STABILITÉ DES BRAS DE REPOS

lîlSu plan qui assure* le repos et offre la moiudre résistance au modérateur.

©30. Revenons à la figure 3 ( planche sixième ), et raisonnons dans cette hypothèse que le plan M#, pressé par la dent en g , assure parfaitement la stabilité du bras d’échappement en repos.

Nous pourrions tout aussi bien appliquer notre démonstration au plan Mn, et si nous choisissons Mg, c’est uniquement pour éviter la confusion qu’apporte dans un tracé linéaire le rapprochement des lignes.

Le centre de la dent qui presse en g se trouve en o, et la direction de la pression va de g en x. Prenons gx comme expression de la force en grandeur et en direction; cette ligne sera la diagonale du parallélogramme gvxi dans lequel vx nous mesurera la portion de force qui tend à faire tourner l’axe P, c’est-à-dire la puissance qui fait appuyer la pièce de repos contre son plot d’arrêt.

Faisons descendre de o en o' le centre de la roue dont la dent appuie en g. La circonférence de cette roue se trouvera sur le cercle th. Prenons sur cette circonférence, à la gauche du plan Mg, un point A. Joignons AM et ho et tirons iiy perpendiculaire à l’extrémité du rayon oh.

Le nouveau plan incliné MA satisfait aux conditions posées par notre théorème.

En effet, hy (que nous faisons égale à gx malgré une légère différence de frottement sur les pivots de la roue), nous représente la force, en grandeur et en direction, c’est la diagonale du parallélogramme hVyr. Les côtés P y et PA, comparés l’un à l’autre, nous indiquent en quels sens se décompose la force. Or, nous voyons que le rapport de PA à Vy, est sensiblement le même que le rapport de vg à vx.

Conséquemment, la fixité du bras de repos est aussi assurée quand la dent est en A que lorsqu’elle était en g. Sur ce point nous pouvons considérer les résultats comme équivalents, mais l’avantage définitif demeure au plan MA, puisqu’il demande pour être dégagé une force moindre.

Nous n’en ferons pas la démonstration, laissant au lecteur à résoudre ce petitproblème; ce que nous avons dit précédemment suffit, pour qu’il puisse, de lui-même, en établir les preuves théoriques.

631. Donc un plan de recul étant donné, on peut, en combinant le

THÉORIE DES ÉCHAPPEMENTS LIBRES

raccourcissement de la face frottante avec une certaine inclinaison, moindre que la première, déterminer un nouveau plan de recul, offrant les avantages du plan primitif, mais exigeant un effort moins considérable pour être dégagé. (Un des centres de mouvement se déplace nécessairement).

Quelle est la limite à laquelle on devra s’arrêter? Cette limite ne peut être fixée à priori; tout ce qu’il est utile d’en dire en ce moment, c’est qu’?7 y a avantage à réduire la surface de frottement, toutes choses comme ci-dessus, autant que le permettent les jeux ou ébats despivots et la nécessité d'assurer une certitude absolue à toutes les fonctions.

Note. —Une conséquence des dernières démonstrations, c’est qu’on pourrait arriver à faire opérer le repos sur un élément de bras circulaire et que la stabilité de ce bras serait tout aussi assurée; mais alors le point d’application de la pression se trouverait fort en deçà de la tangente et l’on sait que le motif allégué en faveur de l’adoption de la forme circulaire et concentrique à l’axe du mouvement est précisément que cette forme donne la faculté de placer l’échappement au point de tangence.

EXPÉRIENCES

PREMIÈRE EXPÉRIENCE

<î32. J’ai construit l’appareil représenté par la figure h ( planche sixième). II. se compose d’un levier bd, mobile sur pivots en c, et qui porte en bn un secteur d’acier A, tournant au besoin autour d’un pivot à demeure en n. Ce secteur amené au point convenable se fixe par une vis de serrage. On peut ainsi donner à sa face rectiligne an une inclinaison quelconque. Le point de départ est la corde na de l’arc de cercle nja tracé du centre de mouvement c.

La face bn est courbe et, lorsque l’on retourne le secteur, elle est concentrique au centre de mouvement du levier.

Ce levier étant équilibré par de petites rondelles enfilées sur s, on met en prise avec la face an l’extrémité j d’un bras d’échappement sollicité à se mouvoir par un poids, et l’on accroche en d un petit plateau de balance que l’on charge jusqu’à ce que le levier cd, quittant son point d’appui en h, se mette en mouvement et surmonte la résistance que lui oppose la dent on a dû tenir compte du poids du plateau.

