ENGRENAGE EN DÉVELOPPANTE DE CERCLE

1083. L’engrenage dont les excédants ont la forme de développantes de cercle, grâce à la propriété de cette courbe que nous avons signalée au 1040, et qui fait que les deux rayons virtuels de puissance et de résistance sont constamment égaux aux rayons primitifs, transmet le mouvement par une égale pression, sans altération et sans perte de force.

Cette remarquable qualité l’aurait fait préférer à l’engrenage en

TRAITÉ DES ENGRENAGES

épicycloïde, si Ton avait eu le moyen de former rigoureusement les courbes de la dent et de l’aile. L’usage de l’appareil que nous avons créé sous le nom d’ Arrondissent' de précision permettrait d’exécuter des dentures de cette sorte, mais à la condition, si l’on voulait conserver l’exactitude de la forme, de polir les ailes sur l’outil même ; méthode de travail qui ne peut se prêter aux exigences de la production par abattis, telle qu’elle se pratique aujourd’hui.

Quand une roue doit conduire plusieurs pignons, la forme en développante est celle qui convient le mieux à ses dents, l’épicycloïde variant avec chaque grosseur de pignon.

On pourrait faire d’utiles applications de l’engrenage en développante de cercle dans l’horlogerie monumentale, et surtout dans les remontoirs. Quant à la petite horlogerie, où cette application est difficile, en employant des mobiles suffisamment nombres, on obtient un engrenage épicycloïdal peu différent de celui en développante (1123). (Consulter le chapitre VI.)

ENGRENAGE EN ËPICVCL0Ï0E.

Du choix de l’épicycloïde .

1084. Si on examine la figure 6 (; planche treizième ), où le grand cercle A représente la roue, tandis que le cercle B représente le pignon, on voit que si l’on procure un mouvement de rotation au grand cercle À il fera tourner en même temps les deux petits cercles B et C. (Le mouvement aura lieu comme si, le grand cercle étant immobile, les deux petits roulaient autour de lui.)

Il est évident que, pendant toute la durée du mouvement, le petit cercle G tourne non-seulement autour de la grande circonférence A, mais qu’en même temps il roule dans l’intérieur du cercle B, et que, par conséquent, le point générateur trace simultanément une épicycloïde supérieure aob et une épicycloïde inférieure cod. Or, ces deux épicycloïdes, étant engendrées par le même point, sont pendant toute la durée de la marche forcément en contact par ce seul point, et par suite la ligne droite passant par le point m, où les trois cercles se touchent, et par le point de contact o des épicycloïdes, est toujours perpendiculaire à ces dernières.

1085. Si le petit cercle C a un diamètre plus grand que la moitié du diamètre de B, l’épicycloïde rod est convexe (fig. 6, planche treizième).

de l’engrenage épicycloïdal.

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Si le petit cercle a un diamètre moindre que la moitié de B (fig. 5, planche treizième ), l’épicycloïde eom est concave.

Si le diamètre du petit cercle est la moitié du diamètre du cercle B (fig. 4, planche treizième ), l’épicycloïde est une ligne droite ( id ), laquelle ligne est précisément le diamètre du cercle B.

Ce dernier cas, extrêmement curieux, simplifie beaucoup la théorie de l’engrenage et en facilite l’application.

En effet, pour que l’engrenage de la roue A et du pignon B réalisât ici les avantages indiqués par la théorie, il faudrait que le flanc de l’aile du pignon prît la forme de l’épicycloïde inférieure, tandis que la dent de la roue faisant saillie en dehors du cercle A recevrait la forme de l’épicycloïde supérieure.

Mais avec le cercle C (fig. 6), le flanc de l’aile du pignon serait bombé; avec le cercle G (fig. 5), il serait creux, tandis que, dans le dernier cas, celui du cercle H (fig. 4), le flanc deviendrait un plan droit visant bien le centre du pignon. Or, s’il est difficile, sinon impossible, de former les flancs des ailes selon les courbures indiquées, il n’en est pas de même quand il s’agit d’un plan droit, dont l’exécution, même en petit, n’offre aucune difficulté à vaincre.

