NOT£S

les actions des diiïérentes parties d'un ciiTuit fermé tendent à imprimer à une portion de courant circulaire, moment qui, d'après le troisième cas d'équilibre, doit être égala zéro^ Cette égalité le conduisit à une première ck{aaiion de condition entre les constantes n et A-, savoir : »+2A— i = 0. Nous ne suivrons pas M. Ampt^re dans les calculs difficiles et longs au moyen desquels il parvient à cette équation; ce serait sortir des limites que nous nous sommes imposées ; nous ajouterons seulement que, par des calculs non moins relevés, il arrive à trouver l'expression de l'action mutuelle de deux circuits, d'une longueur finie, situés dans un même plan, en considénmt leurs aires x et a comme partagées en éléments infiniment petits dans tous les sens, et supposant que ces éléments agissent l'un sur l'autre suivant la droite qui les joint, eu raison directe de leurs surfaces et en raison inverse de la puissance n+^de leur distance. L'expression*

est — 5 — : :~T^ • Maintenant, si l'on considère deux svstèmes sem- 2 2"-[-2

blaitles, compostas chacun de deux circuits fermés et plans, les éléments semblables de leurs aires seront proportionnels aux carrés des lignes boiDologues, et les distances de ces éléments seront proportiomielles aux premières puissances de ces mêmes lignes. Appelons m le rapport des lignes homologues des deux systèmes, l'action des deux éléments du premier étant représentée toiyours par la formule que nous venons de poser,

* L'expérience qui établit ce troisième cas d'équilibre (ftg, 100, p. 2G4) est peu susceptible de précision à cause du frottement de Tare mobile sur le mercure contenu dans les deux augets; aussi M. Ampère avait dans l'origine déduit la valeur de k d'une autre expérience qui ne présentait pas les mêmes inconvénients; elle consistait à constater qu'une portion mobile de fil conducteur dont le« deux extrémités se trouvent dans Taxe vertical autour duquel elle tourne librement ne peut se mouvoir autour de cet axe par l'action d'un conducteur circulaire horizontal dont le centre est dans le même axe. Il est évident que le conducteur est beaucoup plus mobile dans ce mode d'opérer que dans l'autre; mais M. Ampère l'avait abandonné parce que le calcul dont il s'était servi pour en déduire la valeur de k supposait établi relaUvemcnt à cbacun des éléments du conducteur circulaire, ce que l'expérience démontrait seulement pour la totalité de ce conducteur.

' M. Plana a trouvé, en reprenant les calculs de M. Ampère, que cette expres-

est erronée et doit être remplacée par — ; — [ ■. ^ j ; mais comme la même

rectiflcaUon doit être apportée à l'expression suivante. Il n*en résulte aucun changement dans la valeur de leur rapport, qui est la seule chose qui importe pour la détermination de A et de n dont il s'agit ici. L'erreur de M. Ampère n'a donc aucune importance pour l'objet qui nous occupe; clic en a davantage pour les cas où l'on a besoin d'exprimer la force absolue, sans toutefois que même alors il en résulte, ainsi que M. Plana l'a reconnu, aucun changement dans les résuluti généraux obtenus par M. Ampère.

sion

604 KOTES.

celle des deux élémenls du second deviendra n (—t—) , ^' , ,,. En

eiïet, il faut, d'après la remarque que nous venons de faire, multiplier par le carré du nombre (|ui exprime le rapport des lignes homologues, c'està-dire par m^ l'expression qui représente l'action individuelle de chacun démêlements du premier système, pour avoir celle qui représente l'action de chacun des éléments du second; ce qui fait que le produit des expressions des deux éléments du second système, qui donne leur action mutuelle, se trouve être le |»roduit par m* de l'expression de l'action mutuelle des deux éléments du premier. Quant au terme r*+*de cette dernière expression, il faut, |)our passer à celle du second système, le multiplier par m"+*, puis(|ue m exprime encore le rap|)ort qui existe entre les distances respectives des éléments de chacun des deux systèmes; de telle façon que si Foo appelle r, cette distance pour le second, on iir' = rmyr étant la distance pour le premier; d'oii il suit que r'" +« = r** ■^-«m"+'.

Maintenant le quatrième cas d'équihhre {fig, il9, p. 205) prouve que l'action du second système doit être égale à celle du premier, car dans l'expf'rience qui l'itahlit, le plus grand cercle et le cercle moyen formeDt un système semblable à celui du cercle moyen et du petit; le cercle moyen qui est mobile demeure en équilibre entre les deux cercles extrêmes qui sont fixes, quand la circonférence de tous les trois est parcourue i)ar le même courant électrique. Or, le rapport qui existe entre les

expressions de ces deux actions est ■ ^^^ ou m*"*; et puisqu elles sont

égales, ce rapport doit être égal à l'unité ou à m», ce qui donne « = 2, et en vertu de l'équation 1 — n — 2 A- = 0, A = — J.

L'expression générale de l'action mutuelle de deux éléments de courants quelconques, situés dans des plans quelconques, devient ainsi, en mettant à la place de n et de k leurs valeurs respectives ; -f- 2 et — » :

(sin. 6 sm. 6' COS. w — ï cos. 6 cos.6') ;

expression qui ne renferme plus que des quantités connues.

Remarquons en passant (ju'il résulte de la formule — — \ — ^ -7— relative à l'action mutuelle de deux courants fermés, que cette ex|)ression n'étant plus fonction que de la dislance, puisque, sauf r, toutes les quantités qui y entrent sont constantes, il ne peut jamais résulter de cette action un mou\emenl de rotation continue; cette conséquence importante est compirtement conlinnée par Texpérience, qui monli^e également qu'il est impossible de produire un mouvement de rotation continue par l'action mutuelie de deux aimants, qui sont l'un et l'autre des assemblages de courants fermés.

Nous avons vu dans la note E qu'on trouve également, en appliquant le calcul à une expérience de M. Biot, que l'action mutuelle d'un élément