Démonstratloii directe de ee théorème par BI. ThomMMi

— M. Thomson (*) a montré, par des considérations très-simples, l'analogie qui existe entre les deux ordres de phénomènes. Il est clair que, dans un milieu conducteur, la température en un point situé en dehors d'une surface isotherme qui renferme toutes les sources, est indépendante de l'état actuel des sources qui donnent lieu à cette surface. La température d'un point extérieur est donc la même que si les sources étaient distribuées sur la surface isotherme elle-même, de manière à y entretenir une température constante.

Si, dans un milieu conducteur arrivé à l'état permanent sous l'influence d'un système de sources de chaleur, on superpose, aux flux de chaleur qui existent, le mouvement calorifique permanent qui proviendrait d'un autre système de sources, le nouvel état sera encore permanent. En effet, dans chacun des deux états, la quantité de chaleur qui entre dans un élément de volume est égale à celle qui en sort, et il en sera de môme pour l'état résultant. Entre deux points m et m', le flux de chaleur est

(*1 Reprint ofpapers, p. i.

iPPUCATIONS DE LA THÉORIE. 559

égal à la somme des deux flux relatifs aux deux systèmes ; comme ce flux est proportionnel à la difTérences des températures, la différence des températures finales est aussi égale à la somme des diiTérences relatives aux deux systèmes La température à Tinfini, c'est-à-dire l'excès de température produit par les sources en un point très-éloigné, étant égale à zéro dans les deux cas, il en résulte que la température en un point est la somme des températures qui s'y produiraient sous Tinfluence de chacun des systèmes de sources séparément.

D*autre part, la température produite en un point P par une source simple située au point M est en raison inverse de la distance r de ce point M à la source. Si donc on dési^'ne par (ir/^Tintcnsité de la source qui existe sur un élément de surface c/7 de la surface isotherme considérée plus haut, la portion de la tempe* rature du point P situé à une distance r qui provient de cet élément de surface sera

et la températura / produite au point P par la surface isotherme tout entière sera

La constante |a est déterminée par cette condition que, pour tous les points de la surface isotherme, cette intégrale prenne une valeur constante /|.

Cette température t est exactement la même que le potentiel V, au point P, d*une couche électrique répandue sur la surface isotherme, et ayant à chaque point une densité égale à *,&. Cette couche serait d*ailleurs en équilibre, puisquVlle pnKluirait sur toute la surface un potentiel constant. La force électrique qui «i%'\erce en un point V est normale à la surface de ni\eau qui

pa'^*^ en ce point, et égale à la dérivée — . du potentiel par

rapport a la normale. D'autre part, le flux de chaleur qui traverse un élément de surface isotherme au même point P eslnt)ruiale a la surface isotherme, proportionnelle a Félendue de ce!

940 TRAITE DtLEGTRIGITÉ STATIQUE.

élément et à la dérivée — t" î ce flux est donc parallèle et proportionnel à la force électrique au point P.

251. Gonaéqnenees de cette eorrélatkia. — De Cette Corrélation

entre les deux ordres de phénomènes, on peut déduire un certain nombre de conséquences remarquables :

1" Quand une surface fermée est maintenue à température constante, il est clair que l'étal permanent n'est atteint que lorsque la température des difTérents points situés dans rintérieur de cette surface est constante et égale à celle qui existe sur la surface elle-même ; il n'y a alors aucun flux de chaleur entre les points situés dans l'intérieur de cette surface. U en résulte que, si une couche électrique est répandue sur une surface fermée de manière que le potentiel soit constant en tous les points de cette surface, le potentiel sera aussi constant en tous les points compris dans l'intérieur, et il y aura la même valeur que sur la surface; la force électrique sera nulle en tous ces points. Nous avons été obligés précédemment de recourir à la formule de Green pour démontrer ce théorème (165).

Quand l'enceinte, au lieu d'être fermée par une surface continue, est délimitée par un grillage, le phénomène calorifique fait voir que, si la température n'est pas constante dans l'intérieur de l'enceinte, elle ne peut varier que d'une quantité très-faible. De même, si un corps conducteur électrisé en équilibre a la forme d'une enveloppe discontinue, le potentiel sera sensiblement constant dans l'intérieur de cette enveloppe, et la force électrique insensible. Nous avons cité, à ce sujet (46), les expériences de Faraday.

2"" Nous avons vu que la force électrique, dans le voisinage d'un corps électrisé conducteur, est proportionnelle à la densité électrique au point le plus voisin de la surface électrisée, et qu'on a

U en résulte que le flux calorifique dans le voisinage d'une source de chaleur est aussi proportionnel à l'intensité calorifique de cette source au point considéré.

