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ce sont des circonférences de cercle intérieures les unes aux autres, mais non concentriques. Les surfaces de niveau sont donc des cylindres parallèles excentriques.

Posons, pour simplifier,

et prenons pour axes de coordonnées la droite A'A et une perpendiculaire au milieu de la distance des deux points A et A', distance que nous représenterons par 2a.

La circonférence qui correspond au potentiel V a pour équation

ou bien

p' [(x — a)* -f- tf\ = (a: 4- a)' H- y\

e étant la base des logarithmes népériens ; le rayon de ce cercle est donné par la formule

et l'abscisse du centre est

é'-hi

L'équalion (2) donne

,. = 2/. «+n/Rh^'

Si l'on considère deux circonférences R, et R,, dont les rayons sont R, cl R,, la distance 0,U, des deux centres est

(t) • aj — a, = \/R,'4-a' — v/R,' + «* = rf-

THÉORIK DES PHÉNOMÈNES ÉLKCTIUQUES. 951

Cette équation, résolue par rapport a a, donne

Ad\r = (R,» — H,« — (!')* — K/Ml jV

if/a=V(R,-l-R,-hrf) (R,-hR, — rf)(R, — R^-4.J)(R^Rj — rf). On déduit encore de Féquation (i)

La différence des valeurs do t* pour les deux circonférences «si

ou, en remplaçant les radicaux par leurs valeui^ tin'*es des tM|uations (5),

, R, R« — R« — rf«4-îr/<î

* ' R, IV — Rr-H</'-hi^/a

par suite,

..,, M 2M R, R,' — R," — ^jt 2rf«

et il suftira de remplacer dans cette è(|uation le terme 2c/a par sa valeur, pour que la dilTérence des potentiels soit exprimée eu fonctions des rayons R^ et R, des deux circonférences et de la distance de leurs centa's. Pour le problème électrique réel, cela signifie que la différence des potentiels sur deux surfaces cylindriques de niveau est exprimée en fonction des rayons des cylindres et de la distance de leurs axes.

Remarquons maintenant que la droite électristV qui se projette au point A est située dans Tintérieur de toutes les surHices de niveau, et que la droite A' est à Textérieur de toutes res surfaces.

Q52 TRAITE D*ËLEGTRIGITË STATIQUE.

On peut donc, d'après le théorème X (168), sans changer Téquilibre et sans modifier la loi des potentiels dans la région située entre les deux cylindres de rayon R^ et R,, distribuer la masse + M d*une manière convenable à la surface du cylindre de rayon R^ et la masse — M sur le cylindre de rayon R,. Le nouvel état d'équilibre correspondra au cas où un cylindre conducteur de rayon R^ communiquant avec une source au potentiel V^ serait entouré par un autre cylindre de rayon intérieur R, maintenu au potentiel Y,.

En désignant par Y la différence des deux potentiels, on aura donc

^^f ^ — L*R;^R,»-R,«-4-(P4-2da'

La capacité électrique C du condensateur formé par ces deux cylindres est donnée par Téquation

i 2 R, R/ — R^' — cP 4- 2da C~L R,^R,»-R,«-f- d« -h 2da

Si les cylindres sont concentriques, la distance d est nulle, l'équation (6) se réduit à

^— t'-it;

et l'on retrouve la formule connue.

177. Pour passer du cas général à celui d'un seul cylindre situé à une certaine distance d'un plan indéfini, on remplacera Texcentricite d par sa valeur en fonction du rayon R, du plus grand cylindre et de la plus courte distance S du centre du plus petit à la surface du plus grand, d'après la relation

et l'on cherchera la limite de l'équation (6), dans laquelle on fera

R, infini. Dans ce cas, le terme Ida devient égal à 2R, yji* — R,*, et il vient

Si la distance 8 est très-grande par rapport au rayon R^ du cylindre, ce qui conviendra par exemple au cas d'un fil télégraphique maintenu à une certaine distance au-dessus du sol, il reste simplement

La capacité électrique d'un fil placé dans ces conditions est donc la même que s'il était entouré d'une enveloppe cylindrique concentrique dont le rayon serait double de la hauteur à laquelle se kouve le fil (^).

Enfin, tous ces résultats sont relatifs, comme nous l'avons dit, au cas de cylindres indéfinis, et ne peuvent être appliqués que d'une manière approchée aux expériences réelles.

178. Coadensatciirs plans. — Un condensatcur à plateaux se compose de deux lames de métal parallèles séparées par une couche de matière isolante. Dans la pratique, ces condensateurs ont nécessairement une étendue limitée, et le problème de la distribution de Télectricité présente de grandes difficultés, surtout pour les points voisins du contour. Mais, si la distance des armatures de ce condensateur est très-petite par rapport a leur diamètre, on pourra considérer

chacune d'elle comme faisant B't~ i v,