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La première valeur de E«, qui correspond à deux sphères égales, est égale à 1.2; la dernièi*e valeur de ^, relative au cas où Tune

des sphères est infiniment petite, est égale cxuctcment à — .

liM). CM««r«i«MM1

Ahi

t>82 TRAITÉ D'ÉLECTRICITÉ STATIQUE.

taace des deax sphère». — Comme la solution de Téquation (5) (p. 272) présente de grandes difficultés dans le cas général, Poisson (^) a examiné encore un cas particulier, celui où la distance des deux sphères est très-grande par rapport à Tun des rayons.

Si l'on admet par exemple que le rapport soit très-petit, on

1/ ^— Or

peut développer la fonction 9 et négliger

les puissances de - et

de supérieures à

Pig 95 la seconde.

En désignant par u et u' les angles de la ligne des centres (fig. 95) avec les rayons OP et O'P qui vont aux points P et P' des deux sphères, par A et B les densités moyennes sur les deux sphères, on trouve que les densités [x et \l aux deux points P et P' sont exprimées par les formules suivantes

ix= A H — B ^ '- ^y

^^ a(c^ — 2ca cos u H- a')*

„ 5a' cos m' 5a'6, , m a /tv

|x'=B __A-h-^-(i-3cos«u')An.

A ce degré d'approximation, les potentiels V. et V» ont pour valeurs

200. Si l'on suppose que la sphère de rayon b était primitivement à l'état naturel, on aura B = 0, et

3rt* r , ricos'tt' — 1 56 I ,.=--, A|cos«'+ ^— ,7]-

(*) Mémoire» de VïntUut, 1811, !'• partie, p. 84.

{*] M. Plana ti'ouvc que cette expression de Poisson n'est pas exacte et propose de la remplacer par une autre formule notablement moins simple.

Aux deux points C et D de la petite sphère situés sur la ligne des centres, les densités seront alors de signes contraires et dans

le rapport de i -h- à i — —Les points où la densité est nulle

s'obtiendront en égalant la quantité comprise entre parenthèses à zéro, ce qui donne, au même degré d'approximation,

, 5fr COSM= — •

Comme celte quantité est très-petile, on voit que la ligne neutre est sensiblement Tîntersection de la sphère de rayon b pur un plan passant par son centre et perpendiculaii*e à la ligne 00' des centres, résultat facile à prévoir.

Si la sphère de rayon b est primitivement chargée, on voit par la valeur de \k\ que la distribution sur cette sphère s'obtiendra en ajoutant une couche homogène de densité U à celle qui serait produite sur cette sphère à Tètat neutre par riniluence do Tautre.

Enfin, si la sphère de rayon b est maintenue en communication avec le sol, son potentiel est nul et il vient

c ar

201. Appliquons encore ces résultats au cas d'une sphère de rayon fr infiniment petit, mise d'abord en contact avec une autre sphère de rayon fini a et ensuite Iraosportée a une distance finie de celle-ci. On a alors

A^ a' la densité au point de la petite sphère le plus voisin de la gramle

Mi-?')-

S84 TRAITE DtLEGTRIGITÉ STATIQUE.

Cette densité sera nulle si la distance des centres est telle que l'on ait

— — — ou c = -3L.a,

la distance des sphères est alors

Au point considéré, si la charge totale est positive, Télectricité sera négative pour des valeurs de c phis petites que la précédente, et elle sera positive pour des valeurs plus grandes. A mesure qu'on éloigne la petite sphère de la grande, la densité électrique au point de la petite qui était en contact est d'abord nulle, puis négative ; elle reprend ensuite une valeur nulle pour une certaine distance, à partir de laquelle elle est toujours positive. Ce même phénomène se reproduit toujours dans le cas de deux sphères inégales primitivement en contact ; nous y reviendrons plus loin.

202. €m fféBérai. — Dans un deuxième mémoire (') Poisson a traité enfin le cas général de deux sphères séparées par un intervalle quelconque. Il a donné deux solutions de l'équation (5), Tune en série et l'autre sous la forme d'une intégrale définie. L'indication de ces résultats nous entraînerait beaucoup trop loin ; il est à regretter que les formules de Poisson n'aient pas été réduites en tables, parce qu'elles pourraient donner lieu à des applications intéressantes au point de vue expérimental. Poisson les a appliquées à un exemple particulier, celui des deux sphères dont les rayons sont entre eux cotnme 1 et 3 et qui sont séparées par une distance,égale au plus petit des deux rayons. On a donc alors

Les densités (x et [tf en des points P et P' situés sur les sphères

V>) Mémoireêde rinstiitU, 1811, II* partie, p. 165.

de rayon a et fr à des distances angulaires u et u' de la ligne des centres sont données par des expressions de la forme

I& = MA — N jf lL'=Kg — Wh

dans lesquelles M etN sont des fonctions de Tangle u^ W etN'des fonctions de Tangle u\ Les tableaux suivants donnent les valeurs de ces différents coefficients pour un certain nombre de valeurs des angles tt et tt\

203. On peut de même déterminer les valeurs de h et 9, d'après les quantités totales d'électricité dont les deux sphères sont chargées.

