AV = AV
La valeur de AV ne dépend donc que de la masse renfermée dans la petite sphère.
D'autre part, l'origine des coordonnées étant au centre de cette sphère, on a (139)
dV. 4
il en résulte
et, par suite,
dx* ilif dz* 3 '*^
AV,= — 47:p=AV.
Nous admettrons, comme on le démontre par des considérations trop délicates pour trouver place ici, que le tliéorèmc est encore vrai quand la densité électrique n'est pas constante dans le voi-
THÉORIE DES PHË<OMÈNES ÉLECTRIQUES. 315
sinage du point P et qu'on a, d'une manière générale, la relation
„ d«V «PV d'V
(11) AV = ^. + ^4-3^ = -4.p,
ce qui donne le théorème :
Th. II. La somme des trois dérivées secondes partielles du potentiel est égale à la densité électrique au point considéré multipliée par — 4r.
Ce théorème comprend comme cas particulier celui où p = o, c'est-à-dire où le point considéré est situé en dehors des masses agissantes.
1 43. Équilibre électrique daim un eyiitéiiie de eorpa eoadiieteiire.
— Quand un corps conducteur électrisé ou soumis à Tinfluencede corps électrisés est en équilibre, nous avons déjà dit que la force électrique doit être nulle en un point quelconque de Tintérieur du conducleur. En cfTet, si la force n'était pas nulle et s'il se trouvait en un point de rélectricité libre, cette électricité obéirait à la force électrique et marcherait dans un certain sens, ce qui est contraire à l'hypothèse de l'équilibre. D'autre part, s'il n'y a pas d'électricité libre, les deux quantités -H m et — m d'électricités conti*aires qui constituent une masse infiniment petite de fluide neutre seraient sollicitées en sens contraires et il se ferait une nouvelle décomposition du fluide neutre, ce qui est encore contraire à l'hypothèse. Mais, si la force électrique est nulle, ses trois composantes sont aussi nulles et, comme elles sont égales séparément aux dérivées premières du potentiel, il en résulte que ces dérivées sont nulles et que le potentiel est constant. Ainsi le potentiel est constant dans toute V étendue d'un conducteur en équilibre électrique.
Si le potentiel est constant, les dérivées premières sont nulles en tous les points et il en est de môme des dérivées secondes
(Py (i»V d'V
j-rt J-; et -r-r • La sommc de ces dérivées secondes est aussi
dar d\f dz*
nulle et l'on a
par suite p =: 0.
2U TRAITÉ D'ÉLECTRICITÉ STATIQUK,
Ainsi, la densité de T électricité libre dans l'intérieur des corps conducteurs en équilibre est nulle, H en résulte que Vélectricité est distribuée suivant une couche infiniment tjiince à la surface de chaque conducteur.
Nous avons vu (48) que Coulomb avait déjà démontre directement cette propriété en partant de la loi du carré des distances.
Si Ton désigne maintenant par (;. la densité électrique de la couche superficielle, la masse d'électricité libre qui se trouve sur un élément de surface dcr sera [uda, et la masse totale répandue sur toute la surface d*un corps conducteur sera
M=: I [iAq,
Dans chacun des corps le potentiel a une valeur constante et cette valeur est la même qu'à la surface : la surface du corps est donc une surface de niveau.
144. Pour bien suivre le développement des phénomènes électriques, il importe de se familiariser avec la notion de potentiel et de s'en faire une certaine représentation.
Quand un conducteur est chargé d'électricité positive, le potentiel est constant dans toute l'étendue de ce corps, puis il varie à partir de la surface et diminue de plus en plus jusqu'à l'infini où il est nul. Si l'on imagine que l'on coupe le corps par un plan, on pourra se représenter les variations du potentiel aux diflerents points de ce plan, en élevant en chaque point une perpendiculaire proportionnelle à la valeur de cette fonction. Les extrémités de ces droites formeront une sorte de carte topographique en relief dans laquelle les points qui correspondent au conducteur seront représentés par un plateau à partir duquel le niveau ira en s'abaissant dans tous les sens, suivant une loi plus ou moins simple qui dépendra de la forme du conducteur lui-même.
