ÉCOULEHENT DE l'eAIT

En adaptant immédiateineiit cet ajutage au ritemoir, la dépense a été de i^iS, la dépense théoriqne étant i. En l'adaptant à rembouchure^ mais sans le tuyau intermédiaire , elle s'est élevée à 1^55. L'embouchure seule n'a?ait donné que 0^93 : de sorte que l'effet de l'ajutage N ajouté à Pembou* chure M a été d'en augmenter la dépense dans le rapport de 0^92 à 1,55 ou de 1 à I969.

Mesure de 52. Venturi avait eu' celui de 19" à 4^'' ou de 1 à 2,21.

force de Ainsi 9 dans les deux expériences qui ont fourni les termes ijuta^. ^^ ^^ dernier rapport, les vitesses de l'eau, au passage par la section CD {ûg, i5), ont été comme 1 a 2,21 ; et par conséquent les hauteurs dues comme 1 à 4^89, puisqu'elles suivent le rapport des carrés des vitesses.

Dans l'expérience qui a donné ]e terme 1 , celle où l'on n'emplojait que l'embouchure M, la vitesse réelle, qu'on a obtenue en divisant la dépense par la section , a été de y^SZQ ^ il lui correspond une hauteur génératrice de o™674. La hauteur correspondante à la vitesse , dans la seconde expérience , sera donc 3"296 (= 0,674x4^89) : d'où il suit, que la dépense jr a été égale à celle qu'on aurait eue, si an lieu d'ajouter l'ajutage N à l'embouchure M, on eût élevé l'eau dans le ré-* servoir, au-dessus du niveau qu'elle j avait durant l'écoulé-^ ment, de 2""62 (=3,29 — 0,67). Ainsi, l'effet accélcratif de la ^ntesse dû à Tajulage divergent est mesure par une colonne d'eau de 2"'62 : c'est plus du quart du poids de l'atmosphère. Voilà un effet bien considérable pour une force qui semblait bien petite; car, je le répète, je ne vois d'autre cause physique de l'augmentation dans la dépense produite par l'ajutage, que l'action de ses parois et l'attraction moléculaire.

Art. 3. De F écoulement sous de fort

petites charges.

53. Lorsque la charge sur le centre de l'orifice est très-petite comparativement à la hauteur (dimension verticale) decet orifice, la vitesse mojenne (les divers filets de la veine fluide, c'est-à-dire la

sous D£ FORT PETITES CHARGES. 65

vitesse qui étant multipliée par l'aire de l'orifice donne la dépense, n'est plus celle du filet central. Elle en diffère d'autant plus que la charge est plus petite : elle sera d'un centième environ pluo faible si la charge est égale à la hauteur, et d'un millième si elle est trois ( 5,2 ) fois plus grande.

Voyons ce que la théorie nous apprend à cet égard, et d'abord la loi que suit la vitesse des filets fluides à mesiu*e que le point d'où ils sortent est plus bas que le niveau du réservoir.

64. Soit un vase plein d'eau jusqu'en A : sur Vitesse d* sa fece AB , que nous supposerons verticale pour [^^^ plus de simplicité, imaginons, au-dessous les uns p. r des autres, une suite de petits trous, dont B sera le plus bas. Désignons par H la hauteur AB; la vitesse du filet sortant de B sera jXagH (8); et si l'on fait BC égal à cette quantité, il représentera cette vitesse. Pour tout autre point P, abaissé, au-dessous du niveau du réservoir, de AP ou a:, la ligne PM , qui représenterait la vitesse du fluide à sa sortie de ce point, serait yagx, et, en l'appelant^ on aurait j* = y 2 gx. Si par l'extrémité de toutes ces lignes PM , on fait passer une courbe, elles en seront les ordonnées , et les hauteurs AP ou X en seront lés abscisses ; et puisque l'on a j^^2gXj cette courbe sera une parabole ayant ^g pour paramètre. Ainsi la vitesse d'un filet fiuide sortant d'un réservoir en un point quelconque, est égale à l'ordonnée d'une parabole dont deux fois l'action de la gravité est le

64 ÉCOULEMENT DE l'eAU

paramètre, rabaissement de ce point ati-^Us-* sous du niveau du réservoir étant Vahscisse. ^éjmit. 55. Supposons maintenant qu'au lieu d'ouvrir une suite de petits trous sur la face AB, on j ait pratiqué, depuis le haut jusqu'en bas, xine échancrure rectangulaire dont / soit la laideur; et cherchons l'expression de la dépense.

