I -h ecosô = ,3 = — ' r =2 — sm^Zy

R cpR* ^

2/?i*sin'.5 — CD cos6i=^ ^

V^©*-+- ^m*{ni^ — çp) sin*.5

4® On voit aussi, par l'équation (5), que l'angle « est constant si rindice n est en raison inverse de p. Dans ce cas, la trajectoire est une spirale logarithmique

ap

Celte trajectoire devient une circonférence de cercle, que le rayon parcourt indéfiniment, lorsque la direction de départ est horizontale.

712. Réduction des formules. — La faible réfraction des gaz permet encore de simplifler les calculs.

On peut d'abord remplacer n par l'unité au dénominateur de l'équation (3), ce qui n'entraîne pas une erreur de j^^ sur la réfraction. D'autre part, les différences n — i étant très petites, on a aussi, avec toute l'exactitude que comporte l'observation,

\mj i4-2(w — i) ^ '

En posant

h R , Rdh , ^.dh

s = rr 7 = I — rr r , ds =

RTÂ' ^'="(RTÂr"^'""'^"R'

la variable auxiliaire s reste très petite, puisque l'épaisseur del'at-

mosphère optiquement efficpce, d*après les évaluations les plus élevées, ne dépasse pas loo''"» ou 120"^", c'est-à-dire -^ de rayon terrestre. L'équation (7) de tent alors

sine tangi =

y/[, 2(m ^ n)] (^i + ^J- sin'

(1 — s) s'inz

\/i — 2{m — n) — {\ — ,ç)-sin*5

A part des quantités du second ordre en 5 ou -, on peut écrire sine sine

(lY

h , Jcos^z-h2s — 2(m — n)

cos^e -h 2 ^ — 2 (m — n)

(1—5) sine i—s-\-m — n

I v/cos*e-t^25sin*e — 2(w — /O v^cot^e-i- 25 — 2(m — w)

Posant enfin

m — /i = ( //i — I ) M — [JL u,

la réfraction totale A se calculera par l'une des expressions A /*^ du r du

[A sine I / ~ h J^ V^cos-e -h25 — 2|xw

/ i/cos'e 4-2 -. — 2|x// «^ 0 V r

r^ (j — s) du jx^ r^ (j^s-^ij.u)du

J^ V^cos*e -h 2 5sin*e--2{A//. ^^^*^Jq \/col^z -^ 2s — 2fxw

L'une des valeurs précédentes de tang£ donnera l'équation différentielle de la trajectoire

, V , .dp . ds (12) ûfto = tang£ — i- = tangf .

713. Dépression de ^horizon, — Mesure des hauteurs. — Avant d'aller plus loin, nous examinerons la correction que l'on doit apporter aux observations de Thorizon.

La direction que l'on détermine en visant l'horizon de la mer ou d'une plaine très étendue sans reliefs exagérés est toujours située

au-dessous de celle qui serait déterminëe par un niveau ou un fil à plomb. Cette dépression de l'horizon dépend surtout de l'altitude de l'observateur, mais elle peut varier beaucoup avec les conditions atmosphériques.

L'observateur M étant à l'altitude h {Jig* 353), on appelle dé-

Fig. 353.

pression vraie celle qui est due seulement à la courbure du sol et qui correspondrait à la propagation recti ligne de la lumière ; elle est égale à l'angle co de la verticale du lieu avec celle du point Mo qui serait vu à l'horizon, ce qui donne sensiblement

lang'o) =

(Rh-A)« — R' R«

Si l'indice de l'air varie d'une manière continue de n à /Iq entre les points M et Mo, la trajectoire MP du rayon de lumière est curviligne. Appelant 8 la dépression observée, c'est-à-dire le complément de l'angle d'incidence au point M, on aura, en faisant m = /lo et 2 = 90® dans l'équation (7),

(i4) 8«=a)«-a(/io-/i).

