L'effort du choc sur une aube supposée Effet

P . p]ane est (209) - (V sini — v siny ) siny, en dési-

gnant par i l'angle que la direction de la veine fluide fait avec la palette, et par j l'angle que ce même plan fait avec l'horizon. De sorte que, si l'on nomme n le coefficient de correction à déduire de l'expérience, on a

E = n - 1; siny ( V sim — v siny ).

Pour le maximum d'effet, on trouve, par la

méthode ordinaire, / = 90° et 1; = 7 -: — ^., et par

conséquent E = ^ nPAi , expression pareille à celle qu'on a eue pour les roues verticales (355).

Une expérience faite par M. Tardy aurait donné n == 0,70, et par suite E == 0,36 PH. Je crois à un tel résultat; car les roues dont il est question sont les plus avantageuses de toutes

5l6 HOUES HORI20NTALE8.

celles qui sont mues par le choc de Teau : on est ici dans le cas du choc d'une veine isolée 5 là trèsgrande partie des filets fluides arrivent sur les aubes , et ils y arriveraient tous si les roues étaient plus hautes; ils vies choquent avec une vitesse due à la chute H presque entière, et la concavité qui les reçoit fait l'office des rebords de Morosi. Cependant je ne crois pas que généralement ou puisse admettre au-delà de

E = iPH.

Presque tous les moulins des Pyrénées et des départemens adjacens; situés sur de petits cours d'eau ^ avec une chute de 3™ et plus, sont mis en jeu par de telles roues : ils portent^ dans ce pajs^ le nom de moulins à canelU ou à trompe (buse). A l'exception de ceux qui sont très-petits , ils dépensent par roue ou meule environ im cinquième de mètre cube d'eau par seconde; ce qui^ avec une chute de 5™^ équivaut à une force de huit chevaux-vapeur : elle met la meule à même de faire de 76*'^ 90 de belle farine par heure. On a des moulins plus forts^ par exemple sur le canal de Languedoc; ils dépensent un quart de mètre cube d'eau ; ils ont une chute d'environ 4™^ et ils font de loo'^à 1 So*" de farine pour la boulangerie : moyennement c'est une force de huit chevaux-vapeur par hectolitre^ ou jS*' de blé moulu en une heure.

B. Roues mues par le poids de Veau.

!• Roues à augets.

278. Ce sont les plus puissantes des roues. De tous les moteurs hydrauliques, aucun ne réunit au même point la force et la simplicité, ou du moins Téconomie dans les frais d'établissement et d'entretien. Aussi sont -ils très -fréquemment

ROUES A AUGETS. 5lj

employés, et ils doivent l'être exclusivement pour toutes les chutes depuis 3° jusqu'à 12 et i3". Audelà de cette limite, très-souvent encore, ce qu'on aura de mieux à faire isiera d établir deux ou trois roues à augets , l'une au-dessous de l'autre.

L'importance du sujet va nous porter à le traiter avec quelque étendue.

a. Roues recevant l'eau au sommet.

279. Ces roues, appelées aussi roues en dessus. Partie» sont &ites ou en bois ou en fonte. L'état de nos P|;*""i*'^

d une roo

forets , malgré leur dépérissement, permettra long- à au^tj tems encore de se servir des premières, qui sont *" ^'*' presque toujours bien plus économiques.

Une telle roue consiste : i.** en un arbre tournant avec ses tourillons; 2.** en huit ou seize bras; 5.° en une couronne s avec son fond et ses augets.

280. L'arbre est formé d'une pièce de bon bois de chêne. Sa longueur dépend de la largeur de la roue 5 et on lui donné de o"6o à o°8o d'équarrissage. Ses deux extrémités sont arrondies et de forme légèrement conique , de manière à recevoir les gros cercles de fer destinés à consolider ces extrémités affaiblies par les entailles qu'on y a pratiquées pour loger les tourillons.

Ceux-ci sont en fonte, et ils roulent sur des coussinets de même matière, ou de bronze dans les machines bien soignées. Leur diamètre pour les grandes roues, qui pèsent 12000 à i5ooo\ est de o"20 à o^aô.

3l8 ROUES A AUGÊTS.

. D'après ime régie donnée par l'ingénieur anglais Tredgold^ en appelant to' le poids que doit supporter un tourillon , son diamètre devrait être de o"ooi3 l/^; la prudence doit le faire porter à o™ooa |/^. Le même ingénieur ne donne à la longueur du tourillon que les cinq sixièmes de son (Uamétre. Les tourillons font partie des maniyelles^ qu'on emploie très-souvent à transmettre le mouvement. Je remarquerai ^ au sujet de cette transmission , que , toutes les fois qu'une roue doit communiquer un mouvement d'oscillation à un balancier par exemple y ou un mouvement de va-et-vient à des tirans^ la manivelle , malgré l'irrégularité de vitesse à laquelle elle donne lieu, est encore le meilleur des moyens à employer ; il est préférable aux carnes et même aux roues excentriques, etc. : elle accompagne mieux les pièces à mouvoir^ et elle prévient ainsi mieux les chocs et les ballottemens^ grandes causes de la dégradation et de la ruine des machines.

