II -H II

Ces résultats ne sont qu'une première approximation, parce que la température diminue à mesure qu'on s'élève. En appelant T la température absolue, l'équation (21) doit être remplacée par

et l'équation différentielle est alors

p ~- HT '^''

Pour la mesure des hauteurs par le baromètre, Laplace intègre d'abord cette équation en supposant la température T constante, sauf à la remplacer dans la formule finale par la moyenne des températures extrêmes T et T©. Dans le cas actuel, l'intégration doit être étendue jusqu'aux limites de l'atmosphère, en admettant une loi particulière de décroissement.

Si chaque masse de gaz se meut librement, sans que sa température soit modifiée par rayonnement ou conductibilité, c'est-à-dire n'éprouve que des transformations adiabatiques, on a, en appelant k le rapport des chaleurs spécifiques à pression constante ou

à volume constanl,

L^équation (21) doit alors être remplacée par

^^ Po-p,T-\pJ

et l'équation (19) par

fp»y^ T, ft<^^ Rj

\p) ''^=-p«°"'«^(rTâF=-'P«h*'

\PoJ k H T„ lo

La pression, la température et la densité deviendraient nulles à la hauteur ht définie par la condition

*'~' R-hA,~A — I R*

En prenant A: = i , 4 1 et H = ^ — , îl en résulte

Ajzn R X 0,0043 = 27'^", 4 (').

Pour une température de o^ C, au niveau du sol, rabaissement de température serait

Â- — I h o,4i 273 , ^ . ,,^,=.,^3^^-jj = -^-.~g-A^oo,oi.A,

c'est-à-dire de r* pour 100".

Les observations semblent montrer que les variations de température avec Taltitude sont moins rapides et ne dépassent pas 1^ pour i5o™ ou 160™. Le refroidissement des masses d'air qui s'é-

(') Sir \V. Thomson, .}fath. and phys, Papers, t. III, p. 255.

lèvent dans ratinosphère est, en effet, ralenti par le rayonnement du sol et par la condensation de la vapeur d'eau. Cette dernière cause, signalée par Joule, paraît suffire à l'explication des observations, car elle conduirait, pour une masse d'air saturée, à un refroidissement de i® pour loa*" à 284" suivant que la température initiale varie de 0° à SS**.

La hauteur limite de l'atmosphère serait alors notablement supérieure à 28*"° et la masse totale reste bien définie dans les deux cas, puisque la pression et la température deviennent nulles.

Toutefois, s'il existe réellement une limite physique de l'atmosphère, elle paraît être beaucoup plus élevée que ne l'indiqueraient ces considérations, car on a observé des nuages lumineux jusqu'à des altitudes qui dépassent 80*''" (* ), et la suspension des particules solides ou liquides dans ces conditions suppose que la pression est encore notable.

D'autre part, les aurores polaires se produisent sans doute dans u n air très raréfié, mais où la pression n'est pas nulle. De Mairan ( - ) estime que les aurores vues en France à son époque étaient à de^ hauteurs de 100 à 3oo lieues. Les observations plus précises de Bravais et Lottin (') en Laponie donnèrent une hauteur comprise entre 100*° et 200"^™. Enfin Flœgel (*), en discutant les observations de la grande aurore du 20 octobre 1870, conclut que les sommets des rayons s'élèvent fréquemment à plus de joo*'™ et même dépassent ^So*"".

Les deux hypothèses d'une température constante ou d'une variation adiabatique, même en tenant compte de la vapeur d'eau, paraissent donc également improbables, au moins si l'on admet que les lois relatives aiix gaz et aux vapeurs conviennent jusqu'aux pressions et aux températures les plus faibles.

Remarquons enfin qu'on a négligé la rotation de la Terre, de sorte que les calculs ne s'appliqueraient qu'aux couches voisines du pôle. Pour les basses latitudes, la pression en chaque point se

(') 0. Jesse, Sitzungb, der A'. Preus. Ah. der Wiss. zu Berlin, Livr. \L, p. io3î; 1890, et Livr. XXVI, p. 467; 1891. (•) De Mairan, Histoire de l'Acad. des Se. pour 1733, p. 477. (') V'oyage de la Recherche. — Aurores boréales, p. 542. (*) Flœgel, Zeitschr. der Œsterr. Ges. fixr MeleoroL, Bd. VI; 1871.