Au degré d'approximation de ce calcul, l'erreur d'observation

RéPRAGTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 281

est nulle quand Tindice a la même valeur aux deux points extrêmes', quelles que soient ses variations dans l'intervalle.

L'horizon apparent est relevé et sa portée augmente, lorsque rindice diminue à mesure qu'on s'écarte du sot : ce sont les conditions habituelles d'une atmosphère en équilibre stable.

La portée de l'horizon diminue, au contraire, et la dépression apparente s'exagère, lorsque la température du sol ou de la mer est assez supérieure à celle de l'air pour que la différence /Iq — n soit négative; la trajectoire du rayon présente alors, au moins sur une partie du trajet, sa convexité vers le sol.

Les observations faites par Biot et Mathieu à Dunkerque(* ), en

visant au-dessus de la grève échauffée par le soleil, ont donné :

Observation de V horizon,

h. ô. 10. 3». w*. Ô* — (!)•• n — flp.

0,61 4,91 iï5i 24,01 'iyi% îï,73 9-2.IO-'

7)47 7,09 5,ao 50,26 '27,04 23,22 98

Les angles 0 et co étant comptés en minutes, les valeurs numériques s'obtiendront en multipliant les carrés de ces nombres par le carré d'une minute ou o, 8462 . 1 o"'. On voit que l'indice de réfraction de l'air croît d'abord avec la hauteur jusque vers 7", 47, puis diminue en restant supérieur à celui de la couche en contact avec le sol. Les températures suivent une marche inverse.

A mesure que la hauteur h augmente, la différence S — w diminue, car on peut écrire

2(/l — /lo) Ô U) =1 r •

ô 4-co

L'erreur AA = R(/i — /lo) commise sur le calcul de la hauteur par la dépression apparente S de l'horizon est proportionnelle à la différence des indices à la station et sur le sol.

Le relèvement de l'horizon a pour résultat de faire apparaître des objets situés au-dessous du plan tangent à la surface du globe et d'augmenter beaucoup la hauteur apparente des points visibles.

(*) Biot, Mémoires de V Académie des Sciences, t. X, p. i: 1809.

L'effet est surtout exagéré lorsque le sol ou la mer sont à une température beaucoup plus basse que ralmosphère. Les navires qui se trouvent au delà de l'horizon deviennent visibles et paraissent agrandis; des glaçons flottant au loin apparaissent comme des banquises, etc.

Biot cite, en particulier, une observation de Cook, du li décembre 1773, dans laquelle un îlot de glace à l'horizon devint invisible après une tourmente de neige, pour reparaître ensuite quand le refroidissement des couches supérieures eut cessé. La hauteur de l'horizon avait varié de Sa' d'une observation à l'autre.

Les mêmes difficultés existent en Géodésie pour la mesure des hauteurs par leur angle apparent au-dessus de l'horizon.

Si l'on vise un point M' (yî^. 353) à l'altitude A', sa hauteur apparente ^ devrait être

cosp R-h/«'

cos(P -hto)

tar

tang-

ou sens

iblement

lang

Pour tenir compte de la réfraction, on aura, en désignant par 0 et 8' les angles de la trajectoire avec l'horizon aux points M et M', et par n' l'indice de l'air au point observé,

/i(R -i- A) cos8 = /i'(R + h') cosS',

^ =(i -Jr n — n') -- — 1 -h /i — /i' — (5'— 5).

ces a M — 5 ^ '

On en déduit, d'une manière très approximative,

cosS' — ooso n — n' — {s' — s) n — n' — (5' — s)

cos8' 4- cos6 2 -h n — n' — (s' —s) 2

(16) 2 tang • tang ^1 n — n' — is' ^s)^ n — n =r

Lorsque les angles 3 et S' sont déterminés en même temps par deux observateurs, les conditions atmosphériques des deux stations permettent de calculer la différence des indices n — n' et.

par suite, la différence s' — s ou la différence des altitudes h' — k. L^équation (i5) donnera ensuite la valeur de p par la distance angulaire co des stations.

