CHAPITRE IL

1100. Il est aisé maintenant, et avec le secours des données théoriques et pratiques précédemment développées, de trouver les justes proportions d'un engrenage et d'en tracer la figure.

Nous ne saurions trop engager, surtout les jeunes gens, à s'exercer au dessin correct des engrenages ; il est peu de moyens plus efficaces pour en bien faire comprendre et les fonctions et les principes.

Préalablement, il faut mesurerla dislance des centres des deux mobiles sur le calibre de la montre, etc., et choisir les nombres que l'on veut appliquer à la division de chaque denture, nombres qui doivent être en rapport avec la quantité de révolutions du pignon pour une révolution de la roue.

Supposons que Ton veuille huit tours de pignon pour un tour de roue, la roue doit avoir alors huit fois plus de dents que le pignon n'a d'ailes; — 48 denfs pour un pignon de 6 ailes; — 64 dents pour un pignon de 8; — 80 dents pour un pignon de 10, et ainsi de suite.

Les nombres choisis étant 6 et &8. et la distance des centres étant de i5 millimètres, on trace sur un papier à dessin, fort et bien tendu, une ligne droite AB {fig. 2, planche qtuilorzicmé)^ sur laquelle on marque les deux centres  et B, distants entre eux de 15 centimètres. (Le des* sin est alors amplifié par 10, il suffira d'en réduire les dimensions au 10"* pour obtenir les proportions vraies de l'engrenage. Il vaudrait mieux encore amplifier par 20, 30, etc.)

Ainsi qu'il a été enseigné art. 1049, on établit la proportion :

48+6 : 15 :: 48 : a?, ce qui est la même chose que 54 : 15 :: 48 : aj

i^^-?=:^=13,33 ou la valeur de x.

Le rayon primitif de la roue doit donc avoir de longueur, dans le cas qui nous occupe, 13 centimètres plus 33 centièmes de centimètre, et ce nombre étant retranché de 15 centimètres ou de la distance des centres, il reste pour le rayon primitif du pignon 1 centimètre plus 67 centièmes.

Avec une ouverture de compas légèrement plus grande que 13 c. 33 (10*9) soit 13 1/2 (13,50), et du centre A, on décrit l'arc de cercle caf; puis, du centre B, l'autre arc de cercle 6 a c, effleurant le premier à la ligne des centres.

Ces deux cercles sont les cercles primitifs de la roue et du pignon.

Le pignon ayant 6 ailes et nécessairement autant de vides, une aile et un vide adjacent doivent occuper sur le cercle primitif le sixième des 360** de la circonférence, c'est-à-dire 60 degrés; et, ainsi qu'on le verra en son lieu, le pignon de 6 devaijt avoir 2/3 de vide pour 1/3 de plein ^ulement, l'épaisseur de l'aile occupera 20% Comme cette aile doit être touchée 10*" avant la ligne des centres, on tire la ligne Ba, faisant un angle de lO"" avec la ligne des centres BA ; on tire la ligne Bn^ formant avec Ba un angle de 20^, c'eal-à-dire une épaisseur d'aile«

De chaque côté de cette aile, les deux angles &Ba, nBe, de 40'' charcun, donneront la largeur des vides; puis on trace les côtés des deux ailes H et L, etc.

L'excédant du pignon devant être un demi-cercle, du milieu des petits arcs du cercle primitif interceptés entre tes flancs des ailes on décrit les excéjdant3 ou arrondis.

La profondeur des vides ne peut pas encore être déterminée, parce qu'elle est subordonnée à la hauteur des ogives de la roue, quantité enpore inconnue.

Le point « sur l'aile M étant le premier point de contact, la ligne aA» menée de ce point au centre de la roue, tracera le flanc d'une dent.

Cette roue ayant 48 dents, une dent et le vide adjacent (a d) occuperont la 48"* partie de la circonférence, c'est-à-dire ^ ou 7* 1/2. Les arcs ca^ad^df^ étant tracés et embrassant T 1/2 chacun, on divise ces arcs par leurs milieux jo, r, s^ si l'on veut le vide égal au plein^ et avec une règle effleurant successivement les points c, p, a, r , d, *, /*, et en même temps que chacun de ces points celui du centre A, on trace les flancs des defats de la roue.