Irouve diminuée el la hauteur réelle de l'atmosphère peut encore devenir beaucoup plus grande.

Si Ton représente par/(5) le rapport des densités à la hauteur A et au niveau du sol, et que Ton pose, comme on a fait déjà,

il en résulte

ix« =

zm — n —

, jj. — (n — I]

f{s)ds--

=: — du.

Les quantités ^ et i^ variant entre les mêmes limites o et i, la réfraction devient

(,6) ....:„. . -nÛdl

IX sin 2 / -

Jo V

/COS*^ — 2[H- 2 5H- 2[Lf(s)

Le problème est l'un des plus délicats que présentent T Analyse et la Physique. Nous renverrons à une Note de Mathieu (* ) sur la succession des travaux relatifs à cette question, à la publication plus récente de M. Bruhns (2) et surtout au Mémoire important dans lequel M. Radau (') a discuté les différentes hypothèses proposées pour la variation des densités, en perfectionnant les méthodes de calcul.

Nous ajouterons seulement que toute expression exponentielle du rapport /(5) conduirait à une masse inadmissible pour l'atmosphère {*), quoiqu'elle puisse être propre à représenter la réfraction. Telle est, par exemple, la relation adoptée par Bessel {^)

il en est de même pour celle de Laplace, qui se réduit à

f{s) = [i-H b{s — {xw)]e-p(*-l^«> ou f{s) > e-K

(•) Delambre, Hist, de l'Astr. au xviii* siècle, p. 77/1; 1827.

(') Bruhns, Die astronomische Strahlenbrechung, Leipzig, 1861.

(») Radau, Ann. de VObs. de Paris, Mémoires, t. XVI, p. B.i; 1882, et t. XIX, p. G.i; 1889.

(*) E. Masgart, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CXIV, p. 93; 1892.

(») Bessel, Bode astr, Jahrh., 1816. — Astr. Nachr., 1828. — Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. XV, p. 181; 1842.

^" Une dernière remarque est relative à la masse d'air traversée par le rayon. Nous avons dit (704) que la longueur réduite de cette couche a pour valeur approchée

j^___ rp (H-\-h)dh R r__9 ds

~~J Po v/(K4-^)»— R*sin*5~PoJ (I — *)* v/i — (I — 5)«sin«^'

el la réfraction peut s'écrire (712)

- — = / idingidn- 1 ,

sin- J J v/t — 2(m — /i) — (I— 5)«sin«;;

La quantité m — n étant très petite, les deux radicaux ont sensiblement la même valeur; d'autre part, la densité p est proportionnelle à n — i, ou dn k dp. Les deux expressions sont dans un rapport constant si l'on a

^ ffp __ ds ^ P (i-^)''

Po 2L(l — 5)' J

Le dernier facteur diffère très peu de l'unité dans toute la partie efficace de l'atmosphère et l'on en déduit la relation connue

P = poe *.

On peut donc admettre, pour le calcul de l'absorption dans le voisinage de l'horizon, que la masse d'air traversée est proportionnelle à la réfraction et en raison inverse du sinus de la distance zénithale, ou du cosinus de la hauteur de l'astre.

715. Tables de réfraction, — Toutes les formules renferment des constantes qu'il faut emprunter à l'observation.

Les Tables ainsi calculées ne conviennent généralement que pour la pression normale et différentes températures; on indique d'ailleurs la méthode à employer pour en déduire les corrections relatives aux conditions météorologiques.

Si la Table aété calculée pour l'indice m = i + [x, qui correspond à la température centigrade ^ et à la pression /?, la valeur relative à des conditions différentes s'obtiendra sans erreur notable, pour les distances zénithales inférieures à 70°, en supposant

que rintégrale ne change pas dans Téqualion (26) et remplaçant le facteur a par |jl -f- d\t.^ c'est-à-dire en ajoutant à la réfraction A

de la Table la fraction — du nombre lui-même. Comme le pro-

j . U(l-h OLt)

duit ^-^ est une constante, on a

diL a dt dp

00, d'uiie manière très approchée, en appelant l' el p' les conditions de r observation,

La correction de température est beaucoup plus forte pour le voisinage de l'horizon.