281. Les bras ne doivent jamais traverser l'arbre, pour ne pas affaiblir cette pièce principale. Fig. 54. On les réunît par paires; et les deux paires, disposées en croix, laissent au milieu un carré qui embrasse l'arbre, et sur lequel on le fixe, à l'aide de coins de bois, que l'on cbasse avec force, et parmi lesquels on entremêle quelques petits coins de fer : aucun assemblage n'est plus solide ni plus convenable. Chacune de ces croix à quatre bras soutient une des deux joues de la couronne; il £aut ainsi huit bras principaux. On les renforce par des traverses, dans les roues exposées à de fortes secousses, comme celles qui mettent en jeu les marteaux des forges. Dans les grandes , le renfort s'effectue plus convenablement par huit bras auxiliaires placés et disposés comme on le voit dans la figure 64 (la couronne, proportion-

ROUES A AUGETS. SlQ

nénement aux bras , n'y devrait avoir que moitié de la largeur représentée).

Lorsque les bois , chênes ou sapins , sont sains et que des considérations particulières n'exigent pas que la roue ait xm grand poids , on peut se dispenser de donner aux bras d'aussi fortes dimensions qu'on le fait d'ordinaire. Dans la plus grande et la plus élégante de celles que j'aie vues (elle était de iS" de diamètre, et servait aux mines de Huelgoat en Bretagne), les bras n'avaient que o"i9 d'équarrissage auprès de l'arbre, et o"'i4 vers leur extrémité.

Dans les constructions modernes, au lieu d'assembler les bras de la manière que nous venons d'indiquer, et qui est représentée aux figures 5o et 54» on les dispose, comme autant de rayons, ainsi qu'on le voit sur les figures 61 et 63. Us sont maintenus , par leur extrémité opposée à la ' couronne , dans de grosses bagues en fonte , qu'on a pr^ablement fixées siu* l'arbre tournant à Taide de coii^.

:282. La couronne est formée par deux joues ou plateaux annulaires, composés de madriers de o"o6 à o^oS d'épaisseur, taillés et assemblés comme les jantes d'un cercle de roue de voiture. On les double, sur la face extérieure, avec des planches ayant moitié de leur épaisseur : quelquefois cette doublure ne couvre que les joints des jantes , et la partie de la couronne qui reçoit les extrémités des bras. Autrefois on donnait aux joues 6^J^o et même o'^So de large : puis, on s'est

réduit à o°525 (un pied); et dans les belles roues anglaises on n'a que de*o"26 k o^2j. On peut adopter o°5o pour les roues de toute grandeur, même pour celles qui ont à recevoir un grand volume deau et à se mouvoir avec une grande vitesse : dans ce cas , on augmente la largeur de la roue, c'est-à-dire la distance d*une joue à lautrej nous verrons bientôt (286) d'après quelles considérations on la détermine.

Lorsqu'elle est fixée , et que les deux plateaux annulaires ont été placés en conséquence, on cloue contre leur trancbe intérieure, celle qui est vers l'arbre, des planches transversales de o"o3 à o"o4 d'épaisseur, et qui vont d'un plateau à l'autre : on les joint aussi bien que possible et comme les douves d'un tonneau ; le cylindre que présente leur ensemble est \e fond de la couronne.

Entre les deux plateaux, et dans des mortaises entaillées à cet effet siu' leur face intérieure, on place les deux planches ou palettes qui, avec le fond, constituent un auget. Comme c'est ici la partie essentielle de la roue , sous le rapport de l'effet dynamique qu'elle aura à produire, je m'arrête sur sa forme, c'est-à-dire sm' la position à donner aux palettes.

Trace 283. J'indique d'abord le tracé que l'expérience

lesaugeis. ^ fait reconnaître comme réunissant le plus d'avantages avec le plus de simplicité dans le pays où la construction des roues à augets a été le mieux soignée et raisonnée.

