CalcMl de la deaslté en eha^ve polai. — LeS Calculs qui

précèdent donnent le potentiel des deux couches en un point quelconque du diamètre commun et ne permettent pas encore

de déterminer la densité en chaque point. Pour cela considérons une sphère de

rayon r (fig. 94), électrisée

~^ ^ symétriquementparrapport

à Taxe OX : Soit y l'ordonnée d'un point P de la* sur- Fig. 9i. face, et ds un élément de la

circonférence méridiemie.

La masse électrique de la zone décrite autour de l'axe OX par

. APPLICATIONS DE U tHftXUE. tll

rèlëment dt est

et le potentiel au point M de la couche totale est

= J "PBT

Soit a la distance OM et 0 le cosinus de l'angle POM, on a

D'ailleurs, les quantités |a, y et « sont des fonctions de l'angle POM ou de son cosinus 9, de sorte que l'on peut écrire

Le développement de la parenthèse en fonction des puissances de I • j est une série dont les coefficients jouissent de propriétés remarquables. On a en général, pour deux variables x et s,

Les coefficients Xp X, ... sont des fonctions connues de xqui satisfont aux conditions suivantes. LMntégrale définie

X,X,.dx

est toujours égale à zéro lorsque les indices n et n' sont différents. Lorsque ces indices sont égaux au contraire, on a

\tdx = — — .

On peut donc écrire, en appliquant cette forme de développe*

378 TRAITÉ D*ÉLKCTRIGITÉ STATIQUE.

ment à Tcxpression qui est sous le signe /dans la valeur de V^,

et les cocnicients Pp P, ... ne sont pas aulre chose que les fonctions Xp X, ... dans lesquelles on remplacera x par 0.

D'autre part, une fonction quelconque f(x) peut être développée à Taide des fonctions X« sous la forme

/(x) = A,-hA^X,4-A,X, les coefllcients A^, A^ ... étant des constantes. On peut donc écrire

et le potentiel au point M devient

A cause des propriétés des fonctions X„ ou P. rappelées précédemmentv il reste simplement

VM=-r2-f--Aj--f--A, ( - ) 4-... H ^A,(-) -h... L

"ri. 3 *r 5 *\r/ 2n-h-l *\r/ J

c'est-à-dire,

4itî)(a)= - 2-|--Ai--f-...H ^ A.( * ) 4- ... •

•^ ' rL 3 r 2n-f-i "V2/ J •

Puisque la fonction ^(a) est connue, on pourra calculer les coefficients A^ A, . . . , ce qui déterminera la fonction /(ô) . On a posé d'ailleurs

on peut exprimer y et ds en fonction de 0, et cette équation donnera la valeur de [jl.

197. Tel est le principe de la méthode employée par Poisson pour calculer la densité en un point quelconque. Si le point dont il s'agit est situé sur l'axe de symétrie, ce calcul est inutile; on connaît en effet le potentiel sur le diamètre commun. 11 suffit de

prendre la dérivée du potentiel à la surface par rapporta la normale extérieure et d'appliquer la relation générale

rfV

On vérifie ainsi par les formules que la densité électrique est nulle au point de contact des deux sphères, propriété constatée par Coulomb et qui d ailleurs est vraie pour le contact des deux surfaces quelconques (57).

On peut de même calculer les deusités aux deux points diamétralement opposés au point de contact. Pour le point C de la grande sphère, le potentiel a pour valeur Texpression

*-[?iW-HF^(c-a:)l;

on prendra la dérivée de cette fonction par rapport à x et, faisant ensuite x = — t, on aura, en appelant Y la densité en ce point.

La densité Z au point D diamétralement opposé sur la petite sphère s'obtiendra de la même manière.

Quand les deux sphères sont égales, la densité moyenne sur chacune d'ell^^s est

la charge totale de Tensemble des deux sphères est

de sorte que la capacité électrique de deux sphères égales en contact est éj;ale à 2i.s.

Le rapport de la densité maximum à la densité moyenne est

Y Si les deux sphères ne sont pas égales, le rapport de la densité

380 TRAITÉ D*fiLEGTRIGITÉ STATIQUE.

maximum sur la petite à la densité moyenne sur la grande est

l.-dt

-'dt

Poisson a calculé la valeur de cette fraction pour certaines valeurs simples de b afin de comparer les résultats avec ceux que Coulomb avait trouvés par expérience ; nous avons donné le tableau (76) qui résume cette comparaison.

A mesure que le rayon b diminue, le rapport y tend vers une limite indépendante de b et qui est

lim. (Y) = 4,2072i.

Nous avons reproduit aussi (77) les résultats du calcul effectué par Poisson pour déterminer les densités en différents points de deux sphères en contact dans quelques cas particuliers qui correspondaient à des expériences de Coulomb.