Voici les résultats que nous a donnés cet appareil; la pression de la dent

VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES

j étant produite par un poids de 100 grammes agissant à l’extrémité d’un arc de cercle d’un rayon de 17 millimètres.

En soutenant délicatement le plateau f dans sa descente, afin de connaître le point de la plus grande résistance, et par suite la plus grande force nécessaire pour la rupture de l’équilibre, tâté à tous les points de la surface du plan an, le décrochement avait lieu sous les charges du plateau ci-dessous indiquées en nombres ronds.

Surface frottante.

28mra

Mouvement (angulaire) de l’incliné de Charges.

0° â 10° 8 grammes.

0° à 20° 12 id.

0° à 30° 16 id.

Et en abandonnant le plateau aussitôt que chargé.

Surface frottante.

9gmm

Mouvement de l’incliné de

Charges.

5 grammes.

8 id.

11 id.

Le point de départ du mouvement angulaire du plan étant la corde an de l’arc ajn, tracé du centre c, en cherchant quel est l’angle formé par l’incliné et la ligne ne, on trouve que :

Le mouvement de 10° répond à un angle de 65° id. de 20'’ id. 55°

id. de 30° id. 45°

et l’on a ainsi la preuve que la résistance du dégagement croît dans une proportion beaucoup plus rapide que la progression décroissante de l’angle d’inclinaison (625).

DEUXIÈME EXPÉRIENCE

633. Dans les expériences que nous allons rapporter, on a fait varier la pénétration de la dent sur l’incliné, en abaissant verticalement, et suivant le besoin, le centre de rotation du levier dont l’extrémité est vue en j.

Le plateau délicatement soutenu dans sa descente, le décrochement avait lieu quand ce plateau portait les charges ci-dessous incrites.

Surface frotiante.

Mouvement de l’incliné de

Charges.

28mm

8 grammes.

10 id.

13 id.

THÉORIE DES ÉCHAPPEMENTS LIBRES

et en abandonnant dès le début le plateau chargé :

Surface frottante. Mouvement de l’incliné de Charges.

28mm 0° à 10° 5 grammes.

14 0° à 20° 9 id.

7 0° à 30° 12 id.

Nous savons par l’article précédent que le mouvement

de 10° répond à un angle de 65°

de 20° id. 55°

de 30° id. h 5°

Et cette dernière série d’expériences nous fait voir que non-seulement, comme dans le cas précédent, la résistance croît beaucoup plus rapidement que ne décroît l’angle, mais que le gain résultant d’une surface de frottement et d’un mouvement angulaire un peu moindres est plus qu’annulé par la résistance d’un levier virtuel un peu plus long au départ (62 8j.

TROISIÈME EXPÉRIENCE

634. Elle a été faite conformément aux indications que fournit la figure o (planche sixième) en considérant seulement les deux plans M g et M/i. Le centre de la roue, par conséquent, se déplace verticalement.

Surface frottante environ. Mouvement de l’incliné de Charges.

27mm 0° à 18° 11,0 grammes.

15 0° à 10° 7,5 id.

Ces résultats prouvent, ce dont, d’ailleurs, nous étions certains d’avance, qu’il faut une moindre force pour opérer le dégagement du plan M/i, mais il reste encore à démontrer expérimentalement que la pression de la dent sur le point h assure la stabilité du bras d’échappement au même degré que lorsque cette pression s’exerce sur g.

QUATRIÈME EXPÉRIENCE

635. Un bras d’échappement maintenu en repos par une dent de la roue, ne peut se déranger que par une secousse, ou un brusque mouvement de trépidation donné à la machine. Ceci entendu, voici comment nous avons procédé :

VÉRIFICATIONS EXPERIMENTALES.

Le levier bd (figure k) équilibré sur son axe, la dent j a été mise en prise avec la face na et successivement dans les conditions indiquées par les plans M h et Mg de la figure 3. Le plateau f a été ensuite chargé de petits poids de plus en plus lourds, mais insuffisants pour déterminer le mouvement du levier quand tout était en repos. Après avoir chaque fois chargé le plateau, on produisait l’ébranlement du support de l’appareil, par un clioc violent ; unique ou plusieurs fois répété.