ROUES A AUGETS. Sa 1

La liauteur, ou le diamètre de la roue étant une fois fixé, avec sa moitié, comme rayon, on décrit la circonférence extérieure; l'arc AS en £iit partie : ensuite, avec un rayon moindre de Afi, largeur de la couronne, on trace la circonférence intérieure BQ; AB, que nous avons fixé généralement à o™3o, est la profondeur des augets. Ejifin, du centre commun, avec un rayon qui aboutit en C, CB étant le tiers de AB, on décrit la troisième circonférence CDE : le centre de gravité de l'eau contenue dans les augets se trouvant habituellement sur elle, ou tout près d'elle, son rayon sera le rayon dynamique de la roue. La distance d'un auget à l'autre, mesurée sur cette dernière circonférence, est moyennement de o™32 ; mais comme la roue se construit par quarts, et que dans chacun on met un nombre entier d'augets, cette distance éprouve une petite variation suivant la grandeur des roues. Le nombre des augets ne sera pas en conséquence exactement proportionnel au diamètre ; il sera tel qu'il est indiqué à la seconde colonne ci-contre.

Le diamètre désigné à la première est celui de la circonférence extérieure; c'est le diamètre de la roue proprement dit.

La circonférence du rayon dynamique étant divisée en autant de points équidistans C, D, E, etc. , qu'il doit y avoir d'augets, de chacun d'eux,

tact.

Kg. K

5a2 ROUES A ACGETS.

on tire vers le centre les lignes CB, DF, EG, etc. : elles fixent la position des petites palettes. Celle des grandes, AÏD, HE, etc., se détermine par la considération suivante : il faut que l'angle HEG > compris entre les deux palettes du même auget, soit ouvert le moins possible, afin que lauget retienne son eau plus long-tems ; mais , en même tems , il faut qull soit assez ouvert , pour que l'espace D6 ne se trouve pas étranglé à tel point que l'eau n'arrive qu'avec difficulté sur la petite palette, et qu'il n'en rejaillisse une partie au de*hors avant de l'avoir atteinte. Il est en conséquence nécessaire que Hb soit notablement plus grand que l'épaisseur de la lame fluide qui tombe sur la roue : en élargissant, il est vrai, cette lame, ainsi que les augets, on peut diminuer cette épaisseur presque à volont^é ; malgré cela, il ne faut pas donner à D6 moins de o™i i à o^^ia. Pour qu'il en soit ainsi, on fait l'angle HEG de i lo** à 118", suivant que les roues ont de 4°* a 12°" de diamètre; de manière que l'inclinaison de la grande palette par rapport à la circonférence extérieure, c'est-a-dire à sa tangente au point de contact, soit d'environ 3 1° : elle ne doit pas être de plus de 55**. Dans ma pratique, j'obtiens ces avantages d'une bonne construction , et très-simplement , en portant l'extrémité de H de la grande palette à 5 ou 4 centimètres au-delà du point d, extrémité du rayon passant par le point F.

1284. Un autre tracé ^ fort en usage en France^ consiste à faire IK = ^ IP, et à ne porter le bord

de la grande palette qu'ei^ L, extrémité du pro^ lon^ment EL de la petite palette de l'auget antérieur. Quelquefois on brise la grande palette, ainsi qu'on le voit en NOP : Feau est alors retenue plus long-tems. Mais les ouvriers se prêtent difficilement à des constructions qui ne sont pas d'une exécution ou d'une réparation extrêmement faciles : par suite, dans plusieiuTS endroits, ils placent la petite palette perpendiculairement à la grande, uniquement parce que le joint à angle droit est le plus simple et le plus aisé à bien exécuter. Sans un tel obstacle, le mieux serait de courber la grande palette, ainsi que l'indique l'arc RS , dont l'extrémité S ne fait qu'un angle très -petit ou même nid avec la circonférence: dans cette métbode, qui est à recommander, les augets conservent de l'eau jusqu'au bas de leur révolution. Au reste, si les dernières dispositions que nous venons dindiquer sont plus favorables à la conservation de l'eau sur les roues, elles le sont un peu moins à son entrée dans les augets.

Très-souvent on perce la petite palette des augets de deux ou trois trous d'environ o°o4 de diamètre. Lorsque, durant le mouvement de la roue, un aiiget arrive sous le coursier qui y verse l'eau, l'air s'écbappant par ces ouvertures n'est pas , au moins en totalité , obligé de traverser la masse fluide, et d'y accroître les bouillonnemens et les rejaillissemens qui en diminuent l'effet. De plus, lorsqu'après avoir dépassé le bas de la roue,

un auget se relève, 1 air extérieur entrant par les trous, prévient le vide qui tend à s'y iaire, qui s'y ferait sll était exactement fermé , et par suite duquel l'auget emporterait avec lui une masse d'eau agissant en sens contraire du mouvement de la machine. C'est en outre par ces trous que se vident les augets, lorsqu'on arrête la roue. Mode de ^85. Relativement au mode de donner l'eau bmier Peiu Qjj^y^ roucs en dcssus , OU a deux cas à distinguer : celui OU le niveau du réservoir est a peu près constant, et celui où il présente d'assez grandes variations.