En désignant par A la densité moyenne sur la petite sphère et par B cette densité sur la grande, on aura

. A = Al,3367 — 90,7516, B=90,3858 — A 0,0835;

d où Ton tire

A=A0,9311 H-Bl,81S0, 0 = 63,9840 + A0,3015.

286 TRAITÉ .DtLEGTRIClTÉ STATIQUE.

En substituait ces valeurs dans les expressions de (a et ^^ on aura

|jL=aA + PB ,x' = p'BH-a'A.

Le tableau suivant donne les [valeurs des coefficients a, p, a' et P' pour les angles choisis précédemment

U OO Vf

Ces tableaux montrent clairement la loi de distribution des fluides sur les deux sphères. On peut donner aux quantilés A et B des valeurs quelconques ; si l'une d'elles est égale à zéro, on obtiendra la distribution de l'électricité produite par l'influence d'une sphère électrisée sur une autre sphère primitivement à l'étal neutre. De même, si Tune des sphères est maintenue en communication avec le sol, son potentiel est nul, et les tableaux précédents donneront la distribution correspondante. On peut encore faire /i=g; les sphères auront alors le même potentiel; on peut réaliser ce cas en réunissant les deux sphères par un fil conducteur assez fin pour que la charge de ce fil n'influe pas d'une manière appréciable sur la distribution de l'électricité.

APM.ICAT108 DE U THÉORIH:. 287

Les formules précédentes permettent de déterminer la capacité électrique de ce conducteur particulier.

20 i. Si les deux sphères ont été mises primitivement en contact puis reportées à une distance égale au rayon de la plus petite, comme nous Tavons supposé, on a alors

En utilisant cette relation dans les formules précédentes, on peut exprimer les potentiels et les densités électriques en fonction de la charge de Tune ou Tautredes deux sphères. On trouve ainsi qu'au point de la petite sphère le plus voisin de la grande la densité est négative et environ les x^^de la densilé moyenne. (Coulomb a trouvé que si deux sphères élecl risées, dont les rayons sont entre eux comme 11 et 4, sont mises en contact puis sépa- K*es, la petite donnait des signes d'électricité contraire jusqu'à ce que la distance des deux surfaces fût égale au plus petit rayon. Ce résultat est conforme à celui que donne le calcul.

205. Poisson a examiné d'une manière particulière ce qui a lieu aux points les plus voisins des deux sphères lorsque leur distance est très-faible. S'il n'y a pas entre les quantités totales d*éleclricité dont elles sont chargées le rapport qui s'établit dans le contact, la densité de la couche électrique aux points les plus voisins sur les deux sphères croit indéfiniment à mesure qu'elles approchent du contact; il en est de même de la pression que le fluide élcctriqne exerce sur l'air interposé entre ces deux corps, cl, quelque faibles que soient les quantités totales d*électricité, il y a toujours une distance assez petite pour que la pression électrique surpasse la distance de l'air, et pour que le fluide s'échappe sous forme d*étincelle ou autrement.

Lcn couches électriqut's des deux éléments de surface les plus \oisins sont aussi d'espèces dilTèrentes et tendent à devenir égales sur les deux sphères. La marche du pliénoméne est d ailleui*s facile à prévoir.

206. BeÊÊmUém élgcteHiw— mwM potaCs les ptes rapprodiës ém étmm ■phérea woIsIsm. -- T«U«« 4e V. PlaMi. — M. Plana a

calculé des tables qui permettent de déterminer par des formules simples les densités des deux points les plus voisins dans le cas

de distances très-faibles; nous les reproduisons encore parce qu'elles peuvent être utiles pour le cas où Ton voudrait déterminer par expérience la loi des distances explosibles entre deux sphères. En appelant y^ et z^ les densités électriques aux points les plus voisins des sphères de rayon a et 6, A et B les densités moyennes et A la distance minimum des deux surfaces, on a, le symbole log indiquant des logarithmes ordinaires,

P+logf

P -H log^

Les valeurs des coefficients P, R et R' sont données par la table suivante pour un certain nombre de valeurs du rapport - des deux rayons.

