AP

au plan et a pour valeur

AP* AP r*

Bi l'on remplace le point e' par un plan conducteur, la densité électrique (A sur le plan, au voisinage du point P, est donnée par

APPUCATlOIfS DB LA THfiORIE. SOI'

Téquation

ou

kC e p e

Celie densité e$t donc proportionnelle à la distance p du point A au plan^ et en raison inverse du cube de la distance du poitit P considéré au point A.

La densité en C est

222. Comme la surface du plan est inflnie, ce qui peut laisseï quelques doutes sur la valeur des raisonnements, il n'est pas inutile de démontrer directement que, avec celte loi pour la densité, la charge totale du plan est égale à — e, et que le potentiel est nul en tous les points de l'espace situés à .droite du plan CD.

Désignons par y la distance CP. La quantité d'électricité répandue sur la couronne comprise entre les deux cercles de rayons yely-hdy est

^Tjjdy = — ^ fi i%ydy=^pe O.

De Féquation

on déduit

ydy=: rdr.

La charge totale du plan est donc

Le potentiel en un point M (fig. 99) est, en désignant par dt un élément de surface en un point quelconque P du plan,

V — — + f^ «""MA^j MP

Le potentiel au point U\ symétrique du premier, est

— jl^ Ce

Hais, d'autre part, le potentiel en M' est le même que si le

plan était supprimé et remplacé par une masse électrique égale à — e, située en A' ; on a donc aussi

Il en résulte, en remarquant que les distances MP et MT sont toujours égales.

Pig. 99.

et, par suite,

AloB des problteies d*élecirleité. — La méthode des images électriques permet de déduire, d'un problème d'équilibre résolu, un certain nombre de so* lutions relatives à des cas difTérents, que l'ont peut relier au premier par

quelques transformations géométriques très-simples. Soient, par exemple, deux points AetB (fig. 100), A' et B' leurs

images par rapport à un cercle de rayon R, dont le centre est

en 0, on a

FJ|f. iOO.

A0xA'0 = B0xB'0 = H'.

Si une quantité d'électricité e est placée en B, son potentiel au

APPLICATIONS DE U THfiORIE. 9M

point A sera

Otte masse e a pour image, dans la sphère, une masse é^ située , en B', et le potentiel de cette masse au point A' est

La similitude des deux triangles OAB, OB'A' donne la relation