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Le premier terme ne convient pas au problème électri
1 ^^^ JC
S74 TKAITÉ D'ÉLECTRICITÉ STATIQUE.
que parce qu'il deviendrait infini pour a;=i, et le potentiel de la couche E. ne peut pas être infini sur la surface de la sphère. D'autre part, les deux sphères étant en contact, le potentiel est le même sur chacune d'elles et 9= A. L'expression comprise entre parenthèses peut alors être simplifiée et il vient finalement
bh I (r«^— i)^<***H*-')
a(x) =: 7 rn v I -^ ^— al.
494. Pour avoir la quantité d'électricité qui est répandue sur la première sphère, il suffit de faire rr = 0, ce qui donne, en désignant par A la densité moyenne sur cette surface,
4ic(p(o)=-p=4icA;
on a donc
On a, de même, pour l'autre sphère
Les charges des deux sphères sont donc
6 / ^""î"^— 1 E.=4îcA=4icA— — T I — - — i — d^
\ — t La charge totale E^ de Tensemble des deux sphères est
APiUCiTIORS DE U THtoBIE. 975
de sorte que la capacité électrique C du conducteur ainsi formé est
195. Le rapport des densités moyennes sur la petite et sur la grande sphère est
Par suite d'une propriété connue de cette forme d'intégrales définies, on a
lrf/ = ;:COlgj^,
ce qui donne
Ej — E.=4rA rie cote — ^= V r « cote J^
z coiff -
dt
Poisson a calculé les valeurs de la fraction 3 pour un certain nombre de cas correspondant à des expériences de Coulomb (74), et les résultats de la théorie ont été parfaitement conformes avec ceut de l'observation.
Inexpérience et le calcul concourent ainsi à prouver que la den*
S76 TRAITÉ D^LECTRIGITÉ STATIQUE.
site électrique moyenne est toujours la plus grande sur la plus petite des deux sphères, bien que la charge totale de cette sphère soit toujours la plus faible, et que le rapport 0 augmente à mesure que le rayon b diminue. En développant Texpression 3 sui-
b vaut les puissances de — r, on voit qu'elle a pour limite l'intégrale
dt
qui est égale à — • La limite de ^ est donc
Si le i*ayon b est très-petit, on peut exprimer le rapport 3 P^r une série très-convergente dont les premiers termes sont
1 fît» b icV b Vl
si l'on suppose par exemple que b =— » on trouve ^ = i,654î, quantité qui est encore un peu au-dessous de la limite —
