BELATIYE A LA MESURE DES FORCES MAGNÉTIQUES

Nous avons dit qui) y avait deux méthodes pour mesurer les Torces magnétiques^ la première basée sur l'emploi de la balance de torsion , la seconde sur le principe des oscillations. Dans Tune et l'autre méthode^ il faut tenir compte de l'action du globe terrestre, qui contribue, indépendamment de la force dont on veut mesurer l'intensité, à TefTet total que donne Tobsenation directe. Cette action du globe terrestre s'exerce en effet sur l'aiguille aimantée suivant des lois susceptibles d'être soumises a des calculs rigoureux, que la présente note est destinée à exposer sommairement, et dont les résultats non-seulement nous serviront à la démonstration des principes que nous avons déjà implicitement admis, mais nous seront indispensables, plus tard, dans l'étude que nous serons appelés à faire du magnétisme terrestre. Nous diviserons cette note en trois parties : !• expression générale de l'effet du magnétisme terrestre sur une aiguille en équilibre; ^ loi du mouvement de l'aiguille quand eUe est dérangée de sa position d'équilibre, mais assujettie à tourner autour de son centre de gravité en restant dans le plan du méridien magnétique; 3* loi de ce mouvement quand l'aiguille sort du plan du méridien magnétique.

§ 1 . Expression générale de V effet du magnétisme terrestre sur Vaiguille en équilibre dans le méridien magnétique.

Nous supposons (fig. 175) une aiguille aimantéea^, de figure quelconque, suspendue par son centre de gravité. Soit p. la densité du magnétisme libre en un de ses points, par exemple en M, ce point sera attiré par les forces provenant du pôle nord de la terre et repoussé parcelles qui proviennent du pôle sud; les prcmit»res agiront suivant M A, les secondes suivant MB; ces deux force.4 auront ellcsmcmrsune résultante MR, siturc dans le plan formé par leurs directions. Nous appellerons cette résultante 5% pour ne pas la confondre avec g, qui exprime la forée de la pesanteur; l'effet total sur le point M sera donc exprimé par le produit u. g' ; chacun des autres points de l'aiguilte sera donc sollicité par une même force g , puis(]ue la résultante des forces magnétiques du globe ne doit pas varier dans la petite étendue qu'occupe la longueur de l'aiguille : a seulement, c'est-à-dire

la quantité de magnétisme libre variera d'un point à l'autre. L'expression générale de l'effet sera donc sur chaque point <7>rfm, dm représentant rélément de niasse, pour lequel u. ne varie pas.

Uemaniuons que toutes les résultantes des forces magnétiques du glolie représentées par g' sont parallèles, par conséquent toute les forces g'u.dm sont parallèles entre elles, et leur résultante générale est égale à leur somme. En désignant cette somme par S, on aura la résultante générale égale à S9>rf m. Mais S«.rf w représente dans cette expression la somme des magné tismes libres dans chacun des points de l'aiguille. Or, comme il y a autant de magnétismes sud que de magnétismes nord , la somme S pdm doit être égale à 0, et par conséquent la résultante générale a'SfiefM doit être nulle. Ce n'sultat indique ((ue, lorsqu'une aiguille a pris la direction que tend à lui imprimer l'ensemble des forces provenant du magnétisme terrestre, ces forces ne peuvent lui imprimer aucun mouvement de translation dans l'espace. C'est ce que l'expérience confirme, car une aiguille d'acier n'augmente pas de poids par l'effet de l'aimantation , et, si elle est disposée comme l'indique la lig. 75, p. 100, elle ne s'en dirige pas moins comme si elle était suspendue immédiatement par son centre, sans être portée ni en avant, ni en arrière.

§ 3. Lois du mouvement de V aiguille assujettie à se mouvoir autour de son centre de gravité dans le plan du méridien magnétique.

