partie d'un plan indéfini, et les

charges électriques, ainsi cal- ''

culées , différeront extrême- ^j ^ y

ment peu des charges réelles. e

Soit donc A (fig. 92) une bt iy,

plaque conductrice indéfinie Fig. 93.

au potentiel V^ B et B' deux plaques conductrices parallèles à la première, situées de part

(<) Le problème des cylindres excentriques a été résolu par H. Blavier, à propos de certaines expériences de M. Gaugain. (Journal de Physique, t. III, p. 115 et 151.) Voir plusieurs articles de H. Blavier, sur les grandeurs électriques et leur mesure ea unités absolues, dans les AnnaU* télégraphiques, 3« série, t. 1 et II.

et d'autre, l'une à une distance e, l'autre à une distance e\ et maintenues au même potentiel V,. 11 est clair que la densité électrique est uniforme sur chacune des surfaces, que les orthogonales aux surfaces de niveau sont des droites parallèles entre elles et perpendiculaires aux surfaces considérées, et que, par suite, la densité est la môme sur deux surfaces' placées en regard l'une de l'autre. La densité p. sur la surface inférieure du conducteur A est donnée (163) par l'équation

rfV V, — V^ V, — V,

an e e

On a de même, pour la face supérieure,

<wUl ; •

La charge totale M que possède une étendue limitée S du conducteur A est donc

VS / e He\ e

V désignant la différence des deux potentiels.

Si le conducteur B' est très-éloigné, ce qui correspond au cas d'un condensateur formé de deux plateaux, il reste simplemenl

c'est-à-dire la même formule que pour la bouleille de Leyde. La charge électrique d'un condensateur à plateaux et la force condensante sont donc sensiblement en raison inverse de la distance des armatures, et cette relation sera d'autant plus exacte que les surfaces seront plus voisines.

179. Oe l'iafloence élcetrlqne en fpénéral. Méthode de Mmrfhj*

— Tous les calculs qui précèdent se rapportent à des cas particuliers du problème général de l'influence électrique.

Considérons un conducteur A isolé et chargé d'une certaine quantité d'électricité -H M, dans le voisinage duquel se trouve un

conducteur B en communication avec le sol. On peut se proposer de déterminer quelle est la charge du conducteur B, le potentiel du premier conducteur A, et enfin la loi de distribution des couches électriques lorsque Féquilibre est atteint.

Remarquons d'abord qu'un corps élcctrisé peut toujours être considéré comme entouré complètement par un conducteur en œmmunication avec le sol ; ce conducteur sera formé par les parois de la salle si Ton opère dans une chambre' ordinaire, ou simplement par la surface du sol et les objets de toutes formes dont elle est couverte.

Si le corps électrisé est réellement entouré pur un conducteur, comme les parois d^une salle, ce conducteur se charge d'une quantité égale d'électricité contraire, et les éléments correspondants sur le corps électrisé et sur l'enveloppe, chargés de quantités égales et de signes contraires, sont déterminés par un canal orthogonal. Le conducteur B, en particulier, qui fait partie de Tenccinte ne sera rencontré que par une partie des orthogonales partant du corps électrisé et, par suite, la charge négative — )r de ce conducteur sera pUis petite que la charge positive du corps influent.

Si le corps électrisé est placé en plein air, la couche est surtout distribuée vers la partie inférieure de sa surface; la plupart des orthogonales que l'on peut tracera partir de ce corps rencontrent le sol à petite distance, celles qui se dirigent vers la partie supérieure se recourbent bientôt et retrouvent, plus ou moins loin, ou le sol ou un conducteur en communication avec le sol.

On voit par là le sens qu*il faut attribuer ù cette opinion de Faraday qu'il ne se produit jamais une quantité donnée d'électricité positive sans qu'il y ait quelque part une quantité égale d'électricité négative produite en même temps, ces deux quantités égales et de signes contraires étant reliées par des lignes de force.

