aux extfi'mitês est indépendante de la longueur de la lame. Cette conséquence parait peu probable.

68. ■■■^■B circulaire. — Biot (') rapporte encore, d'après les manuscrits de Coulomb, des mesures faites sur un disque de cuivre circulaire de 10 pouces de diamètre. Le tableau suivant donne le résultat de ces expériences : la première colonne indique la distance du point touché au bord du disque, la seconde le rapport de la densité en ce pointa celle du milieu.

DENSITÉ