L'aiguille dont le mouvement va nous occuper est celle que nous avons appelée aiguille d'inclinaison (flg. 7-4, p. 1^7). Nous la représentons par une shnple ligne droite , quoiqu'en réalité elle soit conqtosée de [dusieurs

L lignes droites parallèles; mais il est facile de

voir que le cas réel peut être ramené au cas élémentaire hypothétique. Soit a b ( (ig. 170;. i ^*^=»a» cette aiguille, soit MR la résultante g' des

j /l\ forces du magnétisme terrestre, comprise

! / ! -^ nécessairement dans le plan du méridien

i ! magnétique, et dont la direction fonne avec

I , la vertical!» un angle i constant pour le lieu

-,. ,^^ ^ où l'on est et à une époque donnée. En sup-

Fiff. 476. ^ 1, . ... ? .

posant 1 aiguille suspendue par son centre de

gravité, la résultante g tend à détruire son horizontalité et à lui donner une inclinaison qui, dans notre hémisphère, fait pencher vers la terre la branche dirigée vers le nord, cjui est celle où nous supposons situé le point M. Dans la lig. 3, on représente l'aiguille a b comme n'étant déjà plus horizontale, (;t, pour savoir la direction qu'elle prendra, on décompose la résultante g' ou M R en deux composantes, l'une, M P, dirigée perpendiculairement à la longueur de l'aiguilh*, l'autre dirigée dans le sens même de la longueur de l'aiguille; lu première est évidemment la

■-^^ €%ui œiitril)ue à l'aire tourner l'aiguille, et elle est égale à g cos. PM R; ^*^ appelant s l'angle variable que forme la direction de Taiguille avec *>**ticale, on a PMZ' = 90" — set PMR = l)0<»--5H-t; or eos. PMK •-= OS5. (îK>» — s + i) = sin. (- — 0? t'" s*»'te que la eoni|)Osante perpen- *^lïi.ia' devient égale à j/ sin. (s— <), et l'action exercée sur le point - ^^ t: y.y' sin. (- — i ), en supposant ([u'il y ail à ce point u. de magnétisme •""* * « Pour avoir l'ellet réel de la t'orcf ou son moment autour du ^^ vo G de suspension, il faut multiplier son e\i>ression par la distance ^^^ M H G, ce qui donne u.rg sin. iz — <). Or s — * est Tangle fornïé par ^^iftiction de la résulUmle avec celle di^ l'aiguille, ce qui montre que la *^i« qui fait tourner le point M est analogue à celle (lui ramèncî chacun '^ points d'un pendule à la verticale, laquelle, (juand ce pendule est ''^^•ti^ de la verticale d'un angh^ a, est égale à g sin. a, g étant la force ^ lu pesanteur; et son moment est g r sin. rt, r étant la dislance de l'ex- "^ Milité du pendule an centre de suspension.