S'il y a, au contraire, différents corps conducteurs en présence et que plusieurs d'entre eux soient coupés par le plan, la figure topographique présentera un certain nombre de plateaux à des hauteurs difTércntcs, correspondant chacun à l'un des conducteurs , et ces plateaux seront séparés par des pentes plus ou
moins profondes et plus ou moins régulières. 11 y a la plus grande analogie entre les lignes de niveau en topographie et les surfaces de niveau électriques et c*cst précisément à cause de cel^ que cette dernière dénomination a été choisie. En prenant toujours pour guide cette comparaison, on se fera une idée très-exacte des phénomènes électriques.
1 i5. Si Ton mène par un point de l'espace une ligne qui soit successivement normale à toutes les surfaces de niveau qu'elle rencontrât c'est-à-dire une orthogonale, la force électrique sera tangente en chacun des points de cette ligne. C*est là la traduction exacte de ce que Faraday appelait lignes de force ; pour ce physicien, les lignes de force représentaient la manière dont se transmet la force électrique d'un point à un autre et il admettait volontiers que l'action électrique pouvait s'exercer en lignes courbes. On voit que, sans abandonner le principe fondamental des actions directes de deux points l'un sur l'autre suivant la droite qui les joint, on peut donner une interprétation trés-claii^ des idées et des expériences de Faraday.
Les lignes de force sont analogues aux lignes de plus grande pente en topographie.
1 i6. Supposons encore qu'une masse infiniment petite d'électricité positive m se déplace d'un point  à un autre point B ((ig. 81) en suivant un chemin quelconque APB. Au point P cette masse m est soumise à la force électrique
/^ — m-j-' normale à la surface de nidn
veau V qui passe en ce point P. Le travail de cette force quand la molécule va du point P au point P' situé sur une surface de niveau infiniment voisine est, en appelant X l'angle que fait l'élément de trajectoire PI** avec la normale à la surface de v^. jî" niveau en P, rur. si.
yl»P'cosa, = /1M\=/(/n.
Le travail total de la force électrique, pendant le déplacement
916 TRAITE D*ÉLEGTRIGlTfi STATIQUE.
de la masse m de A en B» est
= Jfdn=-m j -^dn = -.m(V,-V.)=m(V.-V,);
ce travail dépend donc uniquement des valeurs V. et V^ du potentiel aux deux points extrêmes A et B. En particulier, si la masse m s'éloigne jusqu'à l'infini, le travail électrique est alors mY«; le travail pour une masse égale à l'unité serait simplement V«.
Ainsi, le potentiel en un point est le travail que produirait une masse électrique égale à Tunité (*), qui s'éloignerait de ce point jusqu'à Vinfini ou jusqu'à un autre point oii le potentiel serait nul ; ou bien encore le travail qu'il faudrait dépenser pour amener une masse électrique égale à Vunité depuis Vinfini jusqu^au point considéré. Cette propriété a été» prise quelquefois comme la définition même du potentiel.
Comme les niveaux électriques n'interviennent dans la plupart des phénomènes que par les différences et non par les valeurs absolues des potentiels correspondants, oh convient habituellement de compter tous les potentiels à partir de celui qui existe sur le sol ou réservoir commun, auquel on suppose un potentiel égal à zéro.
i47. Gnpacitéfl électriques. — La uotiou de Capacité électrique des conducteurs a été indiquée par Volta (*) dans des termes trèsprécis. Il rappelle une expérience par laquelle Franklin a vérifié que, lorqu'on augmente la surface d'un conducteur sans changer sa masse, on augmente en même temps sa capacité électrique : si un vase de métal renferme une chaîne, la capacité, de ce vase est beaucoup plus grande quand on déploie la chaîne que si on la laisse accumulée dans le vase. Volta remarque de même que de deux conducteurs à surfaces égales, celui qui est le plus long a la plus grande capacité, et il indique un moyen pour comparer les capacités de deux conducteurs : c'est de déterminer le nombre
(*] On suppose dans cet énoncé que le déplacement de la masse que Ton envisage ne modiûe pas d'une manière appréciable les valeui*s du potentiel aux dirTéronts points.
(*) Journal de physique de l'abbé Roxier (avril 4779.)
TflÉORIE DK8 PHÉNOMÈNES ÉLCCTRIQIICS. m
(le tours de roue d*une machine électrique nécessaires pour donner à ces conducteurs la charge maximum, c'est-à-dire pour les amener a un état tel que Télectroscope posé sur la machine soit à sa déviation maximum. Volta trouve ainsi que la capacité d'un cylindre, de surface ou de volume déterminés, augmente rapidement avec la longueur.
