dff> = — 4:: I {JL^a^= — 4îçM
et il en résulte
Mg := M^.
170. BmrtHiie ém Leyde. — Une bouteiUe de Leyde constitue, comme nous Tavons vu, un condensateur dans lequel Tune des armatures est enveloppée par Tautre presque complètement et l'on peut appliquer à cet appareil, au moins d*une manière approchée, les théorèmes relatifs aux conducteurs fermés. Ainsi, Tarmature intérieure de la bouteille étant mise on coromunicatioYi avec une source au potentiel V^ se charge d*une certaine quantilé d'élcclricité M^ ; si Tarmature extérieure est i>olêe, elle prend sur sa face interne une charge — M^ et sur î>a face externe une charge -+- Mj. Si Tarmature extérieure communiqué avec le sol, la charge + M^ disparaît, de sorte que les armatures de la bouteille sont cliargées de quantités égales d'électricités différentes.
Pour évaluer la charge de cet appareil, nous supposerons d'abord que la lame de verre qui sépare les armatures n*a d'autre rùle que d^étre une substance absolument isolante. Soient A Tarmature intérieure dont le potentiel est V^, B Tarmature extérieure dont le potentiel est V,.
Les éléments correspondants des deux armatures ont des charges égales et de signes contraires, et si leur distance e est
très-petite, la densité (x^ sur l^armature intérieure sera donnée (163) parla relation
La masse totale M^ d'électricité répandue sur Tarmâture intérieure est
^=f-^-'-^-ri
Si l'épaisseur du milieu isolant est constante, il reste simplement
La charge de la bouteille est donc proportionnelle à sa surface Sp à la difTérence des potentiels des armatures, et en raison inverse de l'épaisseur de la lame isolante.
Lorsque l'armature extérieure communique avec le sol, son potentiel est nul, et l'on a
Cette expression est la même que pour un condensateur formé d'une sphère entourée par un condensateur sphérique concentrique non isolé. Nous avons vu en effet (152) que le potentiel y^ de la sphère est donné par l'expression
on en déduit
et cette formule se réduit à celle qui a été obtenue précédem* menii quand on néglige le rapport |r- devant l'unité^
171. On peut d'ailleurs, pour une bouteille de forme quelconque et d'épaisseur constante, obte* nir une expression plus approchée de la charge, analogue à celle du condensateur sphériquc.
Quand on passe de Tarmature intérieure A (fig. 89) à l'armature extérieure B, le potentiel varie d'une manière continue de \^ à V,. On peut considérer V, comme une fonction de • y/^r l'épaisseur normale e du milieu isolant ^ '^ et des dérivées du potentiel dans la couche isolante ; en limitant le développement aux termes du second ordre, il vient
En un point P de la surface du conducteur A, menons trois axes rectangulaires, l'un suivant la normale, et les deux autres {t et y) tangents aux deux sections principales de la surface. La densité électrique étant nulle dans le milieu isolant, on a toujours aV=:0, ou
rf*V d*V <P\ ,, dx* a y* dfr
d où Ton déduit
d'\ /rf'V </»V\
dn* ydx" dyy'
Soit PP la section principale de la surface parallèle à Taxe des jr,et PI la tangente; considérons sur cette droite deux points T et T* infiniment voisins dont les distances au point P sont Ij- et ilx^ et appelons V et V" les potentiels en ces deux points ; on a
^ lx (V — \') — ( v — V.) y — iV -M*,
Les perpendiculaires T'I", T"P* menées jus(|u'à la rencontre do
S44 TRAITÉ DtLECTRiaTË STATIQIE.
la courbe ont sensiblement pour expressions, en désignant par R le rayon de courbure de la section principale considérée,
îR ' 2R '
Pour ces points T' et T' infiniment voisins de la surface, on peut borner le développement (1) aux deux premiers termes, ce qui donne
* an
* an On en déduit
et, par suite,
(P\i dJ dx* R dn '
On obtiendrait de môme, en considérant l'autre section principale dont le rayon de courbure est R',
dJ\___i^dV dif^K dn
11 en résulte
d|V__A j\dV
En substituant cette valeur dans l'équation (1), il vient
Si Ton fait encore V,^ 0, il reste finalement, en remplaçant
dV ^par-4:v.
TfltoRlE DES PHfiNOllËNES ÉLECTRIQUES. S45
d'où, au même degré d'approximation,
Cette expression, qui donne la densité au point P de l'armature en fonction de l'épaisseur de la lame isolante, est la même que celle qui a été obtenue pour la sphère. La charge M^ de l'armature est égale I \»ds. Si l'épaisseur est constante et si la surface
est telle que la somme des inverses des rayons de courbure soit la même en tous les points, cette charge sera
«.=/^=îâ[..|(-.A)].
La capacité de la bouteille a donc pour expression
172. Pour calculer la force condensante, il faudrait connaître la capacité électrique C de l'armature A supposée seule, ce qui est en général un problème très-difiicile. On aurait alors
On voit que, comme première approximation, la force condensante est en raison inverse de Tépaisseur de la lame isolante. Cette force condensante dépend de la forme de la surface ; elle est maximum pour un condensateur sphérique, parce que la sphère est le corps qui, à surface donnée, a la moindre capacité électrique.
On peut remarquer d'ailleurs que, dans la pratique, la force condensante ne présente pas en général un grand intérêt; ce qui importe surtout, c'est la quantité totale d'électricité que l'on peut accumuler sur un appareil de condensation et, quand la lame isolante est d'épaisseur constante, la charge totale ne dépend que de l'étendue de la surface et de l'épaisseur du milieu isolant.
