W=*-(VA + V.M
Remarquons que si Tun des conducteurs est resté isolé pendant qu'on a électrisé le système, ce corps n'est électrisé que par influence et contient des quantités égales d'électricité positive et d'électricité négative ; sa charge totale M est nulle, ainsi que le terme correspondant MV de Ténergie électrique. Ainsi les conducteurs isolés ne dépensent aucun travail pendant la charge et n'en produisent point pendant la décharge; toutefois il ne serait pas exact d'en conclure que ces conducteurs n'interviennent pas dans le phénomène, c£)r leur présence peut influer sur la charge que prennent les autres conducteurs de manière à augmenter le travail dépensé et produit; nous en verrons un exemple dans la disposition des batteries en cascade.
Si l'un des corps communique constamment avec la terre, la terre et ce corps réunis seront regardés comme faisant paiiiedu système; à cause des grandes dimensions du globe terrestre, le potentiel ou du moins le changement de potentiel dû aux masses électriques mises en jeu y sera sensiblement nul. La quantité d'électricité produite par influence sur ce conducteur ayant une valeur finie, le terme correspondant de l'énergie sera encore nul.
11 est clair que la quantité de travail nécessaire pour communiquer à un corps une charge électrique donnée est minimum
lorsque le corps est parfaitement conducteur ; car, si Ton imagine une autre distribution à Taide de résistances intérieures, telles que celles qui existent dans les corps imparfaitement conducteurs, et si Ton suppose ensuite que ces résistances diminuent peu à peu, le fluide reviendra à la première distribution, en surmontant les résistances et, par conséquent, accomplissant un travail positif.
i86. BéchMve dTvM fcDtcBig ée i^ejrde. — Considérons une bouteille de Leyde à armatures fermées. Nous avons vu (170) qu'en nous bornant à une première approximation et en supposant Tépaisseur de la lame isolante constante et très-petite, la quantité d*électricité répandue sur l'armature intérieure est
V étant le potentiel de la source en communication avec l'armature intérieure, et l'armature extérieure étant en relation avec le sol, c'est-à-dire au potentiel zéro. •
S En désignant par C le rapport — qui est une constante pour
une bouteille donnée et représente sa capacité électrique, on a
la quantité d'énergie que renferme cette bouteille est
ou
W = -CVV
Ainsi Fénergie électrique d'une bouteille de Leyde est proportionnelle au carré de la charge ou bien au carré du potentiel de la source.
Cette énergie se manifeste lorsqu'on réunit les deux armatures par un excitateur, la bouteille se décharge complètement
ses TRAITE D^ÉLEGTRIGITË STATIQUE.
el il y a production d'une quantité de travail - -p- ; ce travail se
traduit par une étincelle et par un échauftement des diiTércntes parties du corps qui établit une communication entre les arma* tures. Une partie de l'énergie électrique est employée à vaincre la résistance de l'air, c'est-à-dire à produire l'étincelle ; le reste se change en énergie calorifique.
Quand les armatures communiquent par un fil de métal gros et court, l'étincelle est énergique et réchauffement du conducteur trés-faible. Quand le fil est long et fin, Tétincelle est faible, mais le fil s'échauffe d'avantage. En général l'énergie est dépensée en plus grande quantité aux points ou la résistance à vaincre est plus grande.
Si l'on réunit les deux armatures par un fil très-long et trèsfin, l'étincelle devient très-faible et le travail correspondant né- ^igeable. La quantité de chaleur dégagée dans le fil est alors proportionnelle au carré de la charge de la bouteille. Cette loi a été découverte expérimentalement par M. Ricss.
187. iMeharge des batterie*. — Considérons une batterie formée de n bouteilles identiques dont les armatures extérieures communiquent toutes avec le sol. Si l'on charge toutes ces bouteilles séparément avec une même source, on établira sur chacune des armatures intérieures le même potentiel Y et la charge m, tels qu'on ait
c étant la capacité électrique de chaque bouteille.
