Si les deux sphères sont égales, on a alors

La charge qui donne à l'ensemble des deux sphères égales en contact un potentiel égal à Tunité, c'est-à-dire la capacité électrique de ces deux sphères, est donc

Si l'une des sphères S^ est très-petite par rapport à Taulre, on a sensiblement

D'autre part, la charge de la grande sphère S» est sensiblement la même que si la petite n'existait pas, c'est-à-dire Af» = 6,

et la densité moyenne est |jl,,= — ^, = —y. La densité moyenne

M sur la petite sphère est [ka= —\^

il en résulte

lia M. fc« ^*

— = rr' -,=:-=: 1.644936.

li* Mj a* 6

Ces résultats avaient été déduits par Poisson de son calcul général sur Tinfluencc réciproque de deux sphères conductrices.

APPLICATIONS DE LA THÉOPIB. 35t

COMPARAISON DBS PHÉROSltoES D*ÉLECTRICITÊ STATIQUE AVEC CEUX

DE G09DCGTtBll.lTÉ CALORinQUE.

2i5. Los équations qui représentent la distribution des potentiels dans un milieu isolant où se trouvent des corps électriques, sont identiques à celles que Ion rencontre dans la théorie de la propagation de la chaleur par conductibilité. H en résulte, entre les deux ordres de phénomènes, un certain nombre de relations qui peuvent servira résoudre facilement des problèmes d'électricité lorsque la solution est indiquée d'une manière plus simple par la nature du phénomène corrélatif dans la propagation de la rlipleur, ou invei*sement.

Toutefois, ridentité des formules n*implique pas Tidentité dos causes ; elle résulte uniquement de ce fait, qui peut être purenionl accidentel, que les équations fondamentales sont les mémos dans les deux cas. Ainsi, il parait bien démontré que la chaleur nVsl pas un fluide, mais il n*est pas permis d*énoncer la même conclusion pour Télectricité, bien que les deux ordres de phénomènes donnent lieu à des lois identiques.

2i4. rriMipca de la Théorie de Powrier. La théoric de la

propagation de la chaleur par conductibilité, établie par Kourior Cl, est basée sur des principes que Ton peut considérer comme n'^sultant directement de rexpérionce. La communication de chaleur s*effectuant de proche en proche, on admet que IV»tat thennique d*un point n*a d'influence sensible que sur les points trés-voisins, et que les points les plus chauds tendent à élever la température des points les plus froids. Un élément de volume quelconque envoie pendant Tunitè de temps à un autre élément, à une température inférieure, une certaine quantité do chaleur qui dépend de la différence dos températures et do la distance des deux éléments. Comme ces distances sont toujours ln*s.petites, les différences de températures sont aussi trés-faiblt^ et Ion |)out admettre que la quantité de chaleur ainsi cominuniqutV est pro|>ortionnolle à la difféivnco dos températures.

(*) Tkéorië mmitfii^e dr ta chaleur.

53S TRAITÉ D ËLECTRIGITÉ STATIQUE.

Le coeflicient par lequel s*exprime cette proportionnalité dépend de la nature du milieu et, en général, de la direction que Ton envisage dans l'intérieur de ce milieu, si toutes les directions ne sont pas physiquement identiques, comme cela a lieu pour les corps cristallisés ; mais, dans les milieux dits isotropes^ c'est-à-dire les corps non cristallisés ou ceux qui appartiennent au système cubique, la transmission de chaleur se fait de la même manière en tous sens.

245. Considérons donc un milieu indéfini isotrope conducteur de la chaleur, et supposons qu'il y ait dans ce milieu un certain nombre de sources de chaleur constantes, c'est-à-dire^ de points ou de corps de dimensions finies entretenus à des températures constantes. Il se produira au sein de ce milieu des échanges de chaleur dans difTérentes directions ; quand le régime permanent sera établi, chaque élément recevra pendant un certain temps autant de chaleur qu'il en envoie et la température sera en tous les points stationnaire.

Prenons trois axes reci angulaires et considérons un élément

de surface AB (fig. 106) perpendiculaire à

**v. ^. l'axe des z. La quantité de chaleur qui traverse A '';>,;"' B cette surface est la somme de celles qui se

^ " ' '5,, communiquent, de tous les points tels que m Fig. 106. situés au-dessous de cette surface et à une

petite distance, aux points tels que m' situés au-dessus. La quantité de chaleur qui va du point m au point m' pendant l'unité de temps a pour expression

K étant une constante, it la différence des températures et ^(r) une fonction de la distance r des deux points, fonction qui devient nulle aussitôt que cette distance cesse d'être très-petite; la quantité Q de chaleur qui, pendant l'unité de temps, traverse la surface ÂB est

le signe 1 s'étendant à tous les points qui interviennent ici dans le phénomène.