Quand il n'existe qu'un observateur, le problème change de nature. Il faut alors déterminer successivement les angles 8 et 8' dans les deux stations, auquel cas les conditions météorologiques peuvent avoir été modifiées dans l'intervalle, ou estimer l'état de l'atmosphère au point observé et admettre une loi de variation des indices qui permette de calculer la réfraction correspondante A'. Les angles 5 et 8' étant affectés du signe + ou — , suivant qu'ils sont observés au-dessus ou au-dessous de l'horizon, on obtient l'angle 8', dans la seconde méthode, par la relation

Ces considérations supposent toujours que les surfaces d'égal indice restent concentriques. On admet, en outre, d'une manière implicite, que les rayons ne sortent pas de la couche comprise entre les surfaces de niveau des deux stations.

Le phénomène est tout différent et beaucoup moins simple lorsque cette dernière condition n'est pas remplie : tel est le cas du mirage qui sera examiné plus loin.

714. Réfraction des astres. — La déviation qu'éprouvent dans l'atmosphère les rajons qui proviennent des astres pourrait être déterminée à l'aide d'hypothèses particulières sur la loi de variation des indices de l'air avec l'altitude, mais le calcul manque de base certaine et fournit seulement des formules dont les constantes sont déduites des observations directes.

I** L'hypothèse la plus simple consiste à supposer que les surfaces d'égal indice sont des plans parallèles à l'horizon de l'observateur. Dans ce cas, le produit nsini est une quantité constante sur toute la trajectoire; en excluant toujours les effets de mirage, la réfraction A,. a = 12 — i^ entre deux points sera donnée par l'une des expressions

l /iisin£\=:/i,sin(Ai., -+-i\),

( /tjSinis = ni sm(f, — A, 2).

L'observation d'un astre donnerait ainsi

(I) m sin>5 = sin(5 -f- A).

Comme le produit msin>z doit rester inférieur à Tunité, la plus grande distance zénithale apparente z© correspondrait à la condition m sin^o = i. Eh faisant m = i,ooo3, on aurait

^o = 88°35'48\ Ao=:l024'l2^

Il résulte de là que la formule (I) ne peut pas convenir, car on n'apercevrait pas les astres à Thorizon. L'observation montre d'ailleurs que la réfraction horizontale^ c'est-à-dire le relèvement d'un astre vu à l'horizon, ne dépasse guère 38' dans les conditions normales, c'est-à-dire à la température de zéro et sous la pression barométrique de 760°*™.

2** On s'approche davantage de la réalité en remplaçant l'atmosphère, avec Cassini (*), par une couche sphérique homogène don t rindice m = i + [Ji a partout la même valeur qu'au point d'observation. En appelant i l'angle d'incidence du rayon qui vient de l'étoile et r l'angle de réfraction correspondant, on a

sin iz^m sin r,

ou, sans erreur appréciable (69),

(18) A=: « — rrr {A tang/-.

D'autre part, si l'on désigne par H la hauteur de l'atmosphère, l'équation (5) donne

(R -hH) sint r=i'/?iRsin;ï, (R4-H)sin/' = RsiniJ.

Dans les conditions normales, la valeur de H serait de 7990™ ou environ -~^ du rayon terrestre R, lequel est de 6378''™. On peut donc, au moins tant que la distance zénithale n'est pas trop grande, remplacer r par z dans l'équation (18), qui devient

(II) A=z[jLtang5.

(») J.-D. Cassini, De solaribus hypothesibus et refractionibusy epistolœ très. Bonooias, 1666.

Cette expression représente, en effet, la réfraction atmosphérique avec une grande exactitude pour des distances zénithales inférieures à 3o®, quand on y considère le facteur a comme un coeflicient empirique, que Ton appelle souvent constante de réfraction et qui représenterait la réfraction relative à 45°» Les valeurs trouvées pour cette constante, dans les conditions normales, diffèrent très peu de 60^, 4 ou 0,000293, qui est précisément la valeur de m — i = [jl.