Comme la sphère est de tous les corps qui ont même volume celui dont la surface est minimum, il y a môme avantage à donner aux bouteilles de Leyde des formes différentes de la sphère, à employer par exemple des bocaux cylindriques. On augmente ainsi la quantité d'électricité, en même temps que les appareils sont plus faciles à construire et à manier.
173. Conde^Miteim cjUndri^oe*. — On peut d'aiUeurs faire le calcul d'une manière à peu près complète pour le cas des condensateurs cylindriques, au moins lorsque la longueur des cylindres est indéfinie, ce qui correspond pour la pratique au cas de cylindres très-longs par rapport à leurs dia« mètres.
Si Ton considère plusieurs cylindres conducteurs parallèles et indéfinis électrisés, il est clair que, par raison de symétrie, la densité est constante en tous les points d'une génératrice de Tun quelconque des cylindres, lorsque l'équilibre a lieu; les surfaces de niveau sont elles-mêmes cylindriques, et la distribution de rélectricitc est la même sur tous les plans perpendiculaires à ces cylindres. Il suffit donc de déterminer la condition d'équilibre dans un de ces plans.
Évaluons pour cela l'action exercée en un point V (fig. 90), sur
une masse électrique égale à 1 , par une bande étroite comprise entre deux génératrices infiniment voisines AB et A'B'. Menons par le point P un plan perpendiculaire à ces génératrices, et joignons ce point au milieu 0 de l'arc ds compris entre les génératrices. L'action de cette bande est évidemment dirigée suivant PO; il suffit pour l'évaluer de faire la somme des composantes parallèles à PO de toutes les actions élémentaires.
L'action en P de la masse électrique comprise entre deux parallèlles NN' et NjN', situées à des distances y et ly -f- dy du point 0 est, en appelant [x la densité électrique sur la surface,
Pig. 90.
dsdy
et la composante parallèle à PO est, en appelant p la disiancc PO,
dsdu p , du
Un a d'ailleurs, en désignant par a l'angle NPO,
ce qui donne, en substituant, La résultante est donc, pour une bande de longueur indéfinie.
y.ds r . \ulg/ . \^^
— - — I cosaai:=^-— ( sim ) =:
L'équilibre électrique est donc le mi^me que si, dans le plan considéré perpendiculaire aux cylindres, les actions électriques étaient simplement en raison inverse de la distance, la densité électrique sur la courbe d'intersection de ce plan avec un cylindre étant double de la densité correspondante sur la surface.
174. La force électrique -^ au point P étant égale et de signe
contraire à la dérivée du potentiel, le potentiel a pour expression, à une constante prés,
le signe /. indiquant des logarithmes népériens.
Si la lame considéri^e a une longueur égale à L, la quantité d'électricité m qu'elle possède est
ni = L;ji</jt,
et, si cette longueur L est suffisamment grande par rapport à la
348 TRAITÉ D^ÉLEGTKICITË STATIQUE.
distance p, pour que raction des portions plus éloignées soit négligeable, on peut écrire
L p ii p
D^ailleurs, si Ton prend pour axe des z une parallèle aux arêtes des génératrices, l'équation générale d'équilibre
se réduit à
AV=— — — =0 dx* dj/* dz*
dx« ^ df ~ '
et cette condition est satisfaite* par une fonction logarithmique, comme celle que nous avons indiquée, ou une somme de fonctions de même forme.
Pour un cylindre circulaire droit de rayon R dont la densité électrique est la même en tous les points, le potentiel sur Taxe est la somme des potentiels de toutes les bandes dans lesquelles on peut décomposer la surface totale ; on a donc, en désignant par M la quantité totale d'électricité et par L la longueur du cylindre,
175. Considérons enfin deux cylindres concentriques, Tun de rayon R^ et l'autre de rayon intérieur R,, le premier étant au même potentiel V que précédemment et chargé d'une quantité -h M d'électricité, le second en communication avec le sol. Ce dernier sera chargé par influence sur sa face interne d'une quantité d'électricité — M égale et contraire à la précédente. Le potentiel sur l'axe commun est
~ L '-R, t'r.— tt ïï;'
d'où l'on tire
On peut vérifier que cette expression se ramène à la formule générale des condensateurs fermés à armatures très-rapprochées. Uésignant par e la distance des deux surfaces supposée trèspetite, on a, en bornant le développement de la formule des logarithmes aux premiers termes,
•»!"'' V"^V~St Ak;)""h.V 2RJ
et la surface totale S du cylindre intérieur est
S=SxR,L.
On en déduit
VS VS / e\
c'est l'expression de la charge électrique d'un condensateur fermé. 1 76. On peut encore traiter le cas d'un condensateur formé de
deux cvlindrcs conduc-
tcurs dont l'un est inté-
rieur à l'autre, mais qui ' ' - ^
ne sont pas concentri- . ' / \ \ >y
ques. ..'-/. ' ' . . .^ ' ^
Considérons deux droi- ^ \ \ v -^ ®» ®« { / /
tes parallèles de longueur \ V^^ — ^ / /
\*y chargées de quantités ^\ ^^ — -^ *•
d'électricité égales et de ^--^^ ..^
signes contraires + M et Fi«. 9i.
— M, distribuées sur chacune d'elles d'une manière uniforme. Menons un plan perpendiculaire à ces droites, qui coupe la première an A (fig. 01) et la seconde en A'. Le potentiel, au point P de ce plan, a pour expression
Les courbes de niveau dans le plan considéré sont détermi • nées par la condition