Ceux des lecteurs qui auraient quelque peine à se rendre compte des effets en question devront recourir au moyen pratique déjà indiqué (1038).

1086. Résumé. — Dans l’engrenage épicycloïdal, il faut;

1° Que la courbure des dents de la roue soit faite selon une épicycloïde engendrée par un cercle ayant pour diamètre la moitié du diamètre primitif du pignon ;

2° Que le flanc des ailes soit un plan droit se dirigeant bien exactement au centre du pignon.

On trouvera aux 1104, 1103, les différentes méthodes employées pour faire le tracé d’une épicycloïde.

Qualités et défauts de l’engrenage en épicycloïde.

1087. Si l’on donne à l’aile du pignon la forme de l’épicycloïde inférieure, et à la dent de la roue la forme de l’épicycloïde supérieure, l’engrenage se produit dans les conditions suivantes :

1° La ligne soe (figure 4, planche treizième) étant perpendiculaire aux deux épicycloïdes, la force dont la roue est animée s’applique toujours perpendiculairement sur l’aile du pignon.

2° Les vitesses sont égales puisque l’arc i o, quantité dont a tourné

TRAITÉ DES ENGRENAGES

le pignon, est égal en longueur à l’arc r o, dont la roue a tourné dans le même espace de temps.

3° Tout le temps que dure le contact d’une dent et d’une aile, c’està-dire durant toute la menée , la puissance et la résistance restent entre elles dans la même proportion. En voici la preuve : en vertu des principes des leviers (1034), le bras de levier par lequel la roue agit n’est pas le rayon de cette roue, mais bien le levier virtuel Y s (figure à, planche treizième), qui devient ainsi le levier de puissance; et le levier de la résistance n’est pas le rayon du pignon, mais seulement la partie de ce rayon comprise entre le centre d et le point e, où l’aile est touchée par la dent. On démontre géométriquement que, à quelque point qu’on arrête la menée, le levier virtuelYs est au levier virtuel ed comme le rayon de la roue V o est au rayon du pignon oc?.- il s’ensuit nécessairement que la puissance et la résistance ne varieront en aucun point de la menée1.

1088. A côté de ces avantages, il présente un peu de frottement de glissement, ce qui est évident , puisque r e est plus étendu que i e. Mais cette quantité de glissement, qui devient de plus en plus faible à mesure que les mobiles sont plus nombrés (au-dessous d’une trentaine de dents une roue ne peut plus conduire uniformément un pignon), est plutôt, en petite et moyenne horlogerie, un bien qu’un mal (1082) ; l’inconvénient grave consiste dans la différence des pressions du commencement à la fin de la menée , différence qui est cause qu’à la longue les surfaces de contact s’entament plus profondément sur un point que sur d’autres (38).

1089. L’engrenage en épicycloïde possède, on le voit, de sérieuses qualités; c’est le meilleur à employer en petite horlogerie, parce que c’est le seul qu’on ait pu jusqu’ici exécuter avec précision; néanmoins, c’est à tort que les auteurs des ouvrages d’horlogerie ont prétendu qu’il réalisait Y engrenage parfait; il n’en approche que lorsque les mobiles sont très-nombréSj et il y a des inconvénients à dépasser certaines limites (1124).

Des engrenages où la menée commence avant la ligne des centres.

1090. La ligne des centres est, comme on le sait, la ligne qui est censée passer par les centres de rotation, c’est-à-dire par les centres de la roue et du pignon (BA, fig. 2, planche quatorzième).

1. Les deux triangles rectangles oVs, oed (fig. 4), sont semblables-, conséquemment leurs côtés homologues étant proportionnels, on a toujours sF: ed : : Vo (rayon de la roue) : ud (rayon du pignon).