Si l'on réunit toutes les armatures intérieures, l'équilibre subsiste, puisque le potentiel est le même partout et que les bouteilles n'exercent aucune action les unes sur les autres. La charge totale est la même que si la batterie avait été mise directement en relation avec la source.
L'énergie de la batterie est égale à la somme des énergies de chaqpe bouteille, c'est-à-dire
W=-nVm = lVnm=lVM,
M désignant la charge totale de la batterie.
Ainsi, une batterie formée de n bouteilles identiques est équivalente à une bouteille unique de même épaisseur dont la surface serait n fois plus grande^ c'csl-à-dire égale à la somme des surfaces de toutes les bouteilles qui la composent.
On en déduit encore
T> = — nm^=: =^ — —
2 r 2r n "ic n
Donc, pour une batterie formée de bouteilles identiques^ t énergie électrique est proportionnelle au carré de la diarge et en raison inverse du nombre des bouteilles.
Gîttc loi est conforme à celle que M. Riess a trouvée par expérience.
En remplaçant c par sa valeur -3- relative à chaque bouteille
( t di'signant par S la surface totale ns de la batterie, on a
„, i Aze M* 1 4-p .p 1 S .,,
i « n "" 2 S * "i ize
On voit, d'après cela, que pour une masse électrique donnée, Ténergie est proportionnelle à Tépaisseur de chaque bouteille et en raison inverse de la surface totale. Dans ce cas, il y aurait tout avantage à diminuer le nombre des bouteilles et augmenter Tépaisseur.
Si, au contraire, le potentiel est donné, ce qui est le cas habituel, Ténergie est en raison inverse de Tépaisscur et proportionnelle à la surface totale. Il est avantageux alors de multiplier les bouteilles, parce qu'il sera plus facile de leur donner une faible épaisseur.
188. On peut encore décharger une batterie d^une manière incomplète. Considérons par exemple deux batteries. Tune de n bouteilles et l'autre de n' bouleilh s toutes identiques. Char* créons la première à refus, comme a l'ordinaire ; rénergic polontiellc de cette batterie est alors
W=inV,« =-!-*•*.
2 "ic n
La deuxième batterie étant à Tétat neutre et son armature
extérieure communiquant avec le sol, on réunit les armatures intérieures des deux batteries , la charge nm se répand alors sur les (n + n') bouteilles, et l'on a constitué ainsi une nouvelle batterie dont l'énergie potentielle est
Le travail accompli pendant cette transformation est égal à la diminution W — W d'énergie potentielle :
W — W'=-^,W = -M* n-hnf 2c
189. Cette formule ne convient plus si les bouteilles des deux batteries ne sont pas identiques. Soit M^ la masse totale d'électricité, M et M' celles qui se répandent sur la première et sur la seconde batterie après la décharge incomplète. L'énergie potentielle primitive est toujours, les n bouteilles de la première batterie étant identiques entre elles,
Soit Y le potentiel sur les armatures intérieures des deux batteries réunies ; on aura pour chaque bouteille de la première batterie
- = cV ou M = ncV.
En désignant par c' la capacité électrique des bouteilles de la seconde batterie, on aura de même
M' = n'c'V'; on en déduit
M-h M' = M, = V {ne ■+- nV),
ne -f- n C
THfiORIkS DES PHÉNMÊNES ÉLECTRIQUES. 965
L*énergie potentielle que renferme encore cette batterie est
8 • inc-i-n'c Le travail dépensé (tendant la décharge incomplète est donc
2 I ne nr-HnVJ în c*
in c^ n d n! c
Désignons par eeis Tépaisseur et la surface de chacune des bouteilles de la première batterie, par e' et $' les quantités analogues pour les bouteilles de la seconde ; on a
ce qui donne
"ï n c^ n es'
Si les épaisseurs des bouteilles sont égales, il reste
i ne M n 8 n 8
expression identique à celle que M. Riess a obtenue expérimentaleii.ent.