Il reste à garnir cette roue de ses excédants.

A part, et sur un carton (fig. 1, planche quinzième) on trace avec le rayon primitif de la roue l'arc AgCB. A l'extrémité du rayon Egr, on forme l'épicycloïde convenable gd (1104)-; puis on découpe ce carton suivant Egd et on l'applique sur la figure 2 {planche quatorzième) en faisant coïncider la ligne Eg du modèle avec la ligne pk de la figure 2, et l'arc AgCB du carton avec le cercle primitif de la roue ; on trace un côté de l'ogive, et il suflit de renverser le modèle pour former l'autre côté par la même méthode *.

. 1. Lo deétin éUnt svpposé ftit «yee toute l'exactitude possible , surtout dans U ne* sure des degrés, on peut utiliser les renseignements suivants et comme moyens de vérification.

Si la dent rd effleure 4^ sa pointe le flanc e tt la hauteur de l'excédant est la boB«ei

DESSINER DN ENGRBNA6B. 615

Du centre de la roue, on décrit le cercle poh.tillé qui passe par les pointes des ogives, X Z {fig. 2). Ce cercle, en déterminant la pénétration des dents vers le centre du pignon, sert à établir la profondeur des vides de ce pignon. Le cercle décrit du centre du pignon et passant par ^extrémité des ailes (P V K) sert k déterminer la profondeur des vides de la roue. On a compris qu'un suffisant jour de sûreté doit exiiter entre les fonds des vides et les extrémités des excédants.

L*engrenage est ainsi compléteoœnt dessiné, et si l'opération a été faite avec assez de soin, il suffit d'en relever les dimensions exactes (diamètres primitifs, diamètres vrais, épaisseur d'aile, hauteur des ogives, etc.) et de les réduire à l'aide du compas de proportion et du calcul, pour pouvoir établir sur les données du dessin un excellent engrenage (chap. VI).

ObMrf»tîoii8 diTenei.

1101' Le dessin s'exécute d'abord, et ainsi qu'on a fait pour les échappements, au crayon finement taillé, afin de permettre les rectifications. Il est bien entendu qu'on ne passe à t'encre de Chine, que les lignes qui doivent rester.

Au centre de la roue et du pignon, on a préalablement fixé à la colle à bouche une petite plaque de matière dure, de la nacre, par exemple, et sur laquelle le centre est pointé , afin d'éviter que ce centre soit élargi ou jeté de côté par la pointe du compas. On peut employer, ainsi que le fout les dessinateurs, des centres métalligues qui se fixent sur le papier par trois pointes très-fines •

La hauteur de l'excédant (chapitre lY) ou la ligne cedf (fig. 13, plan-che treizième) étant connue, et les flancs droits des dents étant tracés, ainsi que les milieux de ces dents, les dessinateurs ont l'habitude de remplacer l'épicycloïde par un arc de cercle embrassant deux dents des pignons au-dessous de 10, et trois dents aux pignons de 10 à 18»

Voici comment ils opèrent :

Les flancs droits étant tracés, ainsi que le milieu des dents cg^ e&, dû

maU 81 la pointe e est un peu éloignée du flanc de l'aile ( e,lea ogiTea sont trop courtes et le contact commence bien avant le point a.

Si la pointe de la dent r d anticipe sur le flanc de l'aile» c'est que les ogives sont trop longues.

