RÉSISTANCE DES DÉGAGEMENTS
Un grand nombre d'erreurs, admises comme vérités dans les ateliers et dans la plupart des livres traitant de Tart chronométrique, ont leur source dans cette soi-disant règle qui donne pour la mesure du frottement rétendue de la surface frottée.
En ne tenant compte que de l'étendue du frottement, les estimations que Ton en fait ne sont souvent que de très-fautives approximations. Il est impossible d'apprécier la force absorbée par le frottement, si l'on ne peut déterminer son intensitéj c'est-à-dire la pression, ou, si elle est variable, les pressions différentes sous lesquelles le frottement se produit (37).
Un exemple frappant vient de passer sous nos yeux : une plus grande force a été absorbée par le frottement de 6c, qui est cependant beaucoup plus court que ij\
Dé|pa|pemeiit mibs recvL
620. Quand le repos de la roue se fait sur une surface concentrique à l'axe de rotation de la pièce de repos, la résistance au dégagement est proportionnelle à la longueur du rayon de repos.
Nous aurions à répéter ici la démonstration contenue dans l'article S39 et suivant; nous y renvoyons.
Le repos sur une surface concentrique ayant lieu avec une pression uniforme , le balancier, dans l'acte du dégagement , perd de sa force acquise en proportion de l'étendue de la surface de frottement. Cette perte dans l'échappement libre est de faible importance, mais si le point de repos n'est pas rigoureusement stable, la résistance des décrochements est variable.
621. Tout en constatant un fait , qui nous paraît devoir se passer, ICI du moins, d'une démonstration, à savoir: que le balancier perd d'autant plus de sa puissance de mouvement qu'il est plus longtemps sous l'action de la pression du repos . nous devons rappeler que nous croyons n'avohr pas suffisamment insisté sur ce point à propos des échappements à repos frottant.
Là, et pour une force d'impulsion déterminée, le modérateur perd de sa quantité de mouvement en raison de l'étendue du frottement de repos. D'où s'ensuit de toute nécessité que la marche d'un échappenient s'engourdit de plus en plus vite, et dans le rapport de l'augmentation donnée à l'étendue du frottement de repos.
866 XIIliORlE DÈS ÉCHAPPEMENTS LIBRES.
Dé^^ai^emeiit aTec recul.
622. La résistance qu'éprouve le balancier dans Taction du décrochement des repos, quand la surface de ces repos est un plan rectiligne, est en raison composée : 1° de Tinclinaison du plan ; 2° de l'étendue de la surface frottante sur ce plan ; 3° de la longueur virtuelle du levier qui meut le plan ; 4** de la vitesse de translation du plan ; S** de la direction de la pression.
Commençons notre étude en considérant d'abord deux cas particuliers se rapportant à un même échappement, où toutes choses resteraient égales, sauf deux : l'inclinaison du plan et la pénétration de la roue.
Dans le premier, les surfaces frottantes ont des longueurs égales et des inclinaisons différentes; par suite, les reculs sont inégaux.
Dans le second , les surfaces frottantes diffèrent d'étendue, tout en donnant à la roue d'échappement une même quantité de mouvement angulaire en arrière ; par suite, les reculs sont égaux.
Les plans inclinés de repos de même longueur frottante.
623. Considérons la figure 2 {planche sixième) , et supposons qu'une même roue d'échappement ira s'appuyer, par l'extrémité d'une de ses dents, d'abord au point d, puis au point f.
La longueur totale du rayon du repos est égale à 6M; soit 110 millimètres.
Par supposition, bd égale bf, et l'arc cd est moitié de l'arc cf. D'où s'ensuit que le recul produit par le plan bf est double du recul dû au déplacement du plan bd.
Par construction (en négligeant les nombres fractionnaires) , on a ;
Mb de 110 millimètres»
gk de 102
ik de 100
ad de 45
nf de 43
bn de 20
ba de 15
Est-il nécessaire de faire remarquer que le rayon total de repos 6M, iyant son point d'appui en M, ne change pas, quelle que soit l'inclinai-
RESISTANCE DES REPOS nECTILIGNES,' 367
son du plan, tandis que le levier de puissance, ou levier virtuel, donnant la mesure de la force qui opère la translation du plan, change h chaque changement apporté à la hauteur de l'incliné.