Dans le premier cas, à un décimètre environ en contre-bas du niveau, on établit le coursier, auquel on donne une largeur à peu près égale à celle de la roue. A son origine, il est évasé de manière à éviter la contraction ; et , à l'extrémité de révasement, on établit la vanne, qui sert à régler la quantité d'eau qu'on veut envoyer à la machine. Au-delà , le coursier se dirige en ligne droite, et avec une légère pente, vers la roue; il passe à deux ou trois centimètres seulement audessus de son sommet ; il se continue encore sur une longueur de o™6o environ, en se rétrécissant graduellement , de manière à ce que sa largeur , à Textrémité, soit d'un décimètre environ plus petite que celle des augets. La lame d'eau qu il mène, arrivée au bout, tombe librement dans le deuxième ou le troisième auget, à compter du sommet.

Si le niveau du réservoir est sujet à de fi'é-

quèntes hausses et baisses , on adapte au fond de ce rfôervoir un coursier fermé par le haut, et dont la face supérieure est inclinée, ainsi qu'on le voit à la figure 54* U se termine par une buse, sorte de tronc de pyramide , dont les faces font avec Taxe un angle de 6*" à 7°; et cet axe est incliné et dirigé vers la partie supérieure de la petite palette de l'auge t qui se trouve en face, de manière que les filets choquent le moins possible le revers des grandes palettes. La largeur de l'orifice doit être un peu plus petite que celle des augets, et sa hauteur ne doit pas dépasser o"i : presque toujours elle est bien moindre. Ces coursiers -buses, très -en usage aux forges de la Dordogne et du Lot , y portent le nom de becs de cane. ^

286. La largeur des augets, celle de la roue Largem entre ses deux joues, se détermine d'après le volume d'eau qu'elle doit recevoir et porter.

Soit Q le volume sortant du coursier en i", d la distance d'un auget à l'autre comptée sur la circonférence du rayon dynamique , et v la vitesse des points de cette circonférence ; il est évident que, dans une seconde, il passera, devant la bouche qui verse l'eau , un nombre d'augets égal

à ^, et par conséquent que chacun d'eux prendra un volume d'eau égal à Q divisé pai* j> ou

à Q -. Il faut que l'auget puisse contenir non-^ seulement cette quantité, mais encore une quaû-

de la nia

tité deux et même trois fois plus considérable; autrement l'eau se verserait beaucoup trop tôt Si / est la largeur d'un auget, S Faire de sa section transversale , ou plutôt l'aire de la section de la masse fluide qu'il contiendrait au moment où il vient de la recevoir du coursier, s'il était entièrement plein , S/ sera sa capacité , et il faudra que S/ = 3 — . Ainsi, / = -g— : telle sera la

largeur à donner, dans œuvre, à la roue. La quantité d'eau Q à introduire, dans cette expression, est celle que la roue doit dépenser pour produire son plus grand effet, et nous verrons par la suite (3o5) quelle est alors la valeur de Q. Force 287. La force d'un courant qui roule P d'eau

finpriiiHfe çj^ j // ç^ • tombe d'une hauteur H , est P . H

• b roue , • .

(233). Si, dans sa chute sur une machine, il y exerçait toute l'action motrice dont il est capable, il lui imprimerait cette même force : mais il n'en est presque jamais ainsi, et la force réellement imprimée est moindre que P. H (234). Dans une roue à augets , tout le fluide du courant agit sur elle, depuis le point où il la joint jusqu'à celui où il l'abandoi^ne (car on peut toujours admettre, et nous admettrons en effet qu'il la quitte instantanément) ; ainsi le facteur P ne subit pas de diminution. Elle sera donc éprouvée par l'autre facteur H , et par conséquent une partie de la chute totale sera comme perdue. De. sorte que, pour avoir la force imprimée effectivement, il n'y a qu'à déterminer les diverses

pertes de chute qui ont lieu depuis le niveau du résenroir jusqu'à la partie inférieure de la roue, et à les retrancher de H , dans l'expression P.H.

Soit une roue ERF recevant Teau d'un reser- Fig voir M. Prenons AB, distance verticale entre le niveau de M et l'extrémitë F du diamètre vertical, pour représenter la chute totale H. Divisons cette distance en trois parties : AC (= A), comprise entre la surface du réservoir et le point " où l'eaù frappe la roue : CD , égale à la hauteur Jg de Xarc chargé d'eau : et DB distance entre le point où l'eau est censée sortir des augets et le bas de la roue. Signalons et évaluons les pertes sur chacune de ces parties.