En menant une perpendiculaire j t sur le flano f « et passant par le point oft la ligne des centres croise les cercles primitifs (lOSf), on peut considérer (pignons ao-desMiia de 10) la distance entre t et la pointe delà dent comme sensiblement égale à la distance entre le point a et la ligne des centres. Avec pignon de 10* la pointe de l'ogive tombe en ir et avec pigmon de IS, un peu au-dessus«

616 TRAITÉ DBS ENGRENAGES.

/y (fig. 13, planche treizième), on cherche avec quelle grandeur de rayon on peut décrire, d'un ceotre un peu au-dessous du cercle primitif (œ ou a?'), un arc de cercle passant par les points d'intersection, c, e, par exemple, et tombant très-légèrement en dehors des flancs n, r. On raccorde la courbe avec le flanc. La courbe ainsi obtenue ne diffère presque pas de l'épicycloïde (1149 j.

Dans les mobiles nombres, où l'on supprime une portion de l'excédant, il faut indiquer cette suppression (fig. 2, planche quinzième, KWï) , parce que, en permettant de faire les vides moins profonds, elle procure des ailes plus courtes et, par conséquent^ plus solides.

Le tracé d'un engrenage peut servir pour tous les engrenages, gi^ands ou petits, établis sur les mêmes nombres. Ainsi, si la distance des centres, au lieu d'être de 15 est de 30, il suffit de doubler les dimensions; et réciproquement, de les réduire de moitié si cette distance est de 7,5. •• etc. Ces diverses opérations se font avec assez de facilité, comme on le verra en son lieu.

1102. Nous venons de donner les règles générales qu'on peut suivre pour tracer le dessin d'un engrenage ; mais nous devons prévenir que cette opération devient plus facile encore, au moyen des renseignements, proportions données, etc., du chapitre IV.

Nous dirons ici, pour les horlogers, malheureusement encore trop nombreux, qui Begardent comme une chose inutile un tracé d'engrenage en grand, et qui se retranchent sous le prétexte de l'impossibilité de la réduction exacte des proportions et de l'application des principes à un engrenage de montre, que ceux qui raisonnent ainsi se trompent grandement. La réduction en question se fait avec facilité au moyen du calcul et de bons outils à graduer, etc. , dont on trouvera la description plus loin. Quant à l'application des principes en petit, elle exige de grands soins , mais ne présente pas de difiicultés, la pratique oflrant b, l'horloger des moyens suffisants pour satisfaire à toutes les exigences de l'horlogerie marine, et conséquemment de l'horlogerie civile, dont les besoins sont moindres.

àuti^ métliode povr trouTer les lonctiears proportionnelles des rayons

primitifs.

1103. La distance des centres étant connue, au lieu d'employer, pour trouver la longueur de chaque rayon primitif, une proportion, comme on a fait précédemment (1049, 1100), on peut diviser simplement celte distance des centres en autant de parties, pluswne, que le

TRACÉ DE l'ePICYCLOÏDE. 617

nombre du pignon est contenu de fois dans le nombre de la roue. Cette division faite, on prend une des parties.pour le rayon du pignon, et Ton compose le rayon de la roue de la réunion des parties restantes.

Reprenons l'exemple de l'article 1100.

Le nombre de la roue étant 48 et celui du pignon 6, ce dernier nombre est contenu 8 fois dans l'autre : c'est donc par 9 (8 + i) que la distance des centres (15 millimètres) doit être divisée. Multipliant 15 par 10, pour réduire en dixièmes, ce qui donne 150 dixièmes de millimètre (même chose que 15 millimètres), et divisant 150 par 9, on obtient pour quotient 1 millimètre et 67 centièmes, ou à très-peu près, ce qui est le rayon du pignon.

La différence du résultat de celte opération et du résultat de l'opéra* tion de l'art. 1100 n'est pas d*un demi-centième de millimètre, différence insignifiante, et qui pourrait encore être réduite en employant un plus grand nombre de chiffres décimaux, c'est-à-dire en réduisant les 15 millimètres en centièmes (1500/100°*'*).

Vracer nne épIcycloVde par des points.