180. Considérons d*a bord le cas où réiectricite influente -^- M est formée de masses fixes, distribuées par exemple en difTérents points d'un corps absolument isolant, et supposons qu'on ait déterminé la quantité — M' d'électricité contraire que prend le conducteur Ben communication avec le sol, et par suite au potentiel zéro. Pour obtenir l'état électrique que prendrait le conducteur

s'il eût été primitivement isolé à l'état neutre, il suffit d'appliquer sur ce conducteur une couche égale à -h M' distribuée d'une manière régulière ; la densité en chaque point sera la somme algébrique des densités relatives aux deux couches — M' et -4- M'. La charge totale de ce conducteur est nulle et l'équilibre existe, puisque l'électricité influente et la couche — M' avaient sur le conducteur un potentiel nul, et que la couche -i- M' a un potentiel constant. '

Si le conducteur B était isolé et primitivement chargé d'une quantité M^ d'électricité, il suffira encore, pour trouver l'équilibre, d'ajouter à la charge — M' produite par influence, une couche de masse M, -4- M' distribuée normalement.

Enfin, si Ton connaît séparément les états d'équilibre qui correspondent à l'influence de deux systèmes MetN de masses fixes, on obtiendra l'état électrique dû à l'influence du système M 4- N en superposant les couches électriques correspondant aux deux états d'équilibre précédents.

181 .Si le corps influent est lui-même conducteur, ce qui est le cas le plusgénéral, le problème devient plus difficile encore parce qu'il est nécessaire de tenir compte de la réaction exercée sur le corps influent par l'électricité du corps influencé. La méthode suivante d'approximations successives duc à R. Murphy (*) permet de traiter un certain nombre de questions.

Supposons que l'on veuille trouver l'état d'équilibre de deux conducteurs isolés A et B et chargés primitivement de quantités d'électricité données M^ et M,. Soit m la couche de niveau qui, répandue sur A, y produit un potentiel égal à 1 ; cette couche, supposée fixe, développera par influence sur B communiquant avec le sol une couche — m'. La couche — m', supposée fixe, développera à son tour sur le conducteur A non isolé une couche m^; celle-ci supposée fixe, donnera de même sur le conducteur B non isolé une couche — m\, et ainsi de suite indéfiniment. Superposant ces diverses couches, nous aurons sur .4 une couche égale à

;i) PhiL Mag., U, p. 350 (1833).

et sur B une couche

— M' = — in! — m\ — m\ — ....

On voit aisément que le potentiel est égal à 1 sur le conducteur A et à zéro sur le conducteur B ; par suite il y a équilibre.

Deméme« soit n la couche de niveau qui répandue sur B y produit un potentiel égal à 1 . Cette couche supposée fixe donnera par influence sur le conducteur A non isolé une couche •— n'; celle-ci donnera de même sur B non isolé une couche n^ laquelle donnera sur A une couche — n'p et ainsi de suite indéfiniment. Les deux couches

répandues sur B et A ont un potentiel égal à 1 sur fi et égal à zéro sur A et« par conséquent, constituent un nouvel état d'équilibre.

Concevons maintenant que Ton multiplie la densité en chaque point dans le premier état d'équilibre par Yp et la densité en chaque point dans le second état par Y,, les quantités Y^ et Y, sa tisfaisant aux équations «

Y,M-Y,N'=Mj, -Y,M'-4-Y,N=î=M„

et que l'on superpose les deux nouveaux états d'équilibre ainsi obtenus, on aura l'état d'équilibre réciproque des deux quantités d'électricité données M^ et M, répandus sur A et B. Le potentiel de Tensemble aura les valeurs constantes Y^ sur A et Y, sur B, valeurs que l'on peut déduire des deux équations qui précédent. Si l'on se donnait les potentiels Y^ et Y, des deux conducteurs, les mêmes équations détermineraient les couches M, et M,.