Les déplacements Verticaux du centre de la dent, et les inclinaisons du plan na vers b donnaient les trois combinaisons suivantes, dont la première répond à M</ et la troisième à M h :

lre C°. Surface frott. environ 27mm Mouvement de l'incliné de 0“ à 18° 2” id. id. 20 id. id. 0°àl0°

3e id. id. 15 id. id. 0°àl0°

Charges successives:

1,2, 3, 4 grammes.

Sous un gramme de charge, l’ébranlement du support ne produisait aucun effet.

Sous deux, aucun dérangement n’avait lieu en lrc et 3e. Mais en 2e le levier s’éloignait imperceptiblement du plot d’appui k.

Sous trois grammes, en lre et 3e le bras cd s’éloignait du plot d’appui de deux millimètres et ne pouvait aller au delà ; en 2e l’intervalle allait à trois millimètres.

Enfin sous une charge de quatre grammes, l’écartement atteignait à quatre millimètres en 1er et 3e et allait beaucoup au delà en 2e.

Donc les deux combinaisons (inclinaison du plan et direction de la force) lre et 3e assuraient également bien la fixité de la pièce bd.

Résistance au déplacement des repos concentriques. Nous ne pouvions mieux clore cette série d’expériences qu’en vérifiant le degré de stabilité que peut donner à un bras d’échappement la forme circulaire.

Le secteur A retourné et fixé dans une position telle que sa courbe bpn se confondît avec la circonférence décrite du rayon ac, la dent j a été mise en prise avec la face na au point a (point de tangence ou à trèspeu près), et nous avons agi comme il vient d’être expliqué à l’article précédent.

Le plateau f a été successivement chargé de \3 2, 3, à décigrammes.

Sous une charge de un décigramme, aucun dérangement n’avait lieu.

Sous une charge de deux décigrammes, le bras cd s’éloignait du plot d’appui k de un à deux millimètres -, sous trois décigrammes, de près de quatre millimètres et sous une charge de quatre décigrammes. l’inter-

THÉORIE DES ÉCHAPPEMENTS LIBRES

valle dépassait sept millimètres. La résistance au dérangement était ainsi environ dix fois moindre que dans la quatrième expérience.

La forme circulaire, donnée aux surfaces de repos des échappements libres, assure donc beaucoup moins que la forme rectiligne et inclinée la stabilité des repos.

Il est question ici d’un échappement placé sur la tangente, car il faut se souvenir de la note qui termine l’article 5531.

lia durée eu temps de l’oscillation change par un changement dans la longueur des bras de l’échappement.

636. î\ous supposons toujours que la levée et le moteur restent les mêmes.

Les articles 235 et suivants ont fait voir qu’en allongeant les rayons de résistance du repos, on donnait naissance à un frottement plus considérable et d’où résultait un retard dans le mouvement du modérateur.

Une analyse analogue démontrerait que la résistance au décrochement augmente dans l’échappement libre en raison de l’allongement du rayon de repos, et que le cas est identique à celui des échappements à repos frottant, sauf que la valeur des résistances est différente.

Puisque l’effet de l’allongement du bras de repos est de retarder le mouvement du modérateur, et le raccourcissement, l’effet inverse, on aura à chercher, comme pour les échappements à repos, une longueur de bras où les deux effets se compensant, ou à peu près, le modérateur se comportera, étantsous la dépendance de l’échappement, absolument comme lorsqu’il en est isolé et qu’il oscille librement. (Ce double effet ne peut se réaliser avec pendule ou balancier trop léger.)

637. Une remarque d’une certaine importance, applicable aux deux espèces d’échappements, a naturellement sa place ici, et d’autant mieux qu’elle répond à une objection qui nous a été faite.

Avons nous voulu dire que la mesure de la longueur des bras est rigoureusement limitée au point théorique? Cette question est assez compliquée, et nous aurons occasion d’y revenir, mais nous pouvons par anticipation répondre tout de suite : oui si les jeux et l’exécution manuelle ont un degré de précision presque absolu, et si les pressions, plus fortes avec les courts leviers, ne dépassent pas la limite de résistance des matières employées; non dans le cas opposé: d’où naîtrait la déformation des contacts, etc., et par suite des irrégularités dans la marche du mécanisme.

EFFET UTILE DU PLAN ü’iMPULSION.

