PHÉNOMÈNES RÉGULIERS
710. Propriétés générales des couches concentriques, — La propagation de la lumière dans Tatmosphère n'est pas rectiligne à cause des variations continues de l'indice du gaz. La lumière dc> astres, en particulier, rencontre en pénétrant dans ralmosphrre des couches de densité croissante et se rapproche progressivemenl de la normale. Si l'état de l'air est symétrique autour de la verticale qui passe par l'observateur, la trajectoire du rayon, qu'on désignait autrefois sous le nom de solaire, reste dans un même plan vertical.
La distance zénithale apparente z de l'astre est plus faible que lu distance véritable Z; la différence Z — >3 = A est, à proprement parler, la réfraction atmosphérique.
La trajectoire du rayon cesse d'être plane quand les variations (le température et de pression sont très irrégulières; la réfraction de la lumière se fait alors en chaque point dans un plan normal aux surfaces d'égal indice. La connaissance empirique de la loi de variation des indices permettrait de tracer la trajectoire par éléments, mais le phénomène général est très difficilement abordable par l'analyse.
Le cas même d'une constitution symélriquc ne pourrait éln* traité complètement que si l'on connaissait la loi suivant laquelle varie l'indice de réfraction de l'air jusqu'aux limites supérieures de l'atmosphère; toutefois un calcul approché indique au moins la forme de l'expression qui relie les deux distances zénithales Z et Zj et il ne reste plus qu'à déterminer par l'observation certains coefficients empiriques.
Soient AM(^^. 352) la trajectoire du rayon de lumière, « l'angle
d'incidence en M, sur la surface de séparation de deux couches dont les indices sont n et n-^-dn^ co et l^ = co 4- / les angles que font avec la verticale primitive la droite OM et la tangente DM.
De part et d'autre du point M, c'est-à-dire pour une valeur constante de l'angle co, le produit n sini ou nsin(^ — co) reste le même, ce qui donne
(j) l=COt(Ç — w)<i;r=:C0tzd[î.
Fig. 352.
La réfraction élémentaire est dX^ et la réfraction totale A, .o, entre deux points où les indices sont n^ et /?2, a pour expression
(^) ^1.1=—/ tangi— =/ langf— .
L'indice /la, au point le plus éloigné, est égal à l'unité lorsque l'objet observé est situé en dehors de l'atmosphère. En appelant m l'indice de l'air au point où se trouve l'observateur, la réfraction atmosphérique est donc
tangz
,dn
Désignant par R et R -f- A = p les rayons vecteurs OA et OM de la courbe en coordonnées polaires, on a évidemment
(4) tang* = ^- = i-— L...
La loi de réfraction permettrait encore facilement de montrer que le produit np sini est constant sur toute l'étendue de la trajecloire (*), mais il est plus intéressant d'arriver à cette propriété par d'autres considérations.
Dans l'hypothèse de l'émission (3), on admet qu'à la surface de séparation de deux milieux dont les indices sont n et n', la composante de la vitesse de la lumière parallèle à la surface ne change pas, tandis que le carré de la composante normale est augmenté delà quantité \'^ — V ou VJ(/i'=^ — /i*), en appelant V© la vitesse dans le vide. L'accroissement de force vive sérail produit par une force normale à la surface, dirigée vers le milieu plus réfringent, et qui n'agirait que dans une couche de passage d'épaisseur e très petite. La valeur moyenne / de cette force sur l'unité de masse serait
Lorsque l'indice de réfraction varie d'une manière continue, la force attractive en chaque point est normale aux surfaces de niveau et a pour expression, en désignant par dh la distance de deux surfaces infiniment voisines,
""•^ ^ ^' dh
On peut donc assimiler la propagation de la lumière au mouvement d'un mobile dont la vitesse serait proportionnelle à l'indice de réfraction et qui serait en chaque point soumis à une force normale aux surfaces d'égal indice, sans toutefois attacher aucune signification physique à celte attraction fictive des milieux plus réfringents sur les molécules lumineuses.
Si les couches sont concentriques, comme on l'a supposé pour
(«) BouGUER, Prix de l'Académie pour 1725, p. 39.
RÉFRACTIONS ATMOSPHERIQUES. 276
ratmosphère, la force est constamment dirigée Vers le centre et le mouvement obéit à la loi des aires. Le double de Taire décrite à partir du point M par le mobile fictif, pendant le temps dt^ est
p/iVo ûnidt^=z p^ dtf}.
Celte expression devant être proportionnelle au temps, le produit np sini est une quantité constante et l'on a
(5) npsintrr=/nR sine =: Y,
(6) \^^{dt = p^doi.