Si les rayons a et 6 sont égaux, on a simplement

N H- log -

expression dans laquelle les coefficients ont les valeurs suivantes :

207. Lorsque les deux sphères sont inégales et qu*après avoir été mises en contact oa les éloigne peu à peu, les deux points qui étaient primitivement en contact se chargent d^électricités dVspèces difTérentes, et celui de ces deux points qui appartient à la plus petite sphère possède une électricité contraire à Télectricité totale. A mesure que la distance augmente, la densité électrique en ce point augmente d'abord, atteint uif maximum, puis décroît et devient nulle pour reprendre ensuite une valeur de même signe qu'en tous les autres points des conducteurs. M. Plana a encore calculé une table qui donne pour un certain nombre de cas le rapport de la distance A des deux surfaces au rayon a de la plus grande des deux sphères, lorsque la densité est nulle sur la plus petite au point le plus voisin de l'autre.

Nous extrayons de cette table les résultats suivants :

208. PMTfge éiMirt^M MiM i^Mieups spiiéMs. — M. Plana a essayé aussi (^) de traiter par le calcul d*une manière approchée

,K Loe. cU,, p. MO.

le cas de plusieurs sphères égales placées en contact sur une même ligne droite.

Pour trois sphères, il a trouvé que le rapport des densités moyennes de la première et de la seconde est 1,4424; rexp(>ricnce de Coulomb a donné 1 ,34.

Pour le cas de six boules, Coulomb a trouvé

et les calculs de M. Plana donneraient 1,5063 pour le premier rapport et 1 ,0615 pour le second.

Dans le ogs de 12 boules égales, le calcul donne

et Coulomb a trouvé

Ai A,

Enfin quand deux boules égales sont mises en contact avec une autre de rayon ^{uadruple, le rapport des densités moyennes des deux boules égales doit être, d'après le calcul, 2,552 et Coulomb a trouvé 2,54.

Si quatre boules égales sont mises en conlacl avec une autre de rayon quadruple, le rapport des densités moyennes de la première et de la quatrième doit être 3,124 d'après le calcul ; l'expérience a donné 3,40.

L'erreur dans ce dernier cas est de -^, mais on voit qu'en général raccord qui existe entre la théorie et Texpérience est satisfaisant.

209 . Calcvls de M. Bodie relatifs «n eau de deox sphéree égales.

— Pour terminer cette revue des calculs effectues par la méthode de Poisson, nous citerons encore les résultais obtenus par M. Roche (') pour le cas de deux sphères égales «

Considérons les quatre points situés sur le diamètre commun ; appelons y' et y^ les densités aux deux points de la sphère A, Zj et z' les densités aux deux points de la sphère B, de sorte que

(*) MAnatret de l'Académie de Montpellier , seotioii des sciences, t. If, p. 115.

t/j el :-j se rapportent aux points situés entre les deux centres. En faisant dans les formules de Poisson (') a ^ 6 ^ 1, on obtient facilement

1/, = MA - Nj/, y' = M'A — N'j/,

;5j = Mî/ — NA, z' = Wg — Wh;

les coeflicients M, N, M' el N' désignant des fonctions de la distance c des centres dont le développement en séries donne pour premiers termes

\ zrz 1- -4- - U-

Ces séries sont d'autant plus convergentes que c est plus grand que 2.

Les densités moyennes A et B sur les deux sphères sont liées aux quantités A et 9 par les relations

A = PA — Qff, B = Pff-QÀ,

dans lesquelles P et U désignent deux nouvelles séries

P^iH ? L.

210. Si les sphères sont assez éloignées pour qu'on puisso négliger les quantités de Tordre de —, on obtient

*) Second mémoire, p. 190.

S93 TRAITE D*ÉLEGTRiaTË STATIQUE.

ce qui donne quatre équations du premier degré entre six quantités qui peuvent être déterminées par Texpérience. On obtient aisément des relations analogues pour les potentielst car, à ce degré d'approximation, les séries P et Q se réduisent à

qui

lionne

Dans le cas particulier où la sphère B communique avec le sol, la quantité g est nulle et il reste simplement

211 . Lorsque les deux sphères sont très-rapprochées, les séries H, M', N, N', P et Q ne sont plus assez convergentes pour qu*on en puisse faire usage. Si Ton représente par A la distance des surfaces sphériques et si l'on pose

la quantité s' sera très-petite. Poisson (') a développé les expressions des densités électriques en fonction de 8', et les coefficients de ce développement sont des intégrales définies. En posant pour abréger

(«) Deuxième mémoire, p. 248 — 210.

APPLICATIONS DE LA THfiORIE. 995

on a

y' = A. 1,075— 9. 0,159 + Sd% 2' ^ 9. 1 ,075 — A. 0,150 H- S'8%

les coefficients R, R', S et S' étant des séries ordonnées suivant les puissances entières et positives de 8*. On a de même, en désignant par G, 11, G' et H' de nouvelles séries,

A = -j'/.8* + G9-f-HA,

Si Ton suppose la distance des sphères assez petite pour que toutes les séries aient des valeurs négligeables. Il restera sim* plement

3/^/1. 1,075 — jf. 0,150, 7! = g. 1,075 — h. 0,159,

A ce degré d'approximation, les densités aux deux points les plus rapprochés sont égales et de signes contraires. Si la sphère B est en communication avec le sol, on a

et la densité moyenne de la sphère A est sensiblement

Comme la densité de cette sphère supposée soustraite à toute action extérieure serait égale à h pour le même potentiel, on voit que la force condensante ;> d*un condensateur formé par Tcn-

semble de deux sphères égales entre elles et très-rapprochées, est

— - 1. iA.