On a quelquefois tenu compte aussi de Tétat hygrométrique, mais la différence des indices de l'air et de la vapeur d'eau est très faible et la fraction d'humidité reste toujours si petite que cette correction, d'ailleurs fort incertaine, peut être négligée.

Les différentes Tables utilisées en Astronomie sont très concordantes jusqu'à 60" ou même 80° du zénith, auquel cas les formules simples, obtenues par une théorie quelconque, sont encore applicables, mais les différences s'exagèrent ensuite pour les directions plus rapprochées de l'horizon. Nous reproduirons seulement, d'après M. Radau, quelques nombres déduits des théories qui ont le plus d'autorité, pour les conditions normales,, c'està-dire à o** et sous la pression de 760"", afin de donner une idée de l'importance du phénomène et des incertitudes qu'il laisse dans les observations.

Distance zénithale.

Gaillel l'oiS ^'^l'y 5 32*3 1017,7 19' s'fi aS' 18,6 35 6,0

g ,JI 0,3 4a,o 3i,2 16,2 21,4 26 18,2 38 57,0

Ivory 0,6 42,9 32,9 19,3 i5,6 46,3 36 40,6

Schmidt o,5 42,7 32,3 17,9 12,0 42,6 36 47,8

Gyidén o,3 42,1 3i,4 16,4 10,6 42,2 36 5o,2

Kowalski o,3 42,0 3i,3 16,4 9,1 29,0 34 55,6

Ivory(Kow.). o,3 42,0 3i,3 16,8 i5,7 54, i 37 16,0

Radau 0,3 4îi,i 3i,4 i6,5 12,4 44,9 36 47,7

Les Tables de Caillel ont été adoptées par le Bureau des Longitudes, La première Table de Bessel (I) est empruntée aux Fundamenta et la seconde (II) aux Tabulée Begiomontanœ,

On voit que, pour la réfraction horizontale, Técart des valeurs extrêmes est d'environ 4' et dépasse le dixième de leur moyenne.

Après avoir discuté un certain nombre de Tables, Delambre ajoutait : « Au reste il y a longtemps que nous sommes convaincu que la théorie de Simpson suffit depuis le zénit jusqu'à 82® de distance au zénit. Pour les huit derniers degrés il est fort à craindre que les théories les plus complexes ne soient à jamais insuffisantes (*). )) C'est sans doute encore la conclusion à laquelle on doit s'arrêter aujourd'hui.

Cette incertitude n'est pas surprenante et les variations réelles doivent être bien supérieures aux différences des Tables, car la symétrie admise ne se réalise sans doute jamais, à cause des changements de pression pour une même altitude et de la distribution si irrégulière des températures suivant la verticale.

En réalité, la réfraction des astres rapprochés de l'horizon ne peut être évaluée par la seule connaissance de l'état de l'atmosphère dans le voisinage immédiat de la station. Les observations de cette nature risquent souvent d'être illusoires si l'on veut leur demander autre chose que la détermination des distances relatives d'astres très voisins.

C'est ainsi que Spole et Bidberg, dans des observations faites à Torneo, ont aperçu le Soleil entièrement dégagé alors que son bord supérieur, abstraction faite de la réfraction atmosphérique, devait encore se trouver à une distance notable au-dessous de l'horizon. La réfraction calculée était de 58', c'est-à-dire presque double du nombre donné par les Tables (^). La différence est si grande que l'on a quelquefois mis en doute cette observation, mais il n'est pas difficile d'imaginer des conditions atmosphériques acceptables qui permettraient d'en rendre compte.