182. Travatt des f4»rc«s éleetrMpMs. — Lorsqu'un système* de corps conducteurs électrisé est mis en communication avec le sol, toute l'électricité libre disparait, le système revient à l'état neutre et au potentiel zéro. Si ces conducteurs restent isolés du sol pendant qu'on les fait communiquer entre eux, la distri-

25S TRAITÉ D'ÉLEGTRICITË STATIQUE.

bution générale de l'électricité se modifie et tous les conducteurs prennent le même potentiel. En général, lorsque, pour une cause quelconque, il y a déplacement des fluides électriques ou mouvement des corps électrisés eux-mêmes, ce changement dans l'état du système est accompagné d'un travail des forces élec^ triques.

Entre deux masses électriques m et m' la force est —j- et,

quand la distance de ces deux masses varie de ir, le travail de la force est

mm\ ^ mm'

La variation totale 3€ du travail électrique qui correspond à un changement d'état du système est

le signe Z s'étendant à toutes les combinaisons des masses électriques deux à deux.

Posons %

r il vient

îe = -8W,

et, quand le système passe de l'état i à l'état s, le travail des forces électriques est

6 = - (W, — WJ = W, - wv

183. Baersie Meetrfqoe. — La Valeur de la fonction W, dans un état quelconque du système, est le travail que développeraient les forces électriques, si le système revenait à l'état neutre ; car on aurait, dans ce cas, W,=o, et par suiteS = W^. Le système revenant de lui-même à l'état neutre quand on le met en communication avec le sol, on en conclut que la quantité W est toujours positive. On l'appelle, par analogie avec les fonctions que l'on étudie dans la théorie mécanique de la chaleur, énergie

THÉORIE DBS PHÉNOMÈNES ÉLECTIilQlES. S59

potentielle du êystème électrisé, ou simplement énergie électrique.

Inversement, pour électriser un système par le jeu d'une machine électrique, il faut dépenser une quantité de travail moteur égale à Ténergie potentielle qu'on veut lui communiquer. En général, le travail des forces électriques pour un cliangement quelconque, est égal à la variation qu'éprouve l'énergie potentielle quand on passe du premier état au second.

184. On peut exprimer l'énergie potentielle W d'un système à Faide de la fonction V c'est-à-dire du potentiel en chacun des points du système. La somme

renferme les combinaisons de toutes les masses élémentaires deux à deux.

Les combinaisons d'une masse déterminée m avec toutes les autres sont

K, 1^, r"',... étant les distances de toutes les autres molécules à la première. L'expression 1 — n'est autre chose que le potentiel Y. de toutes les masses électriques au point où se trouve la masse considérée m, de sorte que la somme de toutes les combinaisons qui renferment la masse m a pour expression mV.. De même, les combinaisons d'une masse w! avec chacune des autres donneraient m'V.., et ainsi de suite; la sommcltotale de ces combinaisons serait

mV^ -h m' V^ -+-... = 2iiiiV.

Mais, en opérant de cette manière, on a répété chaque combinaison deux fois; par exemple, le terme — ^-, relatif à la combinaison des deux masses m et m', est entré une première fois dans la somme partielle mV. et une seconde fois dans m'V... L'énergie potentielle est donc égale à la moitié de cette somme*

S60 TRAITE DtLEGTRlCITÉ STATIQUE.

ce qui donne

(1) W=-2mV.

185. Considérons un système de conducteurs A^ A,, A,,... sur lesquels sont répandues des masses électriques M^ M,, M^,... L'équilibre électrique étant établi, le potentiel a une valeur constante dans chacun des conducteurs, Y^ pour le premier A^, V, pour A,...

Dans la somme ZmV, les termes qui se rapportent aux difTérentes masses électriques répandues sur le corps A^ donnent une somme partielle V^ £m = V^H^ de même, les termes relatifs à A, donnent V,M,,... etc., et la relation (1) devient :