388. Il est d'abord manifeste qu'il ny en a Toi point sur la hauteur CD de l'arc chargé d'eau; ™f" le fluide F , agissant constamment et de tout son tenue poids sur la partie de la roue correspondante à ^**" cette hauteur, lui imprime P. CD de force.

Quoique celle assertion soil regardée comme évidenle, et qu'elle soit une conséquence immédiate de ce qui a été dit sur les moteurs et les effets, je vais cependant en doimer la démonstration directe.

En premier lieu, TefFort que fait, pour produire le mouvement de rotation , le poids du fluide porté par Tare chafgé d'eau, c'est-à-dire le poids du fluide contenu dans les augets, depuis le niveau du point C jusqu'au niveau du point D , est <%al à l'cfFort qui serait exercé par le poids d'un prisme d'eau GH, placé à l'extrémité R du rajon dynamique OR, dont GH = CD serait la hauteur, et qui aurait pour base la section de l'arc fluide (l'eau des augets étant supposée étendue uniformément sur cet arc). Pour le démontrer, il suHit de faire voir que les momens de ces deux efforts sont ^aux. Supposons à

cet effet que l'arc chargé d'eau soit divisé en une infinité de petits arcs élémentaires^ tels que mn; désignons par cr la section de Tare fluide ^ et par ^ le poids spécifique de Peau; 0-.mii.^ sera le poids du petit arc mn; puisqu'il agit verticalement y la distance entre la direction de son effort et le centre de rotation sera l'horizonlale rs : ainsi ^ on aura pour son moment ff.mn.^.rs; les triangles semblables^ mnt ^irOs, donnant mn.rs = Or.pç, on aura aussi ff,^,Or,pç. La somme de tous ces momens partiels ^ ou le moment de l'arc entier, sera donc le facteur commun (d'.^.Or)^ multiplié par la somme des petites hauteurs pq des arcs élémentaires : or, cette somme est évidemment fg ou CD ; ce moment sera par conséquent fl-.^.Or.CD. Celui du prisme GH est manifestement (r.(p.GH.OR. Et puisque GH = CD et Ort=OR, les deux momens seront égaux. C.Q.F.D.

En second lieu ^ feffort exercé en R ^ et dans le sens du mouvement, étant o*.^.CD, et la vitesse du point R étant v, la force imprimée sera o-.^.CD.y (sSj). Puisque Q'est le volume d'eau écoulé en i", et que durant ce tems ce volume doit passer par la section 0* avec la vitesse v, qui est aussi celle du fiuidc après qu'il a atteint la roue, on aura Qz^o'.v : on a de plus P = (pQ. Prenant les valeurs de a- et de ^ , dans CCS deux égalités, cl les substituant dans l'expression ci-des-

sus de la force imprimée, elle devient —. — .CD. v = P. CD,

ainsi que nous l'avions établi.

Pertes 289. Venons aux pertes de chute qui ont Heu

l^^^^^ au-dessus de Tare chargé d'eau, c'est-à-dire sur de Tare la hautcur AC.

irgë d'eau. ^Q ^^ ^^ ^^^ y^ hautcur due à la vitesse avec

laquelle le fluide arriverait à la roue, et avec laquelle il la choquerait, si elle n'avait éprouvé aucune diminution entre le réservoir et les augets : mais il n'en est pas ainsi, et lorsque le fluide rencontre la roue , la hauteur due à sa vitesse n'est plus que hi , quantité plus petite que h de (Ah,

ROUES A ÀUGETS. Sljg

puisque A, =^(i — ju) = A — fxh (242). La valeur de fx dépend ; 1 ,° de la perte de vitesse qui a toujours lieu à la suite de la contraction que la lame fluide subit à son passage par le pertuis du réservoir : 2.*^ de la résistance quelle peut éprouver contre les parois du coursier qui la conduit aux augets : 3.° de la dispersion des filets fluides, plusieurs allant frapper les bords et les parois de lauget, et perdant une portion de leur vitesse avant d'atteindre la petite palette ou l'eau qui la recouvre : 4*' de la direction oblique^vec laquelle la lame arrive sur cette palette; l'obliquité sera souvent de So*", et il en résultera alors une diminution de 0,06 dans la valeur de A, et par suite de la force du choc. Toutes ces causes réunies peuvent porter ju à 0,1, à 0,2 ou même à 0,3, suivant les circonstances locales, telles qu'une plus ou moins bonne disposition du vannage. On fixera sa valeur d'après ces circonstances ; d'ailleurs , ce ne sera jamais qu'une approximation; car, il y a impossibilité à une détermination rigoureuse. — La moindre valeur que puisse avoir h, dans une roue en dessus, est d'environ o™5o, et, par suite, la moindre valeur de ixh serait de o°*o5 : mais elle sera souvent trois et quatre fois plus grande , et quelquefois elle le sera sept et huit fois plus.