Ici les deux leviers virtuels gk et t'A, sont entre eux : : 102 : 100, et leur puissance est en rapport inverse de ces nombres.
Conséquemment, le plan bf est mené par une force un peu supérieure.
Cette supériorité est assez faible, comme on voit; aussi,' pour une plus grande simplicité dans la démonstration que nous allons donner, admettons un instant l'égalité des deux forces, et cherchons à connaître la valeur des résistances que nous aurons à vaincre.
Considérant les deux plans bd et bf, et divisant les bases par les hauteurs, on aura :
i '"' âô = ^••^-
Ce qui signifie que, lorsqu'une même force opère la translation des plans, si l'un d'eux, 6rf, surmonte, par exemple, une résistance de 300 grammes, l'autre, bf, ne pourra vaincre qu'une résistance de 21 5 grammes; soit légèrement plus des deux tiers.
624. Nous avons supposé égales les deux forces qui mènent les plans, et nous savons que bf est entraîné par une force un peu supérieure. Cette difiTérence, qui va environ à un cinquantième de la force totale, changerait de peu le résultat obtenu, et par conséquent les conclusions que nous allons en tirer, et que nous donnons en nombres ronds, comme tous les chiffres ci-dessus. Si nous voulions inscrire des chiffres tout à fait précis, il nous faudrait tenir compte d'une petite différence dans les vitesses de translation, etc. , etc. , ce qui entraînerait à de longs calculs sans utilité, puisqu'il nous suffit de constater :
D'abord, qu'en donnant à un plan de recul (en lui conservant la même étendue de surface frottante) une inclinaison telle que la dent soit repoussée d'une quantité double, il faut augmenter de près d'un tiers la force motrice ;
Et de remarquer ensuite :
Que l'angle dbii étant de 71° et l'angle fbn de 65% la différence des ouvertures n'est que de un peu plus du treizième de l'angle /*6n, tandis que la différence entre les deux forces qui opéreront la translation de bd et hf ira au moins aux cinq treizièmes de la force la plus faible ;
Pour que nous puissions conclure que :
625. La résistance du recul (pour une même longueur de surface frottante) augmente dans une progression inverse, mais beaucoup plus rapide que la progression décroissante de F angle d'indinaison du plan de recul.
C'est tout ce que nous avons besoin d^établir pour le moment.
Les plans inclinés produisant des reculs égaux.
626. Maintenant comparons les résistances que rencontreront (la roue recevant de Tun et de Tautre la même quantité de mouvement angulaire en arrière) deux plans inclinés rectilignês d'inégale longueur frottante.
Soit fg (figure 3, planche sianèmé) l'intervalle qui sépare les deux cercles concentriques /"M, ga ; intervalle qui mesure exactement la quantité du recul de la roue résultant du déplacement de a vers gr, des deux plans Mflf et Mn.
Les deux points de repos sont situés en n et en g.
Les deux points d'application de la force sont : en b pour le plan Mn, et en a pour le plan Mg.
PM est le rayon total de repos.
Par construction, en négligeant les nombres fractionnaires on a:
PM de 80 millimètres
Vb
de 70
id.
Pa'
de 67
id.
dg
de 36
id.
dM
de 2k
id.
en
de 19
id.
cM
de 17
id.
Opérant la division de la base dg par la hauteur rfM, et de la base en par la hauteur cM, nous aurons:
1^ = ^ = 1,50 dM 24
en 19 ...
— = — = 1,11 cM 17
Ce qui signifie que, mus par une même force dont les points d'appli cation seraient en a et en 6, les deux plans surmonteront des résis-
R]£SISTANC£ DES AEPOS REGTILIGNES. 369
tances, Tun, Mgr, par exemple, de 150 grammes, Tautre, Mn, de 111 grammes.