La formule (II) convient même jusqu^à 60^; elle est ensuite sensiblement inexacte, car elle conduit, pour la distance zénithale de 85°, à 11' 3o", au lieu de io'i6\

Il est manifeste, en effet, qu'on ne peut plus l'appliquer auprès de l'horizon et l'on doit alors tenir compte de l'épaisseur de l'atmosphère. En posant H := eR, on peut écrire, à des quantités près du second ordre en e,

sinr =1 (j — e) sin.5, cos'r rr cos*s 4-2 6 sin*^,

/TT\/ A (i — e)sin5 , . tangz

(II)' ^ = V- ,—,—- .-^ =t^(i-0 / =='

ycos*5 -h 2£Sin'-c y/i -i- 2 e tang*5

La réfraction horizontale serait alors

tandis que l'observation donne une valeur presque double 36' 5o". Remarquons aussi que l'équation (II)', développée en fonction des puissances croissantes de tang^, est de la forme

(A) Ar=M tang5(i — a tang*5-f- b tangos —...).

Toutes les hypothèses admises pour la variation des indices avec la hauteur conduisent à une formule analogue, dans laquelle M est la constante de réfraction ; elles ne diffèrent que par la manière dont les coefficients successifs a, 6, ... de la série s'expriment en fonction d'une seconde constante empirique.

3® Le rapport g j = 1 — s diminue avec l'indice de réfraction

n et reste toujours très voisin de l'unité, au moins jusqu'à la hauteur optique de l'atmosphère.

•286 CHAPITRK XVII.

On peut alors, et c'est rhypothèse de Bouguer, le considérer

comme une fonction du rapport — et développer cette fonction

suivant les puissances croissantes de la variable en se bornant au premier terme, qui serait

R fn\P

L'équation (7) donne alors

( — ) sin>3

tang£ :

En posant

j? = ( — ) sinz, \mj

, p — \ / n\P-* ' j f N dn

dx--- ■(— sinja/i=:(/? — i)x — y

Texpression (3) de la réfraction devient

\ r dx I r . 1«-«

A — : f -— : := arc sin j? ,

(;> - j) A = 5 - arc sin ( ^^1^ j,

(III) siiî5 = m/»-»sin[:; — (/? — i)A].

On obtient ainsi la réfraction au moyen d'une seule constante p à déduire des observations directes.

Simpson (*) est arrivé plus tard au même résultat, en introduisant dans Texpression finale deux constantes arbitraires M et N

(III)' M %\nz — sin {z — X A),

et cette formule représente les observations d'une manière très exacte jusqu'à la distance zénithale de 80®. Si on retend jusqu'à Thorizon, on en déduit

M = cosNa^), sin5cosNAQ= sin (5 — iN A).

(') Tu. SiMPSOX, Mathematical dissertations, London, 17^3.

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RÉFRACTIONS ATMOSPHERIQUES. "287

L'équalion (111/ donne aussi

( I -h M ) sin -5 =:: 2 sin 1 2 I cos —

(i — M)sin5 = 2 cos ( z J sin — >

\A i-M / NA\

tang — — rr^angl ^ '

ou, en appelant a et ^ deux constantes nouvelles,

tangaA m p lang(s — aA).

Comme l'angle aA est toujours très petit, on peut le substituer à sa tangente dans le premier membre et l'on obtient ainsi la formule deBradlej(*)

(llir A^^ang(^-aA),

laquelle ne diffère pas sensiblement de la formule (II) de Cassini pour les distances zénithales inférieures à 6p^.

4" Si Ton admet, avec Mayer (*), que l'indice varie suivant une progression arithmétique, en posant

j^ = ( /: -M ) ( m — /l ) zrr ( A' -f-I ) (X M ,

la première des équations (t i) donne

: sin5 /

\x du sin :; / y r— \

- --= — ^(^ycos'-3-h2A'(jL — cos5^,

j^ V^cos*c + 2/:{Aa

o If ein ^