DÉMONSTRATION PAU LE CALCUL DES COURBES MAGNÉTIQUES DE LA LOI DE

l'inverse du carré de la distance K Nous allons faire voir, en partant de la forme des courbes magnétiques

^ Cette note m*a été fournie par M. Ccllcrier; elle est publiée maintenant, pour la première fois.

olMenrées par le docteur Roget^ que l'action de chacun des pôles d'un barreau aimanté 84ir ceux qu'ils déterminent par induance dans une particule de limaille de fer, varie en raison inverse du cmré de leur distance.

Désignons par A et B deux pôles magnétiques, de nom contraire ou 4p même nom, entre lesquels se forme la courbe magnétique, et cherchcns d'abord ré(]uation de cette dernière par rapport à deux axes rectangulaires menés dans son plan. Nommons M un quelconque de ses points, dont les coordonnées seront x et y; prenons pour axe de» x la ligne AB, l'origine étant en son milieu 0, les x positives étant comptées du côté 0 A, et et les y positives du côté de la courbe.

Désignons par h la longueur 0 A = 0 B ; par r et r' les distances A M, B M , et par t, t les angles M A B, M B A ; abaissons enfln de M sur A B la perpendiculaire MP. On a évidemment A P = AU oos. M A B = r cos. i; d'autre

, h—-x part AP = AO— OP = h—x; par conséquent cos. i = ; on trouvera

de même cos. t ' = -^^. D'après la première loi de M. Roget, on a dans toute

retendue de la courbe cos.» ± cos.i' = const. , en prenant le signe supérieur ou l'inférieur suivant que les pôles A et B sont de nom contraire ou de même nom. En remplaçant cos.f, cos. t par leurs valeurs ci-dessus, on trouvera l'équation de la courbe :

dz —7— = const.

Id r, r' sont mis à la place de leurs valeurs,

^=\'Apq-Ml^=\ (/i— x)'-f y% r = y (A-|-j:)»+y%

Maintenant, soient A'B' les pôles d'une particule de limaille située en M; A' étant de même nom que A. La résultante des actions do A et B sur A', et celle de leurs actions sur le point très-voisin B', seront évidemment deux forces égales, mais de sens contraire; leur direction commune est celle que prendra d'elle-même la particule A B', si elle est libre de se mouvoir. Elle sera donc tangente à la courbe que forment plusieurs particules, en adhérant les unes aux autres par leurs pôles de nom contraire, car la petite droite A'B' est alors un élément de cette courbe.

Nommons g l'angle compris entre l'axe des x et la tangente à la courbe

au point M; on aura comme on sait : tang. 51= -^, et la dérivée t| s'obtiendra en différenciant l'tquation de la courbe, en faisant varier à la fois X et y. On trouve ainsi, par les règles connues

^rdx—[h—x]dr ^ r' dX'-{h+j)dr'

7Ï - rt "^"^

en différenciant les valeurs de r, r', on a d'ailleurs

^[h—x)dx^ydy {h-^x)dx-\-ydy

ar ■=■ ',ar— ^,