On a vu (256) que toutes les fois que l'eau agit, par le choc, siu* une roue, la hauteur A, , due à la vitesse réelle , subit encore deux diminutions. L'une A' (=o,o5i'ï;^), qui est la hauteur

§3o ROUES À AU6ETS.

due à la vîtesse de la roue, croit avec cette vitesse: comme celle-ci est habituellement de i" à ^"'Ôo ou 3", la perte de chute ira de o"o5 à o"46, très -rarement elle dépassera o"5o. L'autre perte A",ouo,o5i (V — t;)*, diminue au contraire lorsque la vitesse de la roue augmente , V ( = \/agh,), vitesse du fluide au moment où il atteint la roue et où il commence à agir sur elle, étant toujours plus grand ou au moins égal à a;. La somme de ces deux pertes sera la plus petite possible, oif ^a -f- (y — ^y sera un m//iimum, lorsque a? = 7V ; alors, elles seront égales entre elles, et chacune sera le quart de A,.

Nous avons donc de A en C, trois pertes de chute {xh, hl et h!\

En les désignant par Ka, ah, hd, sur la figure, on voit qu'il ne restera plus , de la chute AC , que dQ pour chute effective.

290. Ainsi , la vitesse imprimée à la roue par le fluide P , tombant de la hauteur A , ne sera

queP(/i — /xA— A'— A'').

D'après ce qui vient d'être dit, la somme des

deux pertes H et A" , étant au moins égale à la moitié de A,, la force imprimée sera habituellement plus petite que \ FA, ; et toujours plus petite que \Vh. La chute effective, même au maocimum d'effet dynamique, sera donc toujours plus petite que ^h. D'où l'on conclut que dans une roue hydraulique , plus de la moitié de la hauteur comprise entre le niveau du réservoir et le point où le fluide atteint la roue est perdue pour l'effet à produire.

A0UE8 A AUGETS. S3l

:2g]. La partie de la chute, au-dessous de ce même point, la hauteur de l'arc chargé d'eau, est au contraire utilisée dans son entier; il y a donc un avantage manifeste à augmenter celle-ci aux dépens de l'autre, c'est-à-dire qu'en établis-sant une roue à augets, pour qu'elle reçoive du courant moteur toute la force quil peut lui imprimer, il faut faire que la distance entre son sommet et le niçeau du réservoir soit aussi petite que possible. Il n'y aurait toutefois aucune utilité à la diminuer au point que le fluide atteignit la roue avec une vitesse moindre que celle des augets : il n'agirait sur eux qu'autant qu'en continuant à descendre il aurait pris une vitesse égale à la leur.

Au-dessous de l'arc chargé d'eau, la chute DB P«t« est entièrement perdue; la partie eB l'est par suite ^^^^ de la forme des augets, c'est-à-dire de l'inclinai- de Par son de leur grande palette; et la partie De l'est ^^"^^'^ par un effet de la vitesse de la roue ou plutôt de la force centrifuge qui en résulte.

292. Abstraction faite des effets de cette force, Perte di la surface de l'eau contenue dans les augets est ^^^*>" horizontale. A mesure que, par suite de la révolution de la roue, les augets descendent, cette surface approche graduellement du bord de la grande palette; un instant après qu'elle l'a atteint, et qu'elle a par conséquent pris la position hi, le versement de l'eau hors de Tauget commence; et il finit lorsque cette palette est arrivée à la position horizontale kl. L'arc FA qui mesure la dis-

S5a ROI» A AUGEn.

Unœ du bas de la roue au point où Teau oommeiioe à yerser, sera Yarc du versement au commencement ^ et FA sera Yarc du versement à la fin.

Ce dernier est égal à l'angle ukl que la grande palette fiiit avec la tangente à la circonfiàrence, angle qui est connu par suite des règles suivies dans le tracé des augets, et que nous désignerons par a. L'arc FA est èffX à FA+ hh, et AA est é^ à l'angle xhi que la grande palette fût avec la surface de Feau au commencement du versement , angle que nous appellerons z; ainsi FA=^a-4-2.

Quelle que soit la grandeur des deux arcs de versement, ainsi que la loi suivant laquelle diminue le volume deau versé à chaque instant par un même auget, depuis qu'il a commencé jusqu'à ce qu'il ait fini de verser, on peut toujours admettre un arc de versement mojen ; tel que la quantité d'action motrice due à Teau portée par la roue demeure la même, soit lorsque toute l'eau P serait conservée en entier par les augets jusqu'à l'extrémité de cet arc moyen, où elle serait versée tout à coup ; soit lorsque le versement s'effectue par degrés, depuis l'extrémité du premier jusqu'à celle du second. Habituellement la distance entre ces deux extrémités est peu considérable, et on peut , sans erreur sensible , prendre la moyenne arithmétique ; l'arc moyen sera alors a-^^z, om Fe\ le point e' étant à égale distance de h et k.

