Propriétés des dérivées sccondefl du poteattel. ^^ LeS

dérivées secondes du potentiel jouissent aussi de propriétés remarquables.

Considérons d'abord le cas où le point P est situé en dehors

des masses agissantes ; la fonction - ne devenant pas infinie, on

peut difTérentier sous le signe 1 comme à l'ordinaire. On a trouvé^ par une première opération,

Une deuxième opération par rapport à x donnera

on a, de même,

Ajoutant les trois équations membre à membre, il vient identiquement

dx* dy* dz^ ^

Ainsi, quand le point P est en dehors des masses agissantes^

h 90fnme des trois dérivées secondes partielles du potentiel est

nulle.

Oimme cette somme des trois dérivées joue un grand rôle dans la théorie, on la désignera pour abréger par le symbole AV, de v>rte que l'équation précédente s'écrira :

AV=o.

i l!2. Ce théorème important a été énoncé pour la premiéi*e fois par l^place; mais Poisson a reconnu que le rais6nnemont oVsl plus exact lorsque le point P est situé à Tintérieur des masbcs agissantes, parce que la fonction qui est placée sous le ^ÎK^e I devient alors infinie. Les dérivées seccmdes varient cmunic le cube des distances r-et les éléments voisins du point P

212 TRAITE DtLEGTRICITÉ STATIQUE.

ont une influence prédominante. U faut alors recourir à d'autres méthodes.

Supposons d'abord que la masse agissante ait, dans le voisinage du point P, une densité constante p, et partageons encore celte ma^se en deux parties : une petite sphère S comprenant le point P et y produisant un potentiel Vp et la partie extérieure dont le potentiel au mémo point est V,.

Le potentiel au point P est

d'où l'on déduit