APPLICATIONS De U Tll£ORIE. 541

Imaginons deux sources de chaleur A^ et A, (fig. 108) à des températures constantes t^ et /,, et construisons un canal infiniment étroit MjM,N^, limité latéralement par des courbes orthogonales aux surfaces isothermes, et terminé aux surfaces des deux sources Aj et A,. Comme le flux de chaleur est, en chaque point, normal aux surfaces isothermes, ce canal ne recevra ni n'émettra de chaleur par ses surfaces latérales, et l'état permanent exige que toute la chaleur qui entre par la surface MjN^ sorte par la surface M^,. Soient dŒ^ et da^ les étendues de ces surfaces, [k^ et {a, les intensités calorifiques aux points M^ et M,. Le flux de chaleur qui entre par la surface M^N^ est, comme nous venons de le voir.

De même, le flux qui entre dans le canal par la surface M,N, est égal à A'!dl\L^da^. Comme le flux total doit être nul, il en résulte

47JI([jijd(jj -H |x,da,) = 0, ou bien

[L^da^ -h \f»fd<s^ = 0.

Dans le phénomène électrique corrélatif, A^ et A^ sont deux conducteurs électrisés en équilibre, et les produits \i^da^ et \i^da^ sont les quantités d'électricité qui existent sur deux éléments de surface con'espondants da^ et d?,, déterminés par un canal orthogonal aux surfaces de niveau. On voit que la somme des deux quantités considérées est nulle et, par suite, que les charges électriques de deux éléments de surface correspondants sont égales et de signes contraires (162).

Si le corps électrisé A, entoure complètement le corps A^, toutes les orthogonales menées de la surface S^ rencontreront la surface intérieure S, de A,, et, par suite, la charge totale du corps Aj sera égale et de signe contraire à la quantité d'électricité répandue sur la surface S,. Si Ton revient au phénomène calorifique et que la température (, du corps enveloppant soit égale à

343 TRAITÉ D'ËLEGTRiaTË STATIQUE.

zéro, 11 est clair que la température sera partout égale à zéro à Textérieur de la surface S,. De môme, dans le phénomène électrique, si le potentiel V, est égal à zéro sur la surface S,, il sera égal à zéro en tous les points situés en dehors de cette surface. Les deux quantités d'électricités égales et de signes contraires répandues sur les surfaces S^ et S, ont donc un potentiel nul, et produisent une force électrique null^, en tous les points extérieurs à la surface enveloppante S,.

S"" Considérons encore, comme dernier exemple, le problème de Riemann (169).

Une source calorifique A à une température t et une autre source B à la température zéro sont situées dans un milieu conducteur de la chaleur. La quantité de chaleur qui va de la source A à la source B est égale à celle que recevrait la source A de la source B, si celle-ci était à la température t, et la première à la température zéro.

Cela résulte immédiatement du principe de la superposition des états permanents. Désignons par Q» la quantité de chaleur que reçoit la source B dans le premier cas, et par Q. celle que reçoit la source A, par suite de l'échange des températures. Si Ton superpose les deux états permanents, les deux sources seront à la même température; la quantité de chaleur que la source A enverra à la source B sera Qj, — Qa, et celle que la source B enverra à la source A, Q^ — Q^. Or, ces quantités sont nulles. En effet, en tous les points du milieu la température est inférieure ou au plus égale à t. Si l'on pouvait mener entre les deux corps A et B un canal orthogonal aux surfaces isothermes, les deux bases de ce canal seraient à une même température, supérieure à celles de tous les autres points, et un pareil canal recevrait de la chaleur par ses deux bases sans en perdre par ses surfaces latérales, ce qui est contraire à l'hypothèse de l'état permanent. On ne peut donc mener aucun canal orthogonal entre les sources A et B, une seule des orthogonales que l'on peut mener à partir de l'une des sources A ou B aboutit ù l'autre source, de sorte qu'entre ces deux sources il n'y a aucun flux de chaleur. La somme Q» — 0» est donc nulle et, par suite*

APPLICATIOMS Di; LA THÉORIE. 343

Si l'on (irsiçno par |i^ rinicnsilé calorifique en un point de la sourro H, el (ht, un élnnent de surface, on a, dans le promii»r état raloriliqiic permanent,

de mc^me, pour le second état.

Il en ivsultc

/ ^f,(hb = / y.^(h,.

Dans le phénomène électrique corrélatif, A sera un corps conducteur maintenu à un potentiel V, B un autre conducteur non

isolé, c'est-à-dii*e au potentiel zéro, et / \k^(h^ la quantité d'électricité développée sur ce conducteur par Tinfluence du corps A. Iteniéme / lA^r/?^ est la quantité d'éh»ctricité que prendrait le

conducteur A maintenu au potenlici zéro et soumis à riiifliience du conducteur B porlé au potentiel V. Ces deux quantités d'électricité sont égales, ce qui constitue le théorème de ItitMnann.