Les Tables ne conviennent que pour les pressions voisines de ^60"*" et ne pourraient être utilisées directement dans les stations élevées. La variation de réfraction dépend alors presque unique-

(') Delambre, Hist. de VAstr, au xviip siècle, p. 708; 1827. (*) Mémoires de l'Académie pour 1700, p. 87.

ment de celle de la densité p contenue dans le facteur ja. En appelant m et z rindlce de Tair et la distance zénithale pour le lieu d'observation situé à la hauteur A, m^ et Zt les valeurs relatives au niveau de la mer, on appliquera l'équation (5) qui donne

miRsin^i= m(R -+- h) sinz, m ( h\ .

La réduction du baromètre au niveau de la mer, avec une loi approximative pour les variations de température, permettra de calculer le rapport des indices et les Tables donnent la réfraction A, relative à la valeur de Zi ; la réfraction A qui convient à la station considérée est alors

A -h 5 = A, H- 3„ A = Al — ( s — Xîi ).

716. Méthodes d'observation, — La détermination expérimentale des réfractions présente de grandes difficultés, à cause des variations continues de l'état de Tatmosphère. Les observations ne sont pas directement comparables et chacune d'elles doit être ramenée, par une correction particulière, à des circonstances déterminées ; nous ferons abstraction de cette cause d'erreur.

I® Considérons d'abord une étoile E {Jig. 354) qui passe au voisinage du zénith et dont la déclinaison est D. On détermine, à différentes heures de la journée, sa distance zénithale apparente -3 et son azimut a rapporté au méridien.

En appelant to la vitesse angulaire de rotation de la Terre et t l'intervalle de temps qui sépare l'observation du passage au méridien, l'angle horaire NPE est coi. Le triangle NPE, qui correspond à la marche des rayons en dehors de l'atmosphère, donne

icosZmsinXsinD 4- cosXcosDcosu)^, sina sinio^ cosi) sinZ

Si la latitude X de la station ou la hauteur vraie du pôle est connue, ces deux équations déterminent D et Z, c'est-à-dire la réfraction A = Z — z.

Lorsque l'étoile passe au voisinage du zénith, la déclinaison

298 CHAPITRE XVn.

D = X -t- 8 diffère très peu de la latitude du lieu et Pangle 8 peut être déterminé avec une grande exactitude au moment du passage au méridien. On a alors

cosZ =: sinX sin(X H- 8) 4- cosX cos(X -h 0) cosu)/,

sina sino)^

cos(X H- 8) ~" sinZ '

Ces équations donneraient encore X et Z, et l'une d'elles sert de vérification si la latitude est connue.

Enfin, lorsque Tétoile passe rigoureusement au zénith, le triangle NPE est isoscèle et l'on utilisera les relations

[ sin — =1 ces A sin — j ] 2 7.

sin X == cet a cet

L'observation des étoiles zénithales peut être suivie jusqu'à l'horizon lorsque la latitude est inférieure à 4^^*

2° Une autre méthode consiste à déterminer les distances zénithales apparentes js et z' des étoiles circumpoklres à leurs passages inférieur et supérieur.

La somme des distances zénithales vraies correspondantes devant être égale au double de la distance zénithale du pôle, on a

iî 4- A -h'S'-H- A'zirir — 2X.

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. agg

Si la iatilude est connue, on en déduû. la somme A -h A' des réfractions relatives à deux distances zénithales conjuguées; on les représente ensuite par une formule empirique A=:/(2), ce qui permet de calculer les coefficients. Les observations peuvent ainsi s'étendre de part et d'autre du pôle dans le plus petit des angles X ou 90® — X.

Toutefois, les conditions de l'atmosphère sont en général très différentes à douze heures d'intervalle et très peu d'étoiles sont observables deux fois dans la même journée. On est donc obligé de comparer entre elles des observations séparées par un très long intervalle de temps.

Gomme la détermination de la latitude exige elle-même une correction de réfraction, si )/ est la hauteur apparente du pôle, la réfraction correspondante est V — X. En remplaçant X par

on voit que l'observation des étoiles circumpolaires à leurs deux passages donne la différence

A-hA'— 2(X'— X)=:'ïr — 2X'— (54-^'),

et l'on représentera chacun des termes par une formule empirique en fonction de la distance zénithale correspondante.