En désignant par x, y, z les coordonnés d'un point de Télément AB, Sx, 8y, iz les difTérences des coordonnées des deux points m et m\ on a

il en résulte

Q = K-;-S2x-hKÏ-2îy-f-K|î'2îz.

''*• dy ^ dz

Mais la somme llx est nulle, car les dilTérents termes qui la composent sont deux à deux égaux et de signes contraires. Si la dilTêrence des abscisses est + Sx, quand on va du point m au point m\ il y a deux autres points m^ et m/ pour lesquels la dirrércnce est — îx. De même la somme Ziy=0. D'autre part, le facteur Zlz est évidemment proportionnel à l'étendue dz de la surface AB, de sorte que Ton peut écrire

il étant une nouvelle constante que Ton appelle coefficient de conductibilUé ; le signe — indique que la chaleur se propage du côté vers lequel les températures diminuent.

246. Considérons maintenant un élément MM' de volume (fig. 107) égal u dxdydZy x^ yelz étant les coordonnées du point M et ( sa température. La quantité de clialeur qui traverse la surface MN est

et celle qui sort par la surface opposée M\N' est

Fl^. 107.

de sorte que le passage de la chaleur à travers les deux laces perpendiculaires a Taxe des x a laissé dans cet élément de vo-

lume, au bout de l'unité de temps, un excès de chaleur égal à

— Edzdyd, j- = — lldxdydz -p^-

Il s'introduirait de même par les faces perpendiculaires à Taxe des y un excès de chaleur

dH — Edxdydz ^,

et, par les deux autres,

— ïidxdydz -r-^-

L'excès total est donc

„ , , . /dH dH d^t\ -^dxdydz^^-^^^^,)

Si l'état permanent est atteint, cet excès est nul, la température de l'élément de volume ne devant pas changer ; on a donc

dx^ dy* dz*

Nous représenterons encore la somme des trois dérivées secondes de la température par une seule expression A^ et l'on voit que, quand l'état permanent est atteint dans un milieu isotrope conducteur de la chaleur, on doit avoir en tous les points de ce milieu

Cette équation fondamentale est la même que celle qui a lieu par le potentiel éleclrique dans un milieu isolant.

^247. Siirr«ccs iflothermea. — On appelle sur face isotherme une surface qui passe par tous les points où la température est la même. Le flux de chaleur est en chaque point normal à la surface isotherme qui passe en ce point. En effet, si Ton prend la normale à cette surface^isotherme pour axe des z et si l'on considère un élément de volume, on voit que la quantité de chaleur qui se

propage parallèlement à cet axe est

et que la quantité de chaleur qui traverse les autres faces est nuUe puisque l'on a

di ^ dl

— z=o et , =0.

dx dij

La quantité de chaleur qui traverse un élément d? d'une surface isotherme est donc

^ désignant la dérivée de la température par rapport à la normale à la surface isotherme. Le flux de chaleur se propage vers les surfaces isothermes qui ont une température plus basse et, entre deux surfaces isothermes trés-voisines, le flux est en rais<m inverse de leur distance normale. Une surface isotherme est donc Tanalogue d'une surface de niveau électrique et le flux de chaleur suit les mêmes lois que la force électrique. '

On peut aller plus loin et préciser les conditions dans lesquelles les surfaces isotiiermcs et les surfaces de niveau élei*! rique seront identiques.

248. Considérons d'abord le cas où le milieu conducteur ne renferme qu'une source simple de chaleur, c'est-à-dire une source réduite à un point 0. Les surfaces isothermes sont alors des surfaces sphériques concentriques à la source. Menons par ce point 0 un cône d'ouverture angulaire très-petite u. La quan* tité de chaleur qui passe par un éicment de surface rf?, découpé par ce cAne sur une sphère de rayon R ayant son centre en 0, est

Cette quantité doit être constante, puisque la propagation a

356 TRAITE DtLEGTRIClTÉ STATIQUE.

lieu parailëlement au rayon de la sphère ; on a donc

dt a dR~ R«'

ou, en intégrant,

a et b étant des constantes.

A une distance très-grande la température du milieu ne sera pas modifiée par Tinfluence de la source. Si Ton prend pour zéro des températures la température des points situés à l'infini, on aura 6 = 0 et, par suite,

Ainsi, quand la source de chaleur est réduite à un point, la température en un point quelconque du milieu est en raison inverse de la distance de ce point à la source, la constante a représentant Vintensité de la source considérée. Si la source était sphérique, la température en chacun des points extérieurs serait de même en raison inverse de la distance au centre de la sphère. Enfin, si la source est de forme quelconque ou bien s'il y a plusieurs sources voisines à des températures différentes, les surfaces isotliermes à une grande distance de toutes les sources seront sensiblement sphériques, et la température en un point très-éloigné tendra encore à être en raison inverse de la distance de ce point aux sources.