^our avoir Teflet non pas seulement sur le point M, mais sur toute l'é- ^*^due de l'aiguille, il faut considérer chacune de ses moitiés, en particulier, ou chacun des deux hi^as de levier C a et C b, la somme des moments ^^^r chacun sera Sa rg' dm sin. (- — t) ; mais g' sin. (i — ») est une quan- ^^<; qui ne change pas en passant d'un point à l'autre, on peut donc la ^^fiarder comme constante, et l'expression devient g' sin. (z — i)Su.rdm, Sutrdm doit être obtenu séparément pour chacune des moitiés de l'ai- ^Uille, car les magnétismes y sont contraires et égaux; et si l'un tend à *H.îre descf^ndre l'aiguille, l'autre tend ù la faire monter, de sorte (|ue les ^ITets s'ajoutent pour la faire tourner. Apjielons S' et S ' les deux sommes; ^ti a, pour le moment total qui sollicite l'aiguille g (S'+ S'O sin. (s — »)> expression qui ne devient nulle que quand s = /, c'est-à-dire quand la direction de l'aiguille coïncide avec la résultante des forces magnétiques de la terre. Aussi, tant cp.ie l'aiguille est hors de cette position, elle est sollicitée à y revenir, et elle y revient en oscillant de pail et d'autre autour de la direction de son inclinaison fixe, jus<iu'à ce que son mouvement soit détruit par la résistance de l'air et l'inertie de la suspension. Ces oscillations de Taiguille sont parfaitement analogues et soumises aux mêmes lois que celles (pi'exécute un pendule écarté de la verlic^ile pour y revenir en vertu de son poids. En effet , les forces magnétiques terrestres (|ui sollicitent les divei's points d'une aiguille ont des directions parallèles entre elles comme les forces de la pesanteur, et de même que celles-ci ont une résultante appliquée à un point qui est le centre de graviti' du corps, il existe sur chaque partie de l'aiguille où règne une même espè^ce de magnétisme un centre magnétique où l'on peut supposer appliqiu'C toute la force magnétique de la terre. 11 est vrai qu'ici les forces magnétiques ne sont pas égales entre elles, puisque [*, qui entre comme facteur dans l'expression II. g dm varie d'un point de l'aiguille à l'autre; mais cette circonstance ne change rien à l'analogie que nous avons établie, car l'existence des centres de gravité ne dépend pas de l'égalité, mais miicjuement du

paralh^lisme dos forces de la pesanteur. On pourra donc calculer la ] tion du point d'application de la résultante des forces magnétiques, c on calcule le lieu du centre de gravité dans un corps pesant. La distance de ces points au centre de suspension sera , pour chacune des moitiés de l'aiguille, égale à la somme des moments divisés par la somme des farc«,

c'est-à-dire ù ■ '"* ■ — ; S il dm n'est pas nulle ici, puisqu'elle n'est reli-

tive qu'à chacune des moitiés de l'aiguille.

Il résulte de ce qui précède que, de même que les intensit(>s de la p^ sauteur se mesurent d'après la durée des oscillations très-petites faites par un pendule autour de la verticale, celles des forces magnétiques du globe terrestre pourront se mesurer par la durée des oscillations faites autour de sa direction normale par une aiguille d'inclinaison placée dans le méridien magnétique; et si, pour la même aiguille, celte durée varie d'ui lieu à l'autre, on eu pourra conclure que les intensités du magnétisme ter restre varient proportionnellement au carré du nombre des oscillationi faites par l'aiguille dans un temps donné, ou inversement au carré Ai temps des oscillations. En effet, dans la formule du pendule composé

V =: s — -M — 9 il faut mettre à la place du dénominateur la quantité

g' (s' -J-s '), qui exprime la somme des forces magnétiques du globe agi?-

un autre liou de la terre, on aurait avec la même aiguille T'* = -rr^, — "

S' et S" ne changeront pas, car elles représentent pour chacune des branches l'aiguille la somme Su.rdm, qui est constante pour une même aiguille dont le magnétisme est invariable.

T- g" On tire des deux équations ci -dessus : — = ^ , ou en appelant N et >' te

nombres des oscillations faites le mémo temps, ^,= •—.

Il serait facile maintenant, en faisant osciller une aiguille d'inclinaison sous l'action d'une force qui n'est pas le magnétisme terrestre, puis ensuite sous l'inlliunice seule du majrnétisnie terrestre, de tenir compte di* (i*tt< dernière influence, et par consi^pient d'apprécier celle de la force doiinrt. Mais l'emploi <le l'aiiîuille d'inclinaison présente plusieuis inconvénitutî dont les principaux sont la dillirulté do placer l'aiguille exactement liaD^ le méridien magréti(|ne, cl surtout Tinipossibililé d'a\oir un mmle d»* suspension assez délicat j)our que l'appareil soit bien sensible : en elfct. l'aitiuille est obliiiée de se mouvoir autour d'un axe horizontal paî^saût par sou centre de gravité, dont les deux extrémités repost»nt sur ^m^ coussinets; système (|ui, qu(*l(|ue précaution qu'on prenne, pnViili' ufl frottement considérable. Il \ a donc avantage à se ser\ir autant \]\ir jt»^ sible, ^H)ur l'appréciation et la mesure des forces magnétiques, de rai^iml^