3** La méthode de M. Lœwy (*), dans laquelle on observe en même temps deux étoiles par réflexion sur les deux faces d'un prisme (654), permet de mesurer directement les variations de leur distance apparente.

Soil D la distance vraie des étoiles. On les observe d'abord à la même hauteur, aussi près que possible de l'horizon. Leur distance apparente Do diffère très peu de D. En effet, le triangle sphérique formé par la verticale et les directions des étoiles est alors isoscèle, ce qui donne, en appelant 0 leur azimut relatif,

sm — = sinC^A-l- ^0) sin-> sin — = sins© sin -,

. D .Do sin(Co-+- A„)

sin — • =: sin : >

2 2 sin^o

(») Lœwy, Comptes rendus des séances de l* Académie des Sciences, t. GIF, passim; i885.

3oO CHAPITRE XVII.

OU sensiblement

sin — zzr sin — (n- Aa coI^a)*

Cette équation peut encore se réduire à

D — Do= 2A0 tang~cot-So^=£)

et la correction e est très petite lorsque Tangle^o est voisin de 90". On observe ensuite ces étoiles lorsqu'elles se trouvent dans un même vertical, aux distances zénithales apparentes z et z'; leur distance apparente D' est alors

D'ir:5'-5=iZ'— Z-(y- A)=:D-(A'— A).

La différence des réfractions A' — A relatives aux distances zénithales z' et z se déduit alors d'une mesure micrométrique D© — D', car on a

A — A = D - D'r= Do- D' -f- £.

Ou conçoit aisément que la méthode s'applique à d'autres positions et que les observations de différents couples d'étoiles puissent être combinées de la manière la plus avantageuse pour l'exactitude du résultat final.

717. Déviation de la verticale, — Les o.bservations astronomiques montrent que la latitude d'un lieu éprouve des variations continues, les unes accidentelles et les autres périodiques, dans le cours de l'année. L'amplitude de ces variations périodiques parait atteindre o'', 5, ce qui donnerait un écart de o'', 25 de part et d'autre de la moyenne. Ces résultats, qui paraissent confirmés par plusieurs observations indépendantes, ont été attribués à un déplacement de l'axe de rotation de la Terre, qui peut avoir pour cause des phénomènes géologiques ou météorologiques.

Les observations nadirales montrent également que la direction de la verticale déterminée par un bain de mercure éprouve des déviations incessantes.

Sir W. Thomson ( * ) a signalé déjà les changements temporaires que peut éprouver le niveau de la mer par des causes météorolo-

(') Sir W. Thomson, Brit. Assoc. for 1876. — Trans., p. 9.

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3oi

giques, telles que les vents, la fusion de la glace dans les régions polaires et révaporation, lesquelles seraient capables de produire un écart irrégulier de o", o5 à o", 5 entre Taxe instantané de rotation et Taxe d^inertie maximum.

Toutefois, avant d'adopter cette interprétation, il est nécessaire de dégager le phénomène de différentes causes d'erreur simplement optiques, qui donneraient des effets de même ordre. Il y a lieu de se demander si l'inégale distribution des pressions et des températures dans l'atmosphère ne modifie pas d'une manière appréciable la direction apparente de la verticale sur le ciel et, par suite, la latitude de la station.

Supposons que les surfaces d'égale densité soient symétriques par rapport à un même plan vertical. Pour un rayon observé suivant la verticale, soit 3 sa déviation au moment où il rencontre une surface d'indice n inclinée de l'angle a sur l'horizon. Comme l'angle d'incidence /= o -f- a est très petit, le produit ni = /i(5 4- a) est constant de part et d'autre de la surface, d'où la condition

d{nZ) -4- aû?/i zn o, ni --- ^fadn.

Le produit no est nul au départ; pour la limite supérieure de l'atmosphère, où /i == i , ce produit représente la déviation finale A du rayon; on a donc

Cette expression n'est pas calculable a priori, mais on peut avoir une idée de l'ordre de grandeur de la déviation en supposant (|ue l'inclinaison a reste constante jusqu'à la limite optique de l'atmosphère, ou du moins en remplaçant cet angle par une valeur moyenne; il reste alors

A =: rt{ni — l) =: [JLa=:

Pour évaluer l'angle a, on remarquera d'abord que la pression . varie d'environ i"" pour lo*" de hauteur.