638. Les considérations qui précèdent ne tiennent pas compte de la présence du spiral dans les pièces portatives. Or nous avons vu aux articles 262 et 263 que l’introduction de cet élément amène des résultats en apparence contradictoires. Nous disons en apparence, car, bien loin que ces résultats accusent d’erreur la théorie, ils en confirment l’exactitude et prouvent, ainsi qu’on l’a déjà vu, et qu’il sera établi plus loin, que plus on approchera dans l’exécution des proportions théoriques et plus sera long le temps pendant lequel le régulateur, spiral ou pendule, conservera dans son intégrité sa faculté d’isochronisme.

I/eifet utile de l’impulsiou varie par les differentes hauteurs du plan iueliué, qui transmet la force motrice au modérateur.

639. Il nous paraît inutile de revenir sur les démonstrations contetenues dans l’article 247 et suite. Nous y renvoyons, puisqu’elles suffisent à établir l’exactitude de l’aphorisme en titre.

Ajoutons seulement deux mots.

On a toujours considéré un plan d’impulsion dont la longueur reste sensiblement la même, car si la nature de l’échappement permettait de modifier à volonté cette longueur, on pourrait, dans plusieurs cas, obtenir du modérateur la même amplitude d’oscillation, en compensant une certaine perte de hauteur par une plus longue durée d’action.

Nous croyons notre lecteur assez pénétré des principes pour qu’il nous paraisse inutile d’insister.

Entre toutes les inclinaisons qu’on peut donner à un plan d’impulsion,

une seule produit

le mouvement maximum «le la plus grande régularité.

649. Cette proposition s’appliquant également bien aux deux variétés d’échappements que nous avons étudiées jusqu’ici, le lecteur devra se reporter, pour en avoir la démonstration, à l’article 231 et suite.

Un changement dans les dimensions du modérateur oblige à motliffer le rapport des leviers d’impulsion et de repos.

641. Le mouvement du modérateur est le résultat de la différence des deux actions d’impulsion et de dégagement. En un mot, il est le résultat de l’excès d’une puissance sur une résistance ; absolument comme dans l’échappement à repos frottant,, et sauf, toutefois, que la résistance n’a pas la même valeur, puisqu’elle s’exerce dans l’un à peu près uniquement par pression continue, et dans l’autre par choc.

THÉORIE DES ÉCHAPPEMENTS LIBRES

La démonstration fournie par le paragraphe 260 et suivants est également applicable, sous la réserve des observations qu’on va lire, au cas présent, mais avec la précaution de substituer mentalement à l’expression : résistance du frottement sur le repos, celle de résistance du dégagement.

Différence du mode d’action des leviers de repos dans les échappements libres et à repos frottant.

642. Nous venons d’appeler l’attention sur les caractères très-differents qu’offrent, dans l’une et l’autre espèce d’échappement, les résistances qui précèdent l’acte de renouvellement de l’impulsion.

Insistons sur la différence du caractère de ces résistances, elle a une importance majeure.

Échappements réglés par un pendule.

643. Considérons d’abord les échappements des pendules et des régulateurs, en prenant pour type celui dit de Graham.

Si l’expérience ne prouvait sans réplique qu’avec un tel échappement on obtient l’isochronisme des oscillations du modérateur, il suffirait de se souvenir que nous avons démontré qu’on peut à volonté y faire varier le rapport établi entre la puissance de pulsion et la résistance du frottement sur les repos, pour qu’il devînt sinon facile, du moins possible de prouver théoriquement l’existence des oscillations isochrones.

644. Il n’en est plus de même si, à l’échappement de Graham, nous substituons un échappement libre.

En effet, examinons comment les choses se passent sous une augmentation de force motrice, et nous trouvons tout de suite trois causes d’irrégularité qui empêcheront, et d’une façon absolue, qu’un isochronisme s’établisse ou se conserve dans les mouvements du modérateur.

Première. Une impulsion plus énergique reçue par le pendule libre, lui fait décrire de plus grands arcs d’oscillation ; or les arcs plus grands retardent sur les petits quand le pendule est libre.

Deuxième. Le dégagement se fait par un choc, subordonné à la puissance acquise du pendule et qui en subit toutes les fluctuations. En outre, ce pendule opère contre un ressort ou contre un poids ,dont la puissance peut varier par plusieurs causes.

Troisième. Enfin la résistance plus grande du dégagement, considérée à tort comme un correctif de l’augmentation de la force motrice,

rULSION ET DÉGAGEMENT. — RAPPORT,

est non-seulement insuffisante pour le présent, mais avec le temps, et nous allons le prouver, elle se modifie dans une proportion fort différente de la progression décroissante delà force motrice (647).