sant sur toute la longueur de l'aijîuille, et Ton a T* = jtÙttut:' ^^^^

horiiontaie de déclÎDaison^ dont le mode de suspension peut être aussi délicat que possible^ plutôt que de l'aiguille d'inclinaison; et quoique dans Im plupart des cas^ le résultat de l'observation donne moins directement la mesure de l'effet qu'on désire évaluer, cependant^ comme nous le verrcHis, on peut à l'aide d'une légère transformation dans les formule»^ l'obtenir également.

§ 3. Lois du mouvement de V aiguille quand elle est mise en mouvement hors du méridien magnétique.

Soit l'aiguille a b (fig. 177) et M R la résultante des forces magnétiques au point M; comme cette résultante est parallèle au plan du méridien magnétique et que a b n'est plus dans ce plan, M R n'est pas dans lé même plan vertical que a b. On décompose la force M R ou g' eu. deux, l'une M Z' ou Zy verticale, l'autre M H' ou H, horizontale et parallèle au plan du méridien magnétique; la première sera égale à g' sin. t, en appelant toujours i l'angle RM Z' que forme la résultante M R avec la verticale. Décomposons maintenant la force H qui est actuellement comme R M hors du plan vertical qui contient l'aiguille a ^ en deux autres, l'une H P ou Y, perpendi-

Fîg. 177.

cnlaire à ce plan, l'autre M P ou X dirigée horizontalement dans ce plan ; en appelant a l'angle que forme le plan vertical où se trouve l'aiguille atec le plan du méridien, nous aurons : Y = H sin. a et X = H cos, a; ou, en mettant pour H sa valeur, nous aurons : \ = g' sin. icos. a, et Y = / sin. i sin. a; et nous avons déjà Z = ^ cos. i.Tel est le système des trois forces qui agissent sur raiguillc.

Examinons successivement ce qu'il devient dans le cas où l'aiguille ainiantée est une aiguille d'inclinaison dont la suspension est telle qu'elle ne lui permet pas de sortir de son azimuth, et dans le cas où cette aiguille est une aiguille de déclinaison libre do se placer dans un azimuth quelconque, mais maintenue toujours par un contre-poids fixé à sa branche sud dans une direction horizontale.

a. Aiguille d'inclinaison.

Dans raiguille d'inclinaison suspendue de manière à ne pouvoir sortir

(le son azimuth, la force Y qui agit perpendiculairement h cet azimutli pour la ramener dans le plan du méiidien magnétique^ quand on l'en a sortie, est détruite par la résistance de l'axe. 11 ne reste donc que les den autres forces qui ont une résultante R telle que R' = X'+Z*, puisque la

deux composantes sont perpendiculaire» lune à l'autre, mais ^=lang.i',

i' étant Tangle que Ipur résultante (qui naturellement n'est pas la mènie que celle des trois forces X, Z et Y, c'est-à-dire que M R) forme avec il verticale; ou en mettant i la place de X.et de Z leur \aleur on a :

R«= f* siu.* i COS.«« -hf'« COS.» ij

cequijdonne :

R = ^ \/cos.'i+sin.«<cOB."tf, =g'cos,i •l-f-tang.» icos.'a.

on a aussi : tang. i'z=--= g' tang. t. cos. a.