M. Thomson (*) a montré tout le parti que Ton peut tirer au point de vue expérimental de la notion de capacité électrique. On peut remarquer d*abord que, pour un conducteur placé dans des conditions déterminées, le potentiel est proportionnel à la quan* lité d*électricité dont le conducteur est chargé. En efTet, la superposition de deux étals d*équilibre donne encore un nouvel (Hat d'équilibre ; les couches électriques qui correspondent à chacun des états produisaient séparément un potentiel constant dans le conducteur et, si on les superpose, le potentiel nouveau "^ra égal à la somme des deux potentiels précédents et aura aussi une valeur constante. Si les deux états que Ton superpose NonI identiques, le potentiel résultant de leur superposition sera doublé, et la charge électrique aussi doublée (').
Ainsi, en désignant par V le potentiel d*un conducteur char;;é d'une quantité M d'électricité, on peut écrire
C étant la capacité électrique du conducteur, c'est-à-dire la quantité d*électricité qui serait nécessaii*e pour établir sur ce conducteur un potentiel égal à Tunité.
lis. Nous avons vu que, pour une sphère conductrice soustraite à toute action extérieure, on a
la capacité électrique d'une sphère est donc i^eprésentée par le même nombre que le rayon de la sphère.
*) !louii admeUonN ici que deiii rnassos r*);.ilo« dVliHrlrictU' en t^|tti libre sur un ciMiductrur MMit diNtribuêe-% de la nM^nip manière et |>rodiiisi>iit le mtMne |K>UMitiel. v\\ •1 julrw temipfl» qu'il n'y a qu'une distribution pos>iblo do IVIrctrii-it»». CetU» prnpt>- MiMNi, asset évidente d'ai Heur», sera d«^inomr(''e plus loin.
Pour un conducteur de forme quelconque, isolé aussi de toute action étrangère, la charge électrique et le potentiel sont représentés par les formules suivantes, dans lesquelles (a désigne la densité électrique sur un élément de surface dtj, et v la distance de cet élément à un point quelconque situé dans ce conducteur,
(xda,
L'expression mathématique de la capacité électrique est donc
V r[kd^ '
mais la détermination de cette quantité par le calcul présenterait en général de très-grandes difficultés'.
II est facile de voir que les capacités de deux conducteurs semblables sont proportionnelles aux dimensions homologues. En effet, le potentiel de la couche électrique d'un élément de sur-
face en un point P intérieur à un conducteur est — ; si l'on dou-
ble les dimensions du conducteur sans changer la quantité d'électricité, la charge électrique jji'dff' du nouvel élément de surface homologue du premier ne sera pas changée, la distance de cet élément au point F homologue du point P sera doublée, et le potentiel deviendra deux fois plus faible.
149. La comparaison des potentiels et des capacités électriques est un problème qui se présente constamment dans les recherches d'électricité et nous indiquerons plus tard les méthodes expérimentales qui permettent de le résoudre. Le principe général de ces déterminations est très-simple.
Considérons deux conducteurs A et A' dont les capacités électriques sont C et C et qui sont chargés de quantités d'électricité M et M' telles que le potentiel V soit le même sur les deux. Si l'on met ces corps en communication par un fil conducteur assez long pour qu'ils n'aient aucune action sensible l'un sur
Tautre, et assez fin pour que sa capacité électrique soit négligeable, les corps proposés A et A' conserveront le même potentiel et le système sera en équilibre. On aura donc
M ^T Mh-M'
C C C-hC
équation qui exprime que la capacité (C + G) de Fensemble des deux conducteurs réunis est égale à la somme des capacités de chacun d*eux.
Si les deux masses M et M' donnent séparément aux conducteurs des potentiels difTérents Y et V\ on a
En établissant une communication lointaine entre les deux conducteurs on les amènera au même potentiel V, détermina par Téquation
mVM' VCh-V'C
C^C ~ t-hC
qui donne le rapport des capacités p> = ^ ^ à l'aide des potentiels.
Les charges nouvelles m et m' des conducteurs satisferont aux équations
qui donnent
rw=^— jT, (M H- M'),