Il en résulte plusieurs remarques importantes.
Le produit p sin « représente la perpendiculaire OQ = gr abaissée du centre O sur la tangente en M et le lieu des points Q est la podaire d« la trajectoire.
L*angle de départ z étant donné, le rayon vecleur q de la podaire, correspondant au point M, est simplement en raison inverse de /i, c'est-à-dire de la vitesse du mobile de comparaison, quelle que soit la loi de variation des indices dans la couche traversée AM; de même, l'angle i est défini par les quantités n et p ou h.
Si D est l'intersection des tangentes à l'origine et au point M, l'angle i est le même que si le milieu était remplacé par deux couches homogènes, l'une d'indice m de A en D et l'autre d'indice n de D en M, auquel cas la réfraction serait unique.
Pour la limite de l'atmosphère, où n = i , le rayon vecteur de la podaire atteint sa valeur maximum y, ou //iRsins.
Si l'on appelle H2 la hauteur optique de l'atmosphère, c'està-dire la hauteur comptée jusqu'au point où la réfraction peut être ensuite négligée, l'angle i^ d'incidence correspondant est
(Rh- H,)sin/,= Y.
Toutefois la valeur de l'angle i donnée par l'équation (5) ne suffit pas encore pour déterminer la réfraction Ç — ;: de A en M, car la distance zénithale Ç est égale à i-j-o) et l'angle co dépend de la loi de variation des indices. On a d'ailleurs
7 R sinj (7 ) ^ang' =
lyS CHAPITRE XVII.
On remplacera tang£ par cette expression dans les équations (3) et (4), qui déterminent la réfraction totale et la trajectoire du rajon, mais il reste à trouver une relation entre n et h.
711. Cas particuliers. — Nous en ferons d'abord quelques applications à des hypothèses particulières.
i*' Supposons, par exemple, que la variation de n^ (ce qui équivaut à celle de Tindice pour les gaz) soit proportionnelle à la hauteur; la force / est alors constante et
Le rayon vecteur varie comme l'espace parcouru par un mobile animé d'un mouvement uniformément varié.
On a ainsi, en tenant compte des conditions initiales,
p=i R4- Vo/wcos-s./ — -t'.
Celle expression pouvant se mettre sous la forme la loi des aires (6) donne
La constante (0| est déterminée par la condition que Ton ait (il = o pour ^ = o et p = R, ce qui donne
VoY fi / 2a \Qmcosz . a y/â/ — Vq /w cos 5 \
L'équation de la courbe en coordonnées polaires est donc logarithmique. L'angle (o, correspond au rayon vecteur maximum p«, qui a lieu pour x = o, c'est-à-dire
Vo/ncosc , VJm*cos*5 ti^- -p 9 A,=r— ^J p , ni:=msinz,
La seconde partie de la Irajecloire est ensuite symétrique à la
première; elle revient à la même distance R pour l'angle 2(1)4 et à l'époque ^t^,
2° Avec cette hypothèse sur la variation des indices, la trajectoire devient une parabole lorsque les surfaces de niveau sont planes et parallèles. Le problème est alors de même nature que celui du mouvement des projectiles dans le vide. Les valeurs de ^1, hi et /2| restent les mêmes et Tamplilude / de la courbe est
1 = /iVo/wsin5= —^ •
3® Supposons encore que l'on ait
( 8 ) n}z:z m^ — cp îT =z m^ — ©-+-©—•
La variation de l'indice reste sensiblement proportionnelle à la hauteur, mais la force / est alors en raison inverse du carre de la distance au centre de la Terre. Les trajectoires sont des coniques dont ce centre occupe un des foyers.
Désignant par 0 l'angle de la verticale primitive avec le rayon vecteur qui passe par le sommet de la courbe, l'équation de la trajectoire est
^^' ^~ i4-ecos((o — 6)^
on en déduit
dp esin(a) — 6) ,
et, par les relations (4) et (7),
esin((o-e) v/^VEÏ!.
Éliminant l'angle (co — 6) entre (9) et (10), il en résulte
Cette valeur de n^ doit élre identique à (8), ce qui donne m* — © R« ©* (p*
On remarquera, en parliculîer, que l'axe 2a de la courbe est constant pour toutes les trajectoires, puisqu'il est indépendant de l'angle de départ z.
Lorsque l'indice décroît à partir du sol, le facteur (p est positif; la courbe est alors une ellipse ou une hyperbole, suivant que Ton a ©^m^. Quand l'indice est croissant, le facteur cp est négatif et les trajectoires sont des hyperboles.
Quant à l'azimut 6 de l'axe, il est déterminé par l'équation de la courbe, en y faisant w = o et p = R :