Divisons cette ouverture, par la pensée, et à l'aide de lignes horizontales très-rapprochées les unes des autres, en une suite de petits rectangles. Le volume d'eau qui sortira de chacun d'eux en une seconde, ou sa dépense, sera évidenunent égal au volume d'un prisme qui aurait pour base le petit rectangle, et pour hauteur l'ordonnée correspondante. La somme de tous ces petits prismes , ou la dépense totale, sera tout aussi évidemment ^ale à un autre prisme , ayant pour base le segment parabolique ABCMA, et pour hauteur, ou épaisseur, la largeur de l'échancrure. Or, d'après .une propriété de la parabole, ce segment est les deux tiers du rectangle ABCK, dont la surface est AB X BC = H X [/zgH, Ainsi , la dépense par l'échancrure rectangulaire dont H est la hauteur et / la largeur, est

|/Hl/2^H.

56. L'on demande maintenant la dépense par un orifice rectangulaire ouvert sur la même paroi, mais de B en D seulement, et ayant toujours la largeur /. Nommons h la charge AD sur le bord supérieur de l'orifice; la dépense de

MUS D£ FORT PSnTES CHARGES. 65

récliaiicrure qa'on imaginerait de A en D serait également I Ihy^gh^ Or, il est évident que la dépense par l'orifice rectangulaire, dont BD est la hauteur , sera égale à là différence des dépenses par les deux échancrures , et qu'elle sera en con^ séquence

ï / |/ig (h [/h — h \/h).

Les premiers élémens da calcul intégral mènent d'une ma-^ hière extrémèmeiit simple à cette expression. Mais , je le répète^ ce Traité n'est point un ouyTage de mathématiques; et il m'a J>aru , d'après Sa nature, que les démonstrations synthétiques^ qui tiennent constamment sous les ^eux l'objet en qtlestion, y étaient à préféreré

57. Revenons à la vitesse moyenne, et d'abord Vitesse à celle qu'on a lorsque l'échancrure entière est "^^y**""^ ouverte.

Soit G le point d'où sortirait le filet animé de cette vitesse : si l'on fait AG = z , elle sera y 2gz : étant multipliée par Faire de l'échancrure /.H, elle doit donner la dépense. Mais nous avons vu que cette dépense était aussi exprimée par f /H J/H^ on aura donc H/ {/^gz = f /H J/iL D'où

et, par conséquent.

Ainsi, la vitesse moyenne sera les deux tiers de la, vitesse du filet inférieur. Effectivement GH qui représente la première , est , d'après la pro-

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66 ÉCOULEMENT DE l'eaV

priété de la parabole susmentionnée, les deux tiers de BC, qui représente la seconde.

Pour l'orifice rectangulaire, dont BD, vu H — h, est la hauteur, on aurait paiement, s! étant la hauteur à sa vitesse moyenne, (H — h)l]/agz^ = 1 ^K^(H^/H — /ij/Â), d'où

ijxemple. On a un bassin prismatique au bas duquel est un orifice rectangulaire de o°*25 de base sur o™i2 de hauteur; et, durant l'écoulement, la surface fluide est constamment à o"22 du bord inférieur de Torifice.

