BMHbvtiM ée r^ieclHcité
k — Le problème de la distribution de Télectricité n'a été résolu d'une manière complète que pour un très-petit nombre d'exemples particuliers. Poisson (*) est le premier qui ait abordé cette question, et il a traité le cas de deux sphères conductrices. Nous ne pouvons pas développer tous les calcub de Poisson, nous nous bornerons à en indiquer la marche générale afin de faire comprendre surtout la signiGcation des tables que nous extrairons de son mémoire.
Soient A et B (fig. 93) deux sphères conductrices dont les
Fif . 93.
rentres sont en 0 et 0^ à une distance r, les rayons a et fr, et qui M)nt chargées respectivement de quantités d'électricité égales à E« et E». L'électricité se porte à la surface de ces sphères et se dis-
mmoirtê de ntuiHia iSII, I'* partie, p. I
270 TRAITÉ D'£LECTRICITË STATIQUE.
tribue de telle façon que le potentiel soit constant dans Tintérieur de chacune d'elles; soit Aizh la valeur du potentiel dans la sphère A et 4x9 ^^ valeur dans la sphère B.
Comme le système est symétrique par rapport à la ligne des centres, la distribution de l'électricité sera aussi symétrique par rapport à cette même droite. On démontre d'ailleurs que le potentiel d'un corps de révolution est connu en tous les points quand il est déterminé sur l'axe ; il suffira donc d'écrire que le potentiel est constant dans chacune des sphères sur le diamètre commun.
Soit X la distance d'un point de l'axe au centre 0 de la première sphère, désignons par 41:9 (x) le potentiel de la couche E. répandue sur cette sphère en un point intérieur et par 479^ (x) le potentiel de cette même couche en un point extérieur ; désignons de môme par 4xF (c — x) le potentiel intérieur et par é7:l\ (c — x) le potentiel extérieur de la couche E^ répandue sur la deuxième sphère.
Si l'on considère un point M situé dans l'intérieur de la première sphère A, on aura donc
et, pour un point M^ intérieur à la sphère B, on aura de même, en désignant par a:^ sa distance au point 0,
(2) ?i(^t)-HF(c-xJ=(,.
Les quatre fonctions que renferment ces équations peuvent être réduites à deux. Considérons, en efTet, le point M' conjugue du point M par rapport à la sphère A, c'est-à-dire tel que l'on ait
OM.OM'=a«,
ou
xx':=^a^.
Si l'on joint un point quelconque P de cette sphère aux points M et M', on aura
PM' x[ d m~ a~x'
En désignant par \k la densité électrique au point P et par da un élément de surface, le potentiel au point M de la couche £« est
/ 1 r^Kih
Le potentiel de cette couche en M' sera de même
Or, on a
PM^~ JPÂT' m~^J V)\~âj W On en déduit les relations
Nous utiliserons la première équation (3) pour éliminer la fonction 9| et une équation analogue à (4) appliquée à la sphère B permettra d'éliminer F. ; on aura en effet
l/équation (2) devienl alors
ar/Va-t/ c—x, '\c—xj
On peut enfin faire disparaître la fonction F^ en appliquant cette dernière équation au point M^ conjugué du point M par rapport à la sphère B ; on aura alors
(c — j) (c — x,) = 6% d*où
6* c(c — x) — fr*
372 TRAITE DtlEGTRICITÉ STATIQUE.
En remplaçant x^ par cette valeur dans Téquation (2)\ il vient
9/ gir \-+-— ft-Fi(c-^)=J-
Portant enfin cette valeur deFj(c — a:) dans l'équation (1), on obtient
Telle est, en définitive, l'équation qu'il faut résoudre pour trouver le potentiel de la couche E^ sur un point intérieur quelconque ; toutes les autres quantités à déterminer se déduiront ensuite de celle-là.
193. Cas de devx spiiérMeB eoatacc. — Poisson examine d'abord le cas où les deux sphères sont en contact. Si, pour simplifier, on prend le rayon de la grande sphère A pour unité, on aura alors
L'équation (5) devient
i-hb^-x
Pour résoudre cette équation, Poisson cherche séparément les solutions qui conviennent aux cas où le second membre est égal
successivement à zéro, h et — - — c , et en ajoutant ces trois
i-Ho — X
solutions il obtient celle qui satisfait à l'équation complèle.
En faisant abstraction du second membre, on satisfait à Té-
quation (6) en posant
P étant une constante, ou plus généralement une fonction de x
qui reste la même quand on y change x en r — , .7- :•
Poisson n'indique pas la marche qu'il a suivie pour les autres cas, il dit seulement qu'il essaie de satisfaire à Téquation (6), dans laquelle on conserve le premier terme h du second membre, par une intégrale définie de la forme
V, m et II étant des constantes à déterminer. En substituant cette expression dans l'équation , on trouve
De même, en ayant égard au deuxième terme seulement '^^ du second membre de l'équation (6), on obtient par une intégrale de même forme la solution
de sorte que l'intégrale générale de l'équation (6) est
\—x (i-hfc){i