D'autre part, si la température était constante, les variations de densité à la surface du sol seraient données simplement par les

variations de pression. Il existe des cas nombreux, au voisinage des cyclones, où le gradient barométrique est de lo"" par degré de latitude, c'est-à-dire par loo*^™ de distance horizontale; la diminution de densité est encore plus rapide, puisque la température est plus élevée, toutes choses égales, au centre des dépressions. En admettant cette variation de i"*™ pour loooo", il en résulte

= r 1= 0,001 = 206",' A^ZO^.OÔ.

Pour deux observations où les couches d'égale densité seraient inclinées en sens contraires, le déplacement de la verticale atteindrait ainsi o^', i^*

Il ne semble donc pas que la direction apparente de la verticale sur le ciel puisse être pratiquement altérée de o", i par Tinégale distribution des densités, d'autant plus que les observations ne sont guère possibles au moment des grands troubles atmosphc'liques et qu'elles ne devraient alors inspirer aucune confi^ance.

Cependant, cette cause d'erreur n'est peut-être pas négligeable quand on détermine la latitude par des étoiles notablement éloignées du zénith. On peut supposer que les couches d'égale densité restent concentriques par rapport à un point situé à la distance angulaire a du centre de la Terre, de sorte que la réfraction correspondrait à l'angle de départ z -\- ol. L'accroissement SA de réfraction est donc

^A =: |x[tang(5 + a) - tangs] = -^~ , ce qui donne, pour une distance zénithale de 3o",

La méthode la plus recommandée pour constater les variations de la latitude X est celle de Horrebow ou Talcott, qui consiste à observer le passage de deux étoiles à peu près également distantes du zénith, en tournant la lunette autour d'un axe vertical, d'une observation à l'autre, de manière à déterminer la différence des lectures par un micromètre.

Si D et D' sont les déclinaisons des étoiles, corrigées de toute

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3o3

erreur systématique, z et — z' leurs distances zénithales apparentes, A et A' les réfractions correspondantes, on a

D = X -f- 5 H- A, D' rz: X — 5' - A',

La différence z' — z est mesurée directement au moyen de lectures micrométriques; la différence A' — A des réfractions est très petite et peut être fournie exactement par les Tables, mais

l'erreur commise sur le dernier terme est , lorsque les surfaces

cos*^ ^

d'égale densité sont inclinées de l'angle a sur l'horizon.

Par le seul fait des réfractions irrégulières, la latitude éprouvera

ainsi, à deux époques différentes, une variation apparente

Si l'angle a prend des valeurs égales et de signes contraire:» âi six mois d'intervalle, par suite du changement de régime météorologique, il reste finalement, pour des étoiles situées à 3o^ du zénith et dans Thypothèse précédente sur la valeur de l'angle a,

aX = '2|[xa=:i0%l6.

On approche ainsi des différences constatées par l'observation. Nous avons supposé, il est vrai, une inclinaison assez improbable des couches d'égale densité au voisinage du sol, mais on ignore absolument ce qui se passe dans les régions situées à moins de 1000" d'altitude; le trouble des réfractions peut être de même ordre que la quantité que l'on cherche à déterminer, puisque les variations accidentelles dépassent plusieurs secondes (').

Une dernière cause d'erreur tient au défaut d'équilibre de température dans la couche d'air que renferme le corps même de la lunette, ce qui produit une déformation (262) et un déplacement

(') A. Caillot, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences j t. LXXXVII, p. 684; 1878.

3o4 CHAPITRE WII.

des images. Si les couches de niveau y sont horizontales, par exemple, et que les températures soient t et £' en haut et en bas du tube, les indices correspondants étant /j = i 4- |a et /ï' ^ i -H [jl', la distance zénithale apparente z^ est

(i H- jjl') sinjs' = (1 -h |x) sin-5,

1 4- p.' Siiî

Comme on a

il en résulte

z — z' — o",i{t^t') lang5.

