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ée Biveaii d'no état électrique eorréiatir. — Considérons maintenant, dans un milieu conducteur indéfini, difTérents corps A^ A,, A^..., etc., de dimensions finies, dont les surfaces sont entretenues à des températures ^p /,, ^j. . . , constantes pour chacun d eux, mais différentes de l'un à l'autre ; il faut démontrer que les surfaces isothermes dans le milieu seront identiques aux surfaces de niveau qui existeraient dans un milieu isolant où les mêmes

corps A,, A,, Aj... seraient maintenues à des potentiels ëleclriques égaux respectivement à /p /,, /,...

Cette pn>posilion peut paraître évidente, puisque les températures d*une part, et les potentiels d*autre part, sont des fonctions qui ont les mêmes valeurs au début, qui satisfont à la uième équation difTéreutielle

A< = 0 ou AV = 0,

et qui sont toutes deux nulles à Tinfini (*) ; mais il n'est pas suprAu d*en donner une démonstration directe.

Soit V le potentiel électrique en un point P du milieu isolant, et ( la température au même point dans le cas du problème de C4)nductibilité. Posons

la quantité Y' est nulle à la surface de chacun des corps et, comme les fonctions / et V tendent à devenir en raison inverse de la distance pour des points trés-éloignés, leur différence V deviendra au^^i en raison inverse delà distance. On a d'ailleurs, pour tous les points situés en dehors des corps Ap A„ A,,.., A/ = o et AV r= 0, d'où il n'sulte aussi aV =o. Ktendons maintenant l'intégrale

V'AV'rfr,

dans laquelle dv désigne un élément de volume, à tout resparo compris enlre les corps A,, A,, A,... el une sphère de niyon Ut*sgrand. On a, d'après la formule de Grcen (105),

Ije pn^mier membre de cette équation est nul, puisque le facteur AV' est nul partout. L'intégrale

dv.

' dV

Y-rdz

• pour MinpIifiiT !<** iMionn'^. on pn'ml |M>iir zoro dei teiii|M'r.ilurf^ la ttMn|HTJH tiin* àe* poinU trè5-<'U)igiu*9 de lu Miurct*. laqurlle n'csl pas iniHljlitv p.ir b pr%*- «* itce dt* C4*Uc sourvi*.

est nulle sur la surface de chacun descorps Aj, A,, A3... puisqu'en CCS points la valeur de V est nulle ; cette intégrale tend aussi à devenir nulle sur la surface de la grande sphère, puisque V est alors en raison inverse du rayon de cette sphère. 11 en résulte

et, par suite, on doit avoir, en tous les points de l'espace considéré,

dV' dY dV'

dx ' dy ' dz

c'est-à-dire que V est une constante. Comme cette constante est nulle sur les corps eux-mêmes, elle est nulle partout.

Ainsi, la température en un point d'un milieu conducteur de la chaleur est représentée par le môme nombre que le potentiel électrique au même point, le milieu étant isolant.