D’ailleurs la résistance de ce dégagement est presque toujours inconstante, et fait perdre ce que l’on pourrait gagner comme régularité, d’une force d’impulsion constante ou approchant de l’être.

645. Donc, et sous le bénéfice des démonstrations qui vont suivre, concluons dès à présent, que si avec l’échappement à repos frottant on a pu réaliser une combinaison où les puissances et les résistances se sont maintenues dans un certain équilibre favorable au réglage, aux différents degrés de la force motrice décroissante, il n’en a pas été de même avec l’échappement libre des régulateurs, qui n’a pu, jusqu’aujourd’hui, réaliser un équilibre analogue, ou donnant des résultats aussi exacts. La raison en est que, dans cette sorte d’échappement, il se produit des effets qui ajoutent ou retranchent à la puissance du modérateur, tantôt dans le sens favorable à l’action de la roue et tantôt en sens opposé.

Échappements à balancier annulaire.

646. Toutes ces observations seraient également bien appliquées aux échappements libres des pièces d’horlogerie portatives, si elles ne possédaient dans le spiral l’élément de régularité qui manque aux échappements libres non portatifs. L’introduction de cet élément change toutes les conditions du problème, comme nous allons le montrer un peu plus loin.

Le rapport entre la force de pulsion et la résistance du repos Tarie arec le temps.

(Applicable également aux échappements à repos.) ,

647. Cette étude est neuve. C’est une question qui n’a été, que nous sachions, soulevée par personne, et sa solution va nous montrer l’une des causes de certains faits révélés par la pratique et l’observation, et restés néanmoins inexpliqués.

Les ouvrages sur l’horlogerie, du moins le plus grand nombre, les conversations de la plupart des horlogers expérimentés, se bornent à attribuer la correction des inégalités delà force motrice obtenue de l’échappement à repos : « à ce que l’augmentation de la force accélère les vibrations du modérateur, tandis que la pression sur la pièce de repos, ou la

THÉORIE DES ÉCHAPPEMENTS LIBRES

résistance au dégagement, également augmentée, diminue cet excès de vitesse. »

Cette définition, erronée parce qu’elle est incomplète, laisserait croire que par les variations de la force motrice, la puissance de la pulsion et la pression sur le repos croissent ou décroissent parallèlement, et dans le même sens que la force, ce qui n’est pas.

Avant d’en fournir la preuve théorique, nous aurons recours., suivant notre habitude, à une vérification expérimentale déjà connue de nos lecteurs, et qui suffirait à beaucoup d’entre eux, si nous ne tenions à ne laisser subsister aucun doute dans leur esprit.

®;!8. Augmentons progressivement la force motrice de la plupart des pièces d’horlogerie pourvues d’échappements, et nous arriverons presque toujours à faire arrêter le mécanisme.

Ï1 est évident que si la puissance de l’impulsion, nécessairement supérieure au début à la résistance du dégagement, suivait la même progression que cette dernière, il n’y aurait pas arrêt, mais simplement précipitation dans la marche de l’échappement.

Remarque. — Nous avons dit que, presque toujours, on peut arriver à produire l’arrêt; mais il faut employer une pièce où le balancier soit plutôt léger que lourd. Le balancier lourd, acquérant, par l’effet de l’augmentation de sa vitesse, une puissance de mouvement considérable, pourrait briser ses pivots, avant même d’avoir atteint à la limite où son mouvement est paralysé par la pression exercée sur son axe.

MIL Passons à la démonstration théorique.

Pour la simplifier, admettons un moteur dont la puissance aille en quadruplant.

Nous aurons, en vertu des lois de la mécanique, les progressions suivantes :

Le moteur sera successivement . : : i, à, 16, 6/1....

La pression . . . . . » . * : 1, II, 16, 6/i.. .

La résistance au dégagement . „ : : 1, k, 16, 6/|....

La puissance du balancier, „ . ; : i, 2, Z|, 8....

L’inspection de ce tableau nous fait voir que, tandis que la résistance va en quadruplant, la puissance du balancier va seulement en doublant. De toute nécessité, et quoiqu’un début la puissance de l’impulsion fût de beaucoup supérieure à la résistance du dégagement, elles arriveront à s’équilibrer et le mouvement du modérateur sera suspendu.

<531). En poursuivant plus à fond cette étude, on pourra y trouver