Une différence de température de 1^ seulement, pour la distance zénithale de 27®, donnerait ainsi une déviation de o'', i d'un côté ou de Tautre, suivant le sens de la différence, et les erreurs peuvent être sensiblement plus grandes lorsque les inégalités de température sont irrégulières.

L'observation des étoiles de part et d'autre du zénith présente encore des difficultés sérieuses. Il faut d'abord vérifier la verticalité de Taxe de rotation à moins de o",o5 pour chaque observation; les étoiles choisies ne passent pas au méridien à la même heure; enfin, on ne peut guère les observer que pendant la moitié de Tannée à différentes heures de la nuit, de sorte que les groupes d'étoiles doivent ainsi changer d'une saison à l'autre.

Les variations apparentes de la verticale avaient été signalées d*abord par Yvon Villarceau (*). Les observations plus récentes semblent confirmer le phénomène, mais les résultats obtenus dans les différents Observatoires d'Europe et des États-Unis ne sont pas assez concordants pour que l'on ne puisse conserver des doutes sur l'existence d'une rotation de l'axe du monde, quand on tient compte des changements périodiques de réfraction et de toutes les causes possibles d'erreur.

La question semble pouvoir se résoudre par la combinaison des

(') Yvon Villarckau, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LXV, p. 1068; 18^7.

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3o5

observations faites dans les deux hémisphères. Si les réfractions irrégulières relèvent le pôle Nord sur nos régions, elles doivent abaisser le pôle Sud aux antipodes, toutes choses égales, et les directions apparentes ne seraient plus parallèles. Toutefois, il faudrait encore supposer que les climats sont entièrement comparables au voisinage des deux stations opposées.

Les observations de Paris indiqueraient, d'après M. Gaillot, une latitude plus grande en* été qu'en hiver, avec un écart total de o'',5. A Berlin, Prague et Strasbourg, la latitude semble croître de o",o4 de juin à septembre, diminuer ensuite de o", i à o",2 jusqu'à décembre, puis de o", i3 jusqu'en janvier; l'écart total serait d'environ o",4- Les observations faites à Honolulu (*) donnent une marche inverse, une diminution de o'', 3 de juin à septembre et un accroissement de o'^, i3 de décembre à janvier, ce qui semble confirmer l'existence d'une variation périodique pour l'axe de rotation de la Terre.

Toutefois une discussion plus attentive des déterminations de latitude faites à l'Observatoire de Paris (*) ne montre aucune variation périodique; il paraîtra sans doute prématuré d'émettre encore une opinion définitive sur cette question délicate.

REFRACTIONS EXCEPTIONNELLES.

718. Mirage. — On a observé depuis très longtemps, dans les plaines d'Egypte, que les objets éloignés, tels que les arbres ou les habitations, particulièrement aux heures les plus chaudes du jour, donnent lieu à une seconde image renversée, coiVime s'il existait une nappe d'eau dans l'intervalle, lac imaginaire qui paraît fuir devant l'observateur quand on cherche à s'en approcher. En même temps, la dépression de l'horizon. augmente beaucoup et les accidents du sol situés à la plus grande portée de la vue prennent des proportions exagérées.

Les illusions du mirage ont causé une véritable déception à

(') Faye, Comptes rendus des séaaces de l'Académie des Sciences, t. CXIV, p. 703 ; 1892.

(») PÉRiOAUD, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CXIV, p. 896; 1892. — F. BoQUBT, ibid., p. 896.

3o6 CHAPITBE XVII.

l'armée française clans la campagne d'Egypte; nous ne pouvons mieux faire que de citer la description de Monge (*).

« Le terrain de la basse Egypte est une plaine à peu près horizontale qui, comme la surface de la mer, se perd dans le ciel aux bornes de Thorizon : son uniformité n'est interrompue que par quelques éminences, ou naturelles ou factices, sur lesquelles sont situés les villages qui par là se trouvent au-dessus de l'inondation du Nil ; et ces éminences, plus rares du côté du désert, plus fréquentes du côté du Delta, et qui se dessinent en sombre sur un ciel très éclairé, sont encore rendues plus apparentes par les dattiers et les sycomores qui sont beaucoup plus fréquents près des villages.

