MP
229. Considérons maintenant les surfaces conjuguées des deux plans OA etOB par rapport à une sphère d'inversion de rayon R dont le centre est au point P. Ce sont deux surfaces sphériques S« et S» passant au point P, et se coupant suivant une circonférence située dans le plan déterminé par le point P et l*arête d'intersection 0 des plans proposés.
APPLiaTIONS DE LA THÉORie. Si5
Ces deux surfaces se coupent suivant Tangle -, et la figure conjuguée de la circonférence sur laquelle sont situées toutes les images est la droite qrj^ qui joint les centres des deux sphères.
Le potentiel en M' sera
Ce potentiel est constant, et par conséquent la couche transformée que Ton obtiendra sur la surface de Tensemble 4cs deux sphères sera en équilibre.
La densité au point M' peut être calculée à Taide de celle du point M par la relation (225)
Comme la surface du ménisque formé par l*intersection des deux sphères correspond aux parties OB' et OA' des plans proposés, sur lesquels la densité électrique est nulle, il en résulte que la densité est aussi nulle sur la surface du ménisque ; cela devait être, puisque Fensemble des deux sphères supposées conductrices est en équilibre.
Enfin, la densité est encore nulle sur la circonférence PP d*inlersection des deux sphères, puisque cette circonférence est la figure conjuguée de Tarète d'intersection 0 des deux plans. Ceci n*est d*aiUeurs qu'un cas particulier d'une règle plus générale. Toutes les fois que deux surfaces d'un conducteur en équilibre sous rinfiuence de masses électriques quelconques se coupent sous un angle rentrant, la densité est nulle au point d'intersection. Eu effet, la surface conductrice étant une surface de ni» veau, la force électrique au voisinage de ce point doit être normale à la surface de niveau, et proportionnelle à la densité électrique en ce point. La force, ne pouvant avoir deux directions, doit être nulle et la densité nulle.
23U, la densit4s [k' au point M' ne se pn*sente pas sous une forme simple quand on la déduit de la densité jji en M ; il vaut mieux la calculer autrement.
Les couches électriques des plans AO et BO pouvant être rem-
316 TRAITE D*fil^TRIGITË STATIQUE.
placées par les images électrisées Q^ Pp Q,..., Q, P,» Q,..., pour toute la région comprise dans Tangle AOB, la couche électrique des deux surfaces Sa et S» exerce la même action à l'extérieur que les points conjugués de ces images. Ces points étant si* tués sur la ligne des centres, se trouvent aux points de rencontre 9pPp 9,.. m g^Pt^ ?f- de cette ligne avec les droites qui joignent le point P aux différentes images. Ces points se déterminent facilement, si Ton remarque que les angles q^Pq^^ Pi^Pv ' * formés par les droites qui joignent le point P à deux images successives de même signe, sont égaux à -, et que Tangle
9^Pp^ est égal à 0.
En désignant par les lettres ^p/^^... les charges électriques de ces différents points, par a et 6 les rayons des deux sphères, par ap a,..., ^,..., les distances du point P aux points pp p^..., 9,..., on a (225)
Les charges de ces différents points sont donc alternativement positives et négatives, et proportionnelles à leurs distances au point P.
On a d*ailleurs
PCrriPOsin/"^— e\ PD = PO sin 0,
et, par suite,
PD sin 6
PC~ sm
D'autre part, à cause de l'inversion, on a
PD.î6=PC.îa=R',
APPUCATIORS DE U THÉORIE. 317
ce qui donne
il en résulte
