AB AO.BO A'B'~ R
On a d*ailleurs, d*après la théorie des images électriques (215),
— p;B'0 R e ~"R ~ BÔ*
Il en résulte
\.' — l' A^— ^? — ^ V~p'AiP~ R~ À'Ô*
Ain^i le potentiel en A de la masse e, située au point B, est au potentiel en A' de l'image e\ située au point B', dans un rapport constant, indépendant de la position du point B. Ce rapport sera donc le même pour un système électrique quelconque et son image.
224. Si le premier système est un conducteur en équilibre comprenant le point A, Timage de ce système, c'est-à-dire le système conjugué par rapport à la sphère, sera une surface électrisée comprenant le point A', et si V est le potentiel constant du premier système, le potentiel V au point A' de la figure conjuguée est
Comme le potentiel est en raison inverse de la distance A'O, cette couche n'est pas en équilibre ; mais, si l'on met au centre d'inversion 0 une masse électrique égale à YR, le potentiel sera nul au point A' et en un point quelconque compris dans Tintérieur de la surface transformée. La couche électrique obtenue est donc celle que prendrait un conducteur non isolé ayant la forme de la surface transformée et soumis a l'influence d'une masse élecirique située au point 0.
225. Entre les éléments de ces deux surfaces conjuguées, il existe des relations qui permettent de passer simplement de Fun des systèmes à l'autre.
Soient r et r' les distances BO et fi'O, da un élément BC de surface du premier système et dz l'élément conjugué B'C, |a et ^* les densités- correspondantes, e et e' les masses électriques sur ces deux éléments de surface. On a
e i^ds r R e ji'da — "R""»^'
La similitude des pyramides OBC, OC'B' donne
da r* d<ï'~r'»*
il en résulte
H rr** R» r^ |t'"~ Rr*— r»~~ R»'
La couche ^^'dz' est celle qui se développerait sur la surface transformée S' conductrice et non isolée, sous Tinfluence d'une masse égale à VR, située au point 0.
226. Les figures conjuguées par inversion, par rapport à une sphère, Jouissent de propriétés géométriques remarquables, dont nous rappellerons les suivantes, que l'on peut d'ailleurs vérifier aisément :
l"* La figure transformée d'une sphère est une autre sphère, et celle d'un cercle un autre cercle, à moins que le centre d'inversion ne soit placé sur la surface de la sphère ou la cir-
APPUCATIONS DB U THÉORIE. .Ml
conférence du cercle ; dans ce cas, la surface de la sphère a pour surface conjuguée un plan, et la circonférence une droite;
2* L*angle de deux 3urfaces> ou de deux lignes, au point où elles se coupent, n'est pas changé par Tinversion ;
3* Toute circonférence de cercle qui passe par un point A, et le point conjugué A' par rapport à une sphère* coupe cette sphère à angle droit ; et inversement, quand une circonférence coupe une sphère à angle droit, tous les points de cette circonférence sont deux' à deux conjugués par rapport à la sphère.
227. Comme première application, nous pouvons employei cette méthode de transformation de figures, pour déterminer la distribution de réiectricité sur une sphère conductrice non isolée, sous Tinfluence d'un point électrisé.
Soit S (fig. 101) une sphère de rayon a et S' une sphère de rayon a\ conjuguée de la première par rapport à une sphère B
ng. 101.
de rayon R dont le centre est en 0, d et <f les distances du point 0 aux centres des deux premièi'es sphères. On a
a d a-hd d — a
Les points C et D' étant conjugués des points C et D, on a aussi
(c/-.a)(d'-hfl') = (rf + «)(^ — «') = R%
d'où Ton déduit
31 s. TRArrÈ DtLECTRIGITË STATIOUË.
Supposons maintenant qu'une niasse e* d'électricité soit distribuée uniformément sur la surface S', la densité yi de cette couche sera «
et le potentiel à Tintérieur sera constant et égal à
Le potentiel au point P de la couche transformée est
' P0~ a' PO'
Plaçons au point 0 une masse électrique
ez=ie -, a'
le potentiel sera alors nul au point P et sur toute la surface de la sphère S, ainsi que dans son intérieur. La couche trouvée est donc celle qui se développerait sur la sphère S, supposée conductrice et non isolée, sous l'influence d'une masse électrique e située au point 0.
La densité au point P est, en désignant par r la distance PO,
La charge totale x de la sphère S peut être déterminée simplement par la condition que le potentiel soit nul au point A', ce qui donne
ad a
Ces résultats sont identiques à ceux qui ont été trouvés précédemment (217).