Si sur AB on prend e au niveau de é, Be sera la perte de chute cherchée. Or B^ est égal au

sinus yerse de l'arc moyen Fe', arc dont le demîdiamètre de la roue est le rayon : ainsi , D étant le diamètre, on aura

Be = ÎD(i— cos(a + Î2)l.

293. L'angle z que la surface fluide fait^ au commencement du versement y avec la grande palette y dépend du volume d'eau reçu par les augets , ainsi que de leur forme et de leurs dimensions ; forme et dimensions qui seront connues ou par les règles suivies dans la construction de la roue^ ou par les mesures que Ton en prendra directement. La détermination de cet angle étant une opération de pure géométrie^ je me borne à l'indiquer : l'examen de la figiu'e suffira d'ailleurs pour Fig. 5 en rendre raison.

Soit ABa ou ABGa' la coupe de la portion de l'auget contenant l'eau au moment où le versement commence^ et que l'on ait AB = *, BC = e, AC = y\ angle ACB = a'; BAC = C', ABC = y \ surface ABC = /. D'après ce qui a été dit (286), s étant l'aire de la section de la masse fluide contenue dans

l'auget, j=— .

On a deux cas à distinguer : celui où la surface fluide Aa est au-dessous de AC^ alors s > s; et celui où cette surface kd

est au-dessus^ alors s > s\ Dans le premier^ en faisant — = «

(c'est la liffne ah de la figure) , on a tang z = : ;

^ ® ^ '^ » A-t-f cot(i8o — >•)

dans le second^ z = f-+-û), et, en faisant = î (c'est

la ligne aie), on a, sans erreur sensible ^ tang 6) =

y — f' ung *'

. 294. Reste à déterminer la perte de chute pro- Perte di venant de la force centrifiiûe, perte souvent con- ^^*('î''ç siderahle , et qui cependant n avait point encore été prise en considération. Dans ces dernières aimées, M. Poncelet, portant son attention sur

cet objet, a pleinement suppléé ce qui manquait, et il a eu la bonté de me communiquer son travail. Je rappelle d'abord les principes.

Lorsqu'une molécule se meut d^un mouyement de rotation, avec une vitesse v/k Textrémité d'un rayon r, elle tend à s'éloigner du centre, dans la

direction du rayon , avec une vitesse — : si m est

sa masse, l'effort avec lequel elle tendra à s'éloi-

gner,ou sa Jbr ce centrifuge, sera — (Poisson,

Mécan., 5- 169) • tout comme mg est sa force de gravité ou son poids. Si w est la vitesse des molécules d'un corps placées à 1"^ de distance du centre de rotation , ce qui est la vitesse angu^ hure dû corps, celle de toute autre molécule placée à la distance r sera wr; et sa force centrifuge, à cause de 'y = wr, égalera wwV. Chaque molécule du fluide contenu dans les Kg. 57. augets d'une roue en mouvement est donc soumise à Faction de deux forces, sa gravité et sa force centrifuge. Soit e une de ces molécules j prenons verticalement ep pour représenter la première mg, et, sur la direction du rayon Ce, eq pour la seconde mw^r; la diagonale er du parallélogramme sera leur résultante ; et il en sera comme si la molécule n'était soumise qu'à la seule action de la force que er représente en intensité comme en direction. Si l'on prolonge er jusqti'à la verticale menée par le centre C de la roue , il la rencontrera en un point O , tel que

CO = "~4 puisque CO : Ce(=r) :: ep(=^ mg):pr

ROUES A ÀUGET8. 335

(=:i»iv'r). Or cette distance CO, ne dépendant nullement de la position des molécules, sera la même pour toutes , toutes les directions des forces coïncideront donc vers O , et ce point sera comme le centre d'action d'où elles sont dirigées.

La surface d'un fluide étant toujoiu^s perpendiculaire à la direction de la force qid agit sur ses molécules, celle de l'eau contenue dans les augets le sera donc aux lignes menées de O à ses divers points , et par conséquent la coupe de cette surface st sera toujours un arc de cercle ayant son centime en O.

Dans la révolution de la roue, l'extrémité s de cet arc s'approchera graduellement du bord de la grande palette, et elle l'atteindra lorsque l'auget sera parvenu dans la position ABI : alors où immédiatement après le versement commencera. Il finira lorsque l'auget sera descendu dans la position A'B'I', telle que l'arc limite du fluide soit passé sous la palette A'B'.

Telles sont les bases posées par M. Poncelet.

