IV) A
^ v/cos'c + 2/:{Aa ^'
2fxsin^ 2fitang2
s 4-v^cos^.s -h 2A:fx H-V'j -h 2A'[jL(i-h tang* s)
et il reste deux constantes arbitraires, [Ji et k.
On aurait encore une expression de même forme que la formule générale (A), en développant le second membre de l'équation (IV) suivant les puissances croissantes de tang^^.
(') Bradley, Astr. obs. at Greenwich from 1730 to 1762, t. I. Oxford, 1798. (•) J.-T. Mayer, De refractionibus asironomicis. Altorfii, 1781.
5** On arrivera au même résultat en admellant que la quantité 5, dans la seconde des équations (i i), peut être remplacée par une valeur moyenne <r, comprise entre o et i, car il en résulte
( Arr: sin5[v/cOS*^ •+- 29 —)/cOS'Z -h 2(j — fJi)]
(V) { afjLsin^
( v/cOS*^ 4- 2J-hy/cOS*5 4- 2(cr— fJi)
avec deux constantes arbitraires, a et a-.
6° Comme la quantité n — i est proportionnelle à la densité du gaz (entendue dans le sens de masse spécifique), il semble plus rationnel de choisir une hypothèse conforme à la loi de Laplace ( ' ) relative aux variations de pression dans Fatmosphère.
Soient/? et p la pression et la densité de Tair à Taltitude A, g la gravité correspondante. La variation de pression dp pour la variation de hauteur dh est
(19) , dp = —pgdh.
En désignant par l'indice o les valeurs relatives à la surface du sol et négligeant l'influence de la rotation de la Terre, on a
'«(hTâ)'-
On devrait, en réalité, tenir compte en chaque point de l'action de la couché d'air située plus bas, mais la masse totale de l'atmosphère n'est probablement pas g^opp^^ de celle de la Terre et les variations qui pourraient en résulter pour la gravité sont entièrement négligeables.
Si l'on pose
(20) />o = Po^oH,
la quantité H représente la hsiuleur réduite de l'atmosphère, c'està-dire celle d'une colonne de gaz de densité constante po qui ferait équilibre à la pression />o sous la gravité ^o-
Supposons d'abord que la température de Tair soit constante.
(') Laplace, Mécanique céleste, Liv. X.
RKFRAGTIONS ATMOSPHÉRIQUES. '289
En tenant compte de la relation
P Po ^oH Téquation (19) donne
(22) P = Poe "'=/>0^ UK-f-A,
Cette expression représente d'une manière très approximative la loi des pressions quand l'altitude n'est pas trop grande, mais on ne peut l'étendre jusqu'aux limites de l'atmosphère, car elle ne donnerait pas une pression nulle à une distance infinie, et la masse totale de l'atmosphère ainsi calculée serait très dilTérente de la masse réelle.
Si l'on pose
(23) p^Po/(5),
la fonction /(s) est égale à Tunité pour 5 = o et nulle pour 5=1. La masse totale de l'atmosphère est
En désignant par K la hauteur d'une couche homogène de masse égale, on peut écrire aussi
M = ^u[(R-hK)^-R3]po=4^R^Po^- La fonction /(s) doit donc satisfaire aux trois conditions
I S=X'aF-=X''<'"'"
La fonction <p(5) est aussi égale à l'unité pour 5=0, mais elle doit rester finie pour 5^1, si la masse de l'atmosphère est limitée. Le rapport /(j) des densités doit donc avoir (i — s)* en facteur, à moins qu'il ne devienne nul à partir d'une certaine valeur de s, M. — m. 19
La loi de Mariolle conduirait ainsi à une masse infinie pour Talmosphère^ mais le calcul devient alors inexact parce que les masses d^air devraient intervenir dans la variation de gravité.
L'une des formes les plus simples serait, en posant K = eR,
il en résulte
Comme le rapport s est sans doute très petit, le facteur q est très peu inférieur à l'unité.
La loi de La place serait alors remplacée par