1104. Soit ACB (fig. 1, planche quinzième) le cercle primitif de la roue, et D le cercle générateur. On tire la ligne EgO passajit par le premier point de contact et par le cenbre du cercle générateur. On divise au compas un arc, comme ^ G (un peu plus grand que la largeur d'une dent), en parties égales 1, 2, 3, &, etc. L'on tire par ces différents points 1, 2, etc., et du point E, centre de la roue, les lignes Im» 2n, etc.; puis du centre E on décrit l'arc de cercle OR passant par le centre du générateur. Chacun des points d'intersection de l'arc OR et des lignes 1, 2, 3, etc.^ devient le centre d'un nouveau générateur que l'on trace.

On prend au compas bien exactement la distance ^1, que du point 1 pour centre, on porte sur le générateur 1', sur lequel on marque un point. On pose la pointe du compas au point 2, et l'on porte deux ouvertures du compas sur le générateur 2^. On y marque un point. On pose la pointe du compas au point 3, et l'on porte trois longueurs sur le générateur 3', sur lequel on marque un point, et ainsi de suite.

La ligne courbe gd, qu'on fera passer par les différents points obtenus guccessivement, sera l'épicycloïde cherchée.

Remarques. L'ouverture du compas qui sert à diviser l'arc g G eu parties égales doit être aussi petite qu'il est possible, c'est-à-dire juste

asseE grande pour qu'on puisse opérer sans trop de difficulté. Le peu d'étendue de l'unité de division permet, et sai» erreur sensible, de considérer Je petit arc intercepté entre les pointes du compas comme une portion de ligne droite.

Le compas doit être léger et avoir ses deux pointes fines^ Il ne faut pas Teillever à chaque mesure* mais le faire tourner sur une de ses pointes tout en ayant la loupe àPoeiK

Tracer l^épleyeloYde à I» roulette.

nos* Le cercle A (fig* &, planche quinzième) est une portion du cercle primitif de la roue découpée en bois, et dont le contour doit ôlre parfaitement net. On forme sur le tour le disque en bois B de la grandeur du cercle générateur. Un ruban milice cd^ non susceptible d'allongement, se fixe par une extrémité à la roue, et par l'autre extrémité au cercle générateur. Une pointe o^ en laiton, dont l'angle mousse doit être à fleur du cercle B, est disposée de façon à déborder légèrement au revers de ce cercle, c'est-à-dire par-dessous.

L^appareil ainsi disposé se place sur un carton (préférablement celui au blanc de zinc sur lequel le laiton laisse une trace noii*e comme un cfayon)^ étendu sur un plan, sur lequel on assujettit fortement la portion de roue A, qui doit rester immobile. Puis on fait passer sur les tiges H et N (flg. â), représentant par-dessus les axes des deux roues, le cordon tendu ghyk l'effet d'empêcher les centres de s'écarter.

Le ruban étant tendu très-fortement et la pointe traçante o étant placée sur la ligne des centres (fig. 3), on fait tourner le cercle B vers la droite et en pressant légèrement sur le plan de ce cercle. La pointe a trace alors sur le papier une épicyclolde d'une suffisante netteté, quand l'opération a été préparée avec soin et qu'elle est conduite aVec intelli^ gence. On a sans doute compris que le ruban doit être aussi mince que possible, parce qu'en s' enroulant autour du cercle^ ce ruban ajoute sa propre épaisseur au diamètre de ce cercle.

Tracé de U cjciotde.

1106. La cycloïde se décrit par les mêmes procédés, sauf que le cercle A est remplacé par une règle droite»

PIGI^Ol^S» — GROSSEUA GOOHAIITE. 6l9

CHÂPitRE IIL

OIVBIM (it« l^A MEIVÉB^ IjA €HUTB> liBS MOBILES MOMBRftS.

4}r4M««iil» dnà ^ignoiis (mètliodé eiittlrftiit^).