2g5. Dans la plupart des cas, dans ceux où Cas le diamètre de la roue dépasse 4" et où la vitesse à la périphérie n'excède pas 3°*, on peut regarder la sur&ce de l'eau dans les augets comme plane; et par suite elle sera perpendiculaire à une ligne menée du point O à son centre de figure.

Dans cette supposition , je détermine les deux arcs de versement AE et A'E. — Le premier , ou l'angle ACE, à qui il sert de mesure, est égal à GAF =î GAB + BAD + DAF = a + ;5 H-j, en

ordinal

appelant^ Fangle DAP ou son égal aOC, le poiut a étant le milieu de AD. Menons €ig perpendiculaire à aC, et nommons J langle q[ue fait la première de ces lignes avec la tangente AG (en les supposant prolongées), angle qui est égal à hCa : l'angle OaC, ou son égal goD = GAD — i: de plus, le triangle OaC donne sin aOC (= sinj) : aC ( = r') :: sin OflC( = à-i-z—S) : OC

r' est le demi - diamètre de la roue diminué de la moitié de la profondeur des augets. L'angle i sera généralement fort petit; il naura qu'une Êiible influence dans la valeur de jr, et à plus forte raison dans celle de l'arc de versemeAt; sans erreur sensible, on peut la négliger; mais, par compensation, on substituera à r' le rayon dynamique r qui est un peu plus petit, et alors

sinj- = — .sin(aH-2). — L'arc AE est égal à

l'angle a -f- y, en appelant y l'angle a'OE; et, d'une manière analogue à celle qui vient d'être

employée pour^, on trouvera sin^ := —.sin a.

Encore ici on peut admettre un arc de versement moyen; et, sans erreur pour l'application, prenant une moyenne arithmétique entre les deux arcs déterminés, on aura pour sa valeur

a -4- - z -+- a / H- TJ '

Son sinus-verse, étant égal à BD (fig. 54), sera la perte de chute provenant à la fois de la forme des augel^ et de la force centrifuge, en la nom-

mant h!'\ on aura

A'" = iD[i — cos(aH-^;5H-^j+,V)l-

Je montre par un exemple la manière de calculer celte perte de chute.

La roue a 1 1™57 de diamètre : elle porte quatre-vingt-douze augets^ ajant i^oSa de largeur, o"325 de profondeur, et les dimensions suivantes (fig. 56) ; AB = a = o™464 y AC = ^ = o™5i3; l'angle GAB, que AB fait avec la tangente AG à la circonférence, ou u = 3i° 3;', BAC = f= 9*» 8', ACB ±= a!= 53** 10' 5 la surface du triangle ABC =/= o^^oiSqj enfin la distance d'un auget à l'autre on d = o™3733.

Lors de l'observation qui a donné lieu au présent exemple, la roue recevait , en i", o"*"*™i5 d'eau (= Q) ; sa vitesse, à l'extrémité d'un rajon dj namique de 5™46^ (= ^) 9 était de a"5o

La section de Peau contenue dans un auget avant qu'il corn-

^ *. » ,» Qà 0,15X0,3733 „„

mencat a déverser, ou j = — = — = o 02071.

' Iv i,o8a X 2,5 '

Cette section étant plus grande que o^^oiSg = /, pour avoir rangle z (290) , on auia i = = — — = o 00702 ;

et par conséquent lang ta = r-; — .9 qui donn»

*^ ^ ^ o,5i3 — o,oo7.tang53°io"^

^ , . r2,5)» 8in (3i*'37'-4-9".56') ^,

Y et V , sm Y — — — — ^ donne y = 4 20 , et

, (2,5)* «in 3 1® 37' , I to T t r\9 y 1

sin y = donne y = 5° 3o . D après cela , a -H

j. ^ ^ i^ -^ iy= 4o« 33', et A'"= i 1 1,37 (1 — cos 4o'*33') == i"366-

Décomposons cette double perte. Celle qui provient de la forme desaugcts^ ouB^ = jD[i — cos (<ï-+- \z)'\ = ^.11,37 (1 -- cos 36**35') = i"i2o. Il reste donc pour «D, ou pour la perte due à la force centrifuge, o'"246. Celte force a augmenté la perte de chute, au-dessous de l'arc chargé d'eau, dans le rapport de 100 à 122.

2^. C'est d'une telle manière qu^il faudra calculer cette

ROUES A AUCETS.

perte f lorsqu*on Toudra détrrmincr l'effet dynamique 'd'4uie roue. Cependant^ lorsqu'il s'agira d'une roue à établir, et que Ton voudra avoir par aptTçu la perle d'cfTet résultant du versement de Teau, on pourra avoir recours au tableau suivant, où les valeurs de. h"' sont exprimées en fraction du diamètre.