On a donc H = o"22 ; h = o™22 — 0,12 = o™io ; ainsi

22 V 0,22 — 0,10 Vo,lo m

0^22 — 0^10 Par conséquent ^ la iritesse moyenne sera |/^a^Xo,i58&

La char^ 68. Je place ici une obsenration qui convient meMur^Je P^^^ particulièrement aux cas des petites charges. en plein Pendant l'écoulement par un orifice, la surface ^**^^"' du fluide dans le réservoir , à partir de certaine points, se courbe et ^infléchit vers la paroi sur laqxielle est percé l'orifice ; de sorte que la hauteur, ou distance verticale de cette surface, audessus d'une partie quelconque de l'orifice, est plus grande en amont des points où l'inflexion a commencé que près et touchant la paroi. Cest la première de ces hauteurs ou charges qu'il faut toujours introduire dans les formules de l'écoulement; nous en verrons ailleurs (64) les motifs. Très-souvent on y introduit la distance entre l'orifice et la ligne où la surface fluide joint la

sous DE FORT PEHTES CHARGES^ 67

paroi ; il en résulte dans l'estimation des dépenses Une erreur en moins, qui, dans quelques cas, très -rares à la vérité, peut s'élever jusqu'à uri dixième de la dépense. De telles erreurs diminuent lorsque la charge augmente; et, d'après les expériences de MM. Poncelet et Lesbros, qui ont aussi approfondi cette question, elles seront insensibles lorsque les cliarges excéderont o"i5 ou o"20. Cependant, dans les très-gi'ands orifices, la dépression de la surface est encore sensible : je l'ai vue de 4 à 5 centimètres contre les portes d écluse du canal de Languedoc, lorsque les deux pertuis étaient ouverts.

59. Si l'orifice avait une figure autre que le Gi rectangle, l'expression de la vitesse moyenne, et ^**®"^ par suite de la dépense, serait plus compliquée: gubirci sa détermination deviendrait un problème d'ana^ lyse de peu d'utilité dans la pratique, où les grands orifices sont presque toujours rectangulaires. On peut voir, dans Y Architecture hydraulique de Bélidor et dans YHjdrodjrnamique de Bossut, la solution de quelques-uns de ces pro-^ blêmes : je me borne à consigner ici celle qui concerne le cercle.

Désignant par d le diamètre, par h la charge au-dessus du centre , on a , pour expression de la

dépense ;r'J^ l/^ (1-^ - 4^ -etc.)

Cette dépense est celle qui correspond à la vitesse du filet central diminuée dans le rapport indiqué par le factem* complexe.

ÉCOULEMENT DE LEÀU

Kffidens 60. Les dépenses dont nous venons de donner ^^^^' l'expression , sont les dépenses théoriques ; pour

les réduire aux dépenses réelle», il faut les mul-*

tiplier par des coefficiens déduits de l'expérience. Ils nous seront encore fournis par !IV£lVI. Pon-

celet et Lesbros : je les indique dans le tableau

suivant.

CHARGE

HAUTEUR DES OKIFICES.

•nr le centre.

o"ai.

o"lo.

ma.

o,oS

o,ao

61. Les nombres ci-dessus sont les Trais coefficieîïs de ï» contraction de la veine fluide, ou les coefficieus de réduction de la dépense théorique à la dépense réelle; car la théorie ne donne d'autre formule générale de Fécoulement par les orifices que f l\/jg {U\/H —h \/li\ Celle qu'on a établie (i5) , S \/if^h QÙh — \ (H -h ^) , ne convient qu'aux cas particuliers 9 très-fréquens à la vérité, où h est trois ou quatre fois plus grand que H — A. Dans les autres, elle est erronée; et les coefficiens qui lui sont adaptés, et qu'elle a servi à déterminer, le sont aussi: ce sont ceux qui, au tableau du n.° 26, se trouvent au-dessus des lignes transversales qui j divisent les colonnes. (Les coefficiens qui soûl au-dessous, quoique. dérer-

sors .DE FORT PETITES CHARGES. 69

tmiiës à Vaide de cette formule j se confondant ayec ceux qa*on aurait par la formule générale ^ sont exacts.) An reste ^ dans la première , wiS \/lïgh ^ Terreur du coefficient m est compensée par celle de la formule ; et les dépenses qu'elle donne sont sensiblement identiques ayec celles de l'autre ; et comme elle est d'ailleurs plus simple ^ on l'emploie habituellement pour tous les cas.

