AA' ^' ^' R

216. AleetHsatloa d'one sphèr« non isolée ■om l'faillaeiMe d'wi

poiat cztéricor. — Puisque la surface sphérique que Ton considère est au potentiel zéro, on peut la remplacer par une couche mince de métal en communication avec le sol, cette couche ne sera pas électrisée et le potentiel ne sera changé en aucun point, à rinlérieur ou à l'extérieur de la sphère. Supprimons mainlenant la masse électrique e\ la surface métallique restant en communication avec le sol, le potentiel sera alors nul dans tout l'intérieur de la sphère (165); comme il reste nul à la surface, rien ne sera changé à la distribution des potentiels à l'extérieur. Il s'est produit alors à la surface de la sphère une couche électrique dont la masse totale est égale à e' (164). On connaît ainsi la masse totale de l'électricité développée sur une sphère en communication avec le sol, sous l'influence d'un point électrisé extérieur. Comme la force électrique est nulle dans Tintërieur de la sphère et qu'elle n'a pas changé à rcxtèrieur, cette couche exerce sur tout point intérieur une action égale et de signe contraire à celle de la masse e située en A.

Ainsi, la couche considérée agit sur tout point extérieur comme le ferait une masse égale e' concentrée en k' et sur tout point intérieur comme une masse différente — Ke' concentrée au point A.

M. Thomson appelle le point A' Vimage électrique du point A par rapport à la sphère. Il y a, en eflet, une certaine analogie enire les propriétés de ces points et celles des images virtuelles en optique. L'image virtuelle A' d'un point lumineux A par rapport à un miroir ou une lentille est un point tel que, si une source de lumière y existait, elle émeltrait d'un certain côté des rayons identiques à ceux qu'y envoient le miroir ou la lentille par réflexion ou réfraction. De même, la masse e' concentrée en A' produit à l'extérieur de la sphère les mêmes forces que celles qu'y produirait la surface de la sphère communiquant avec le sol et électrisée sous Tinfluence d'une masse e au point A. Réciproquement, une masse e en A exerce dans l'intérieur de la sphère les mémos forces que celles qu'y produirait la couche électrique développée sur cette sphère sous l'influence de la masse considérée.

'217. Seaslté ém eeUm ^mmfékm mm chMiiNspolaC. — On pcut d'ail-

leurs déterminer la loi de distribution de la couche électrique sur la surface de la sphère.

Considérons, en effet, l'action qui s*exerce sur une masse électrique positive égale à l'unité ,^-/^ en un point P (fig. 97), situé en *"^ dehors mais tout près de la surface de la sphère. Celle force F peut être considérée Fig. 97.

comme la résultante de deux autres, l'une répulsive / émanant du point A et égale à

-, l'autre attractive f émanant de A' et égale à --75- • La résultante F est normale à la surface de la sphère, puisque celle-ci est une surface de niveau ; on le vérifierait sans difficulté. En considérant le parallélogramme des forces et désignant par 2 et x' les angles PAO et PA'O, on a les relations

ain a, sina sin (9! — a)

502 TRAITÉ DtLECTRIGITÉ STATIQUK.

Le triangle APA' donne

r' r AA'

sin a sin a' sin (a' — a)

II en i-ésultc ou

Nous pouvons maintenant remplacer la masse e^ située en A' par la couche sphérique qui lui est équivalente. En désignant par {JL la densité de cette couche au point P, nous avons vu que la force électrique en un point voisin situé en dehors est égale à 4ic(iL, la force étant comptée vers l'extérieur ; on a donc

d'où

— 4iru.=AA'.K — 1

AA' k1 M.' ifl

En remplaçant AA' et K par leurs valeurs en fonction de la distance d, il vient

d' — R' e R' — d" e' •*"■ 4itR r»~ 4itR r^'

Ainsi, la densité électrique en un point P d'une surface sphérique conductrice communiquant avec le sol et électrisée sous l'influence d'un point A, est en raison inverse du cube de la distance de ce point au point A ou au point Af conjugué du premier par rapport à la surface de la sphère.

Poisson avait démontré ce théorème comme cas particulier du calcul relatif à Tinfluence réciproque de deux sphères conductrices électrisèes. M. Thomson est arrivé au même résultat par des considérations géométriques très-simples, sans même avoir recours à la notion du potentiel et des surfaces de niveau .

218. 6lMirlMiaoB d'me «phère Isolée momm riafloracc d'an potet

>• — On peut déduire de là rinfluence exercée par un point électrisé sur une sphère conductrice dont on connaît la charge totale ou le potentiel.

Désignons par e^ la masse électrique du point influent et par d^ sa distance au centre de la sphère. Si la sphère était en communication avec le sol, il s'y produirait une couche électrique dont la masse totale serait

et dont la densité en un point P situé à une distance r^ du point influent serait

Cette couclie el le point influent produisent dans Tintéricur de la sphère un potentiel nul. Supprimons la communication ave(* le sol et ajoutons sur la surface une couche homogène de masse m ; l'équilibre persistera puisque le potentiel est encore constant dans Tintérieur de la sphère. La charge totale de la sphère est alors

M=m — e,-r- Si la masse M est donnée, on vn déduit

et la densité électrique au point P sera

Comme le potentiel \\ dans rinlérieur de la sphère est produit uniquement par la couche ajoutée m, puisqu'il était nul auparavant, on aura

Si la sphère ctail primitivement isolée et à l'étal neutre, la

504 TRAITÉ DtLEGTRIGlTÉ STATIQUE.

masse M est nulle, et l'on a alors

Si, au lieii de se donner la masse totale M d'électricité répandue sur la sphère, on s'était donné le potentiel V,, on aurait eu