IIOÏ. Sous le bénéfice des observations qui suivent, nous donnons le tableau des mesures pratiques. Elles garantissent des arrêts majeurs : c'est tout ce qu'on peut, avec quelque raison, espérer des our vriers, trop mal rétribués pour qu'on ait le droit de leur demander de faire plus et mieux; mais nous devons avertir ici les fabricants que les deux chapitres suivants leur fourniront amplement les moyens de trouver la vraie grosseur, c* est-à-dire celle qui procure le meilleur engrenage.

llOS. L*ouverture des becs du calibre doit embrasser, pour donner approximativement le diamètre d'un pignon :

De 16 ailes, six dents pleines^ o'est-ii-dire mesurées Bur leâ flUncs

extérieurs; De 15 — un peu moins de six dents pleines^ ou un peu pluâ de (iinq

dents et la pointe de U sixième ; De 1& — six dents sur les pointes; De 12 — cinq dents sur les pointes (ou /t dents ph et 1 pointé);

Four une roue de pendule^ cinq dents pleines I î)e 10 — quatre dents pleines; — et pour la pendule, quatre dents

carrées (avant Tarrondissage) ; De 9 — un peu moins de quatre dents pleines, ou trois dents pleines

et la pointe de la quatrième.

De 8 — quatre dents sur les pointes moins 1/4 de vide ;

Pour la pendule, quatre dents sur les pointes ; Dé •? — un peu moins de trois dents pleines ;

Pour la pendule, trois dents pleines, plus 1/4 de vids; De 6 — trois dents sur les pointes, ou légèrement plus; Pour la pendule, trois dents pleines.

llOO. Jurgensen, à la suite de ce tableau^ emprunté en grande partie de Berthoud, ajoute : « Quand les pignons mènent les roues, ils doivent avoir un diamètre un peu plus grand» » Cette redommandation incomplète ne sert qu'à induire journellement en erreur le trop grand nombre d'horlogers aui la orennent à la lettre» On verra au cha-

620 TRAITÉ DBS ENGRENAGES.

pitre VI en quoi la grosseur du pignon menant diiîère de celle du pignon mené.

1110. Tout en donnant ce tableau des grosseurs des pignons, Berthoud avait tellement conscience lui-même de TinsuflBsance de cette méthode qu'il ajoute : Qu'avant de tremper le pignon, il faut essayer Tengrenage sur le compas, afin de bien fixer la grosseur de ce pignon et de donner aux ailes la courbure la plus favorable ; ce qui ne signifie autre chose, sinon qu'il n'arrivait que par tâtonnement à fixer la grandeur du diamètre primitif.

ImperfceiloiiB des moyens employés ponr déiermlner la grossenr

des pilions.

1111. Dans la pratique ordinaire de l'horlogerie, comme on vient de le voir, on prend pour la mesure du diamètre total d'un pignon une ouverture de calibre-à-pignon, embrassant sur le contour de la roue autant de pleins et de vides réunis qu'en contient le tiers de ceux du pignon.

Ainsi , pour un pignon de 6, les six ailes et les six vides donnent 12, dont le tiers est ft. L'ouverture du calibre doit donc embrasser 2 vides et 2 pleins , quantité qui correspond exactement à la mesure usitée de trois dents sur ks pointes^ puisqu'alors sont compris entre les becs du calibre : deux vides , une dent pleine , plus deux demi-dents , ou au total deux dents et deux vides.

1112. Voici sur quelle base les créateurs de cette méthode l'ont appuyée :

« L'arc de cercle qui comprend un vide et un plein sur la circonférence primitive de la roue est égal à l'arc de cercle qui comprend un vide et un plein sur la circonférence primitive du pignon ; et comme tout diamètre est le tiers de* sa circonférence, si l'on mesure sur le contour de la roue une étendue égale au tiers du nombre des pleins et des vides du pignon, on aura le diamètre de ce dernier. »

1113. Cette méthode est inexacte. En effet :

1* Un diamètre n'est pas rigoureusement le tiers de sa circonférence ; 2* par la nature du moyen employé, on obtient non la longueur d'un arc, mais seulement la mesure de la corde qui joint ses deux extrémités ; d'ailleurs, en supposant les cordes égales, les arcs ne seraient pas égaux, puisque ceux du pignon sont plus cintrés que ceux de la roue; 8* le rapport entre les deux diamètres primitifs n'est pas le même que le rapport entre les deux diamètres totaux, et c'est tantôt sur le cercle