190. Etudions enfin la charge par cascade. Considérons plusieurs batteries, une première renfermant n^ bouteilles, une seconde n,, une troisième n,... toutes ces bouteilles étant identiques, et les batteries étant réunies en cascade. L'armature intérieure de la première batterie communique avec une source d'électricité, son armature extérieure communique avec Tarma* ture intérieure de la seconde, et ainsi de suite jusqu'à la dernière batterie dont l'armature extérieure communique avec le sol. Soit M^ la chaire que prend l'armature intérieure de la première batterie, le potentiel de la source étant V^ ; il se produit par influence une charge — M, sur l'armature extérieure de la première batterie, une charge -h M, sur Tarmaturc intérieure de la seconde, et
le potentiel du conducteur formé par ces deux armatures est V, ; le cohducteur suivant possède de même les charges — M, et -f- M, et son potentiel est V,, etc. ; le potentiel de la dernière armature est nul. On a ainsi, en désignant par c la capacité électrique de chaque bouteille :
pour la 1'* batterie ^^^ = n^c{\^ — V,)
pour la 2* batterie M, = n,c(V, — VJ
pour la p'* ^ et dernière Mp = n,cVp.
On en déduit
Si les bouteilles peuvent être considérées comme fermées, les charges électriques développées par influence sur toutes les armatures sont égales, et Ton a
M, = M, = Mj = . . . = Mp, ce qui donne
M, ( 1 H ... — )=cV,.
Si toutes les batteries renferment le même nombre n de bouteilles, la formule devient
Mi? = cV„
ou
On voit, d'après cela, que la capacité électrique dCune batterie suivie d'un certain nombre de batteries identiques disposées en cascade et en raison inverse du nombre des batteries est proportionnelle au nombre des bouteilles de chaque batterie.
L'énergie potentielle d'une série de batteries disposées en cascade est
W = \ (V,M. - V,M. -h V,M, - . . . - Vp,, M,, -h V,., M,..)^
THfiORIE DES l'HSlfOIIÈXES ELECTRIQUES. 367
ou
On aurait pu d'ailleurs écrire celte équation directement, puisque les conducteurs intermédiaires qui restent isolés, et la dernière armature qui communique avec le sol, n'interviennent pas dans Ténergie potentielle.
Si Ton considère les bouteilles fermées et qu'on remplace V, par sa valeur, il vient
Telle est la quantité de travail nécessaire pour charger la batterie et aussi le travail qui sera produit par la décharge.
Si la même quantité d'électricité avait été placée sur la première batterie seulement, le travail eût été
on en déduit
formule qui se réduit à
lorsque la cascade est formée seulement de deux batteries. CVst encore une loi que M. Riess avait trouvée par expérience.
i9l. Ces formules ont dos applications importantes.
Lorsque toutes les batteries sont formées du même nombre n de bouteilles et que la première batterie reçoit une charge .M, Tènergie potentielle est
Le travail électrique pour une même quantité d'électricité est
donc proportionnel au nombre des batteries et en raison inverse du nombre de bouteilles ou de la surface de chaque batterie. La surface totale des bouteilles étant
on a, en remplaçant cpar — .
V=Î^M'H=i^MV.
Ainsi, quand on dispose d'une quantité d'électricité déterminée M et d'un certain nombre de bouteilles dont on constitue des cascades de batteries identiques, le travail électrique est proportionnel au carré du nombre des batteries. Ce travail est donc maximum lorsque toutes les bouteilles sont réunies une à une en cascade.
Si au contraire le potentiel V est déterminé, on a de même pour des batteries égales,
2 p 2 4re p 2 \4iîP/ p'
Le travail est alors en raison inverse du carré du nombre des batteries. Dans ce cas, l'emploi des cascades serait donc défavorable.