Mais les leviers virtuels Pa et P6 diffèrent entre eux, et en nombres ronds, de 1/22. Il s'ensuit que le plan Mgr surmontera une résistance de quelques grammes plus considérable que celle calculée.
L'angle gMd est de 56% l'angle tjMc de 50* ; différence d'inclinaison de ehviron 1/10, tandis que la différence des forces qui devront les mouvoir atteint près de 1/3.
627. Ici comme pour les reculs inégaux (623), la résistance du recul du petit plan augmente beaucoup plus rapidement que ne décroît l'angle d'inclinaison ; mais l'effort nécessaire pour surmonter la résistance semblerait devoir être atténué par deux circonstances que ne peut présenter l'exemple exposé à l'article 623.
Erf effet, nous avons à tenir compte :
1* De la réduction de la surface de frottement ; Mn étant à très-peu près la moitié de Mgr ;
2* De la réduction du mouvement angulaire du plan Mn; puisqu'il est enfermé dans l'angle MP^, lequel est exactement la moitié de l'angle MP/", limite du mouvement angulaire du plan Ug.
Il résulte de ces deux observations que la résistance calculée géométriquement du plan Mn excède la résistance réelle :
1** D'environ la moitié de la puissance qui s'est convertie en frottement cur jM ;
2* D'environ la moitié de la puissance absorbée par une action de double durée ou à peu près.
Avons-nous besoin de démontrer que la quantité de mouvement d'un modérateur oscillant, pendule ou balancier annulaire, en thèse générale, diminuera d'autant moins rapidement que ce modérateur restera moins de temps en prise avec l'obstacle d'une pression qui agit sur son axe, et qu'il exercera son action sur une surface de frolteiiicnt de plus en plus courte.
628. Résumons : — Une force motrice étant donnée , ainsi que l'angle du recul de la roue, une réduction de l'étendue frottante du plan, dans les conditions qui viennent d'être indiquées, produit :
Une augmentation^
Dans la résistance qu'oppose le plan;
Dans la longueur du levier virtuel qui meut ce plan.
Deux causes de pertes de force;
Et une diminution,
370 THÉORIE DES éCUAPP£M£NTS LIBRES.
Dans rétendue de la surface frottée;
Dans la durée en temps de l'action.
Deux causes de conservation de la force acquise par le modérateur.
En combinant ces éléments, on peut arriver à donner un degré de stabilité à la pièce de repos proportionnellement plus élevé que l'augmentation de la force.
La simple vue des lignes gy^ nz (figure 3), qui indiquent les directiens des pressions, suffit à le prouver ; mais, en somime, Tavantage serait peu considérable. L'effet de tirage est mieux assuré, il est vrai, avec l'incliné Mn qu'avec l'incliné Mgf, mais le déplacement de Mn exige un modérateur un peu plus puissant et qui par suite engendre des frottements d'une plus grande intensité, etc.
Ce n'est donc pas encore ici la solution du problème, mais nous allons y aiTiver.
Du tirage.
629. Au préalable, rendons-nous un compte exact du motif qui a fait disposer les plans de repos de telle sorte qu'en se dégageant ils fassent reculer la roue.
En d'autres termes, quel est le but du tirage?
Simplement d'assurer la stabilité de la pièce, ancre ou détente, sur laquelle la roue d'échappement s'arrête après avoir donné une impulsion au balancier, et, tout en tenant cette pièce appuyée contre son plot d'arrêt, lui interdire tout déplacement hormis au moment de la levée.
S'il pouvait en être autrement, outre les attouchements vicieux qui seraient à craindre, la roue prendrait des points d'appui différents sur le bras de repos, et la résistance des dégagements en deviendrait plus variable.
La nécessité du recul admise, quelles conditions devra-t-il remplir?
Évidemment les deux suivantes :
Assurer la position du bras de repos;
Exiger pour le dégagement la moindre quantité de force possible.
Donc, SI plusieurs plans inclinés jouissent, et au même degré, de k première de ces deux propriétés, le choix devra s'arrêter sur le plan qui offrira la moindre surface de frottement, et qui exigera un moindre effort pour être dégagé.