Comme M. Roche considérait plutôt les densités que les potentiels, il a calculé une table qui donne les densités aux deux points les plus voisins et les densités moyennes, en supposant que les points extrêmes ont, l'un une densité nulle et Tautrc une densité donnée.

En faisant j/' = E et ;s' = o, il a ainsi obtenu

212. Pour déterminer l'action qui s'exerce entre deux sphères électrisées, il faudrait évaluer la pression exercée contre l'air, en chaque point, par la couche électrique répandue sur l'une des sphères, et faire la somme des composantes de ces pressions, suivant la ligne des centres. H. Roche, à la demande de M. Marié- Davy, a déterminé seulement la dilTérence des pressions aux deux points situés sur la ligne des centres, et l'on peut admettre que cette différence est, au moins d'une manière approximative, proportionnelle à la force électrique résultante. Comme la pression est, en chaque point, proportionnelle au carré de la densité électrique, on voit qu'il suffira d'évaluer, par les formules qui précèdent, la différence

APPLICATIONS DE LA THfiORIK. S95

Si Ton suppose que les sphères aient été primitivement en contact, les potentiels resteront égaux quand on les aura s^arées, et, en égalant à Tunité le facteur commun g=hy les expressions des densités deviennent

on en déduit

, g(5c'-f-i) "ic

Si la distance des centres est assez grande pour qu*on puisse borner le calcul à ces premiers termes, il vient donc

' (C*^^» "^ (c' — 1)»— c». I LP"^^' ~ (f'l)«c».

Celte équation peut Atre remplacée par la suivante :

si Ton peut borner le calcul aux termes du troisième degré par mpporl à 1.

Enfin, le second membre se réduite ^y si la distance des

centres devient assez grande pour que toutes les puissances supérieures au carré soient négligeables.

a. Roche a bien voulu nous communiquer le tableau suivant, dans lequel il a calculé, pour un certain nombre de valeurs de la distance des centres, les densités électriques des deux points eitrêmes et la différence de leurs carrés, laquelle reprt'sente sensiblement la force électrique ; nous y avons ajouté une autre

S9d TRAITÉ DtLEGTRIGITÉ STAT[QDE.

colonne, donnant le produit de cette différence des carrés par le carré de la distance des centres. Les nombres de la dernière colonne seraient égaux, si la force électrique était exactement proportionnelle à la différence des pressions aux deux points considérés, et en raison inverse du carré de la distance des centi^s.

î^-yi*

(U^-Vi^)^

0,9ci6

Les nombres de ce tableau ne varient pas d une manière parfaitement continue, parce que M. Roche n'a pas poussé les calculs assez loin pour que l'on puisse garantir l'exactitude du troisième chiffre décimal dans les valeurs des densités. Mais, en portant ces résultats sur papier quadrillé et traçant des courbes qui les représentent le mieux possible, on peut déduire de ces courbes des valeurs beaucoup plus approchées, surtout si Ton observe que, pour une grande distance des deux sphères, les densités sont toutes deux égales à l'unité, et le produit (y^ — y^)(^ égal à 12; on obtient ainsi :

APPLICATIONS DE U THfORIE.

Quelque imparfaits que soient les nombres de ce tableau, ils montrent clairement la manière dont varie, en fonction de la distance des centres, la force répulsive entre deux boules égales maintenues au même potentiel.

Si le potentiel change, la force varie, pour une distance donnée, proportionnellement au carré du potentiel. U est donc inexact d'appliquer ces résultats, comme Ta fait M. Marié- Davy ('), au cas de deux sphères isolées, primitivement en contact, puis maintenues à des distances variables (32). Quand les charges électriques des sphères sont constantes, le potentiel de chacune d'elles diminue d*abord très-rapidement, puis d'une manière plus lente à mesure que leur distance augmente, de sorte que la force électrique décroît alors plus rapidement que *ne l'indiquent les calculs de M. Roche.

La loi du carré des distances est donc plus voisine de la vérité pour deux sphères dont les charges sont constantes, comme dans les expériences de Coulomb, que si les deux sphères étaient maintenues à un potentiel constant.

(V Jf^mret de C Académie de Monifteliitr, section do> sciences. T. II. p. 150.

398 TRAITÉ D'ÉLEGTRIGITË STATIQUE.