-62. On demande quelle serait la dépense d'un orifice rectangulaire de o™5o de large sur o^'iS de hauteur ^ et ayant une chai|[e de o™o5 seulement sur son bord supérieur.

On a H= o,o5 -h 0,1 5 = o"2o et / = o™3o. La chai]ge sur 2e centre est donc o°^i25 : le coefficient qui lui correspond, d'après le tableau ci -dessus y est à peu près O9603, terme moyen entre 0,593 et 0,61 4* Ainsi , la dépense sera ^ X o,6o5 X o,3o X 4>43 (0,20 1/0,20 — o,o5 |/o,o5) = o"'™"o4 18.

La formule ordinaire, ayec son coefficient 0,692, pris au tableau du n.** 26, eût donné 0,692 X o,3o X 0,1 5 X 4>43

€3. On a un orifice circulaire et vertical de un pouce de diamètre ayec une charge de huit lignes au-dessus du centre. On demande quelle sera sa dépense.

Ici d =z 0^02707, h = o"oi8o5; de sorte que l'expression du n." 5q devient o,ooo3425 (1 — -— — - ) =

o""^ooo3359.

C'est la dépense théorique ; et pour avoir la dépense réelle, il faut la multiplier par le coefficient indiqué au tableau, du n." 60. On y trouve 0,667 pour un orifice de o™2o de diamètre, sous une charge de o"o2 (ou de o"oi8)5 sous celte même charge, on y a encore 0,644? pour un orifice de o™o3 : d'où Ton conclura o,65o pour l'orifice de o™o2707. Laj dépense effective sera donc o,65xo,ooo3359 = o™™'"ooo2i83.

L'expérience avait donné 0,0002287 à Mariotte, 610,0002076 à Bossul (avec une ligne de charge mesurée directement audessus du sommet de l'orifice) : le résultat du calcul serait ainsi un terme moyen entre les résultats de l'expérience.

1a dépense que nous venons de déterminer, celle qu'on a obtenue par un orifice d'un pouce de diamètre^ sous la charge

yjQ ÉCOULEMENT DE l'eAU

d'une ligne prise immédiatement au-desins du sommet de cet orifice est le pouce àteau des fontainiersy mesure dont il sera ultérieurement question (171). Mariotte^ dans le trayail qu'il a fait 9 il y a plus de i5o ans, pour en fixer la valeur, remarqua que pour avoir une hauteur d'eau d'une ligne immédia-» tement au-dessus de l'orifice , il en fallait deux en plein réser* voir, et par conséquent huit sur le centre (i). Ainsi le phéno^ inéne de l'inflexion de la surface fluide vers l'orifice et son influence sur la dépense lui étaient bien connus.

Art. 4t De F écoulement par les déi^ersoirSn

Natore de 64* Si , à la partie supérieure d'une des parois coulement. ^u^ hassiu , OU pratique une ëchancrure rectangulaire, dont la base soit horizontale, l'eau du bassin, qu'on suppose toujours entretenu constamment plein, sortira, en déversant, sous forme de nappe, par-dessus cette base ou seuil: de là le nom de déversoir donné à une telle ouverture. Fiç. 17. La surface fluide, avant de l'atteindre, à partir d'un point C peu éloigné, s'incline suivant l'arc de parabole CD ; de sorte que sa hauteur immédiatement au-dessus du seuil n'est plus AB , mais seulement BD.

Conformément à la théorie ordinaire, on a d'abord admis que les molécules , qui décrivent la courbe CD, avaient, en arrivant en D, la même vitesse que si elles étaient librement tombées de AD; que les molécules placées au-dessous sortaient également avec une vitesse due à leur

distance verticale du point Aj et qu'en cons^

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(1) Traité du mcwemfnt des eaux» UL* partie, premier di$coart.