H résulte-de ces formules ({ue l'intensité de la force qui sollicite chacun des points de l'aiguille d'inclinaison, sortie du plan du méridien magnétique, diminue à mesure qu'on l'écarté de ce méridien, car elle diminue à mesure qu'augmente l'angle a que forme avec ce méridien l'azimuth où on la place; en effet, plus a est grand, plus cos. a est petit. La plus grande valeur de la force a lieu quand a=:o, et par conséquent cos. a = 1, ce qui donne R= ^', cos. i •l+tang.*i = g' •cos.^i-j-sin.*/, c'est-à-dire R = g', ce qui doit être, puisque lorsque a = o, l'aiguille est dans le plan «lu méridien. La plus petite valeur a lieu quand a = 90^, aloi-s cos. a = o, et R = 9' COS. i ; c'est ce qui a lieu quand l'azimuth de l'aiguille d'inclinai^n est perpendiculaire au plan du méridien magnétique.

Ce n'est pas seulement la valeur, mais aussi la direction de la force R, qui varie avec la valeur de l'unule a; en d'autres ternies, l'aiguille d'inclinaison change de direction, quand on la chunire d'azinuith. D'abord, dans le plan du méridien maiinéliquo où a est nul et cos. a = 1, on a tang. i' = tang. i, d'où i' ^ f , ce qui doit être, puiscjue la résultante de X et de R est la même que celle de X , de Z et de Y , c'est-à-dire la résu liante RM desforces nïagnétiques du globe. On peut renianjucr aussi que c'est dans le plan du méridien magnétique que l'aiguille d'inclinaison forme le plus grand angle avec la verticale, ou, ce qui revient au même, s'incline le moins audessous de l'hori/onlalccar la plus grande valeur de «'correspondante à cos. ff = 1, c'est d'être égale à #. Quand l'aiguille d'inclinaison est placée dans un plan perpendiculaire à celui du méridien magnétique, on a: fl=î)0® et cos. a=o, d'où tang. * = o, c'est-à-dire que la direction de la n»sultante fait un angle nul avec la verticale, ou, ce (pii revient au même, co'încide avec elle. Ce dernier résulUit fournit un nu)yen très-simple pour déterminer le plan du méridien magnétique avec l'aiguille d'inclinaison seule, sans avoir besoin de recourir à celle de déclinaison. En effet, on n'a qu'à trouver l'azimuth dans lequel l'aiguille se tient exactement verticale, puis en s'en éloignant de i)œ, on a le plan raéridieo, et par conséquent on {)eut déterminer Tinclinaison en plaçant raiguîAe Ams ce plan.

lîOTEâ. 591

|w?iil f^galpineîil, au moyen dr la valeur ilo latifr* i» dAtei'mmer 11 n-

pu nirnilieruK^ *' û'iuw: nianuue iuUirf.Tl(i, TniUio*!*^ rloiit on se sert

tient pour Tmïîer it^ resultiit dtî lobBiT^'àtion diiwit>* Jl nS a

ifu'â olisprvor t' duns deuic HKimiUh^ quekoniiucB formant entre

Lin nugle droit; en eïlet, tlrsi^nun^ pari' ifl i'' lei deui angks obBtrfes,

ini :

tang. f = tang. i coa, a, Mxmiéquent Uing, i" = tang* i eus, (90— -«) == tong. * sin. <ï; laniî.* t (COS. * a + sin,* aj ^ laiifi.* i' + lan^a.* î'' ;

tang. * = ^hm^.*i'-J-latig.*i", W

ntj par ce promiïs multiplier lf*so!:H«ervaiioni^dans dillV-reuls plrinàj l prenant une movenne rntreelk^.nll'aililir les erreurs d'oliisj^rtutioflB

attnl au% ofdUalion§, tout ce que u-u- lluuis dit &ur relies qui sont réduite? par la reLUiUani!» g daus le nieriilien niagnetique, Mippliipie Êtuenlatix oîîcillatiuns prodailcs par la résultante R lïes deux forces X ^ dans le plan quelfont[ue on ilûguille eïit forieujeiit tluigee. Seulela Torce g' devient q' cos, i ^^T+tâîïgTTcôsTâ, facteur qui ne renque des termes cûnstants^ tant quEï Taiguille reste dans le mAme lutb*