» Le soir et le matin, l'aspect du terrain est tel qu'il doit être ; et, entre vous et les derniers villages qui s'offrent à votre vue, vous n'apercevez que la terre; mais, dès que la surface du sol est suffisamment échauffée par la présence du soleil, et jusqu'à ce que, vers le soir, elle commence à se refroidir, le terrain ne paraît plus avoir la même extension, et il paraît terminé à une lieue environ par une inondation générale. Les villages qui sont placés au delà de cette distance paraissent comme des îles situées au milieu d'uu grand lac, et dont on serait séparé par une étendue d'eau plus ou moins considérable. Sous chacun des villages on voit son image renversée, telle qu'on la verrait effectivement s'il y avait en avant une surface d'eau réfléchissante : seulement, comme cette image est à une assez grande distance, les plus petits détails échappent à la vue, et l'on ne voit distinctement que les masses; d'ailleurs les bords de l'image renversée sont un peu incertains, et tels qu'ils seraient dans le cas d'une eau réfléchissante, si la surface de l'eau était un peu agitée.

» A mesure qu'on approche d'un village qui paraît placé dans l'inondation, le bord de l'eau apparente s'éloigne; le bras de mer qui semblait vous séparer de l'image se rétrécit : il disparaît enfin entièrement, et le phénomène qui cesse pour ce village se reproduit sur-le-champ pour un nouveau village que vous découvrez derrière à une distance convenable.

(') MoNQE, ///m. de Chimie, t. XXIX, p. 207; 1798. — Décade égyptienne^ t. I, p. 37; 1800.

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3o7

» Ainsi, tout concourt à completter une illusion qui quelquefois est cruelle, surtout dans le désert, parce qu'elle vous présente vainement Timage de l'eau dans le temps même où vous en éprouvez le plus grand besoin.

» ... Dans le second quartier de la lune, cet astre se lève après midi, et pendant que les circonstances sont encore favorables au mirage. Si l'éclat du soleil et la clarté de l'atmosphère permettent alors qu'on apperçoive la lune à son lever, on doit voir deux images de cet astre l'une au-dessus de l'autre, dans le même vertical. Ce phénomène est connu sous le nom de parasélène. »

Monge explique le mirage en remarquant que, par suite de réchauffement de l'air au contact du sol, ladensitépeut aller d'abord en croissant avec la hauteur. La trajectoire d'un rayon de lumière dans celte couche tourne sa convexité vers le sol. Si la réflexion totale n'a pas lieu, la hauteur apparente des objets éloignés est diminuée; si elle a lieu, on aperçoit une image renversée.

Ce phénomène se voit fréquemment sur les grèves de sable, dans la plaine de la Crau, partout où un sol uni, de grande étendue, dépourvu de végétation, s'échauffe beaucoup sous l'action direct*? du soleil. On l'a même aperçu sur la neige ou la glace à l'époque des grands froids. Le même effet se produit encore sur la mer lorsque la température de l'eau est supérieure à celle de l'air; il donne lieu à ces déformations singulières que présente quelquefois le soleil couchant.

Si les surfaces d'égale densité dues à ces variations de température ne sont pas horizontales, la trajectoire des rayons peut affecter une forme quelconque. Tel est le cas du mirage latéral que l*on observe sur le flanc d'une montagne escarpée, les bords d'une falaise, les murs des édifices, etc.

Les astronomes ont eu plusieurs fois l'occasion de signaler des phénomènes de mirage. Wollaston (*) en a fait une étude attentive en mesurant la distance angulaire des deux images et il attribue aussi la déviation des rayons à un excès de température des couches d'air inférieures.

Il a constaté directement, sur la Tamise, que l'eau était plus chaude que l'air, lorsque le mirage était visible, et que la tempé-

(') Wollaston, Phil. Trans. L. R. S., p. 239; 1800, et p. i; i8o3.

3o8 GHAPITRB XVII.

rature d'une couche de sable exposée au soleil pouvait être de 12^ supérieure à celle que Ton observe dans l'air à une dislance de So"^™. Il serait surtout intéressant de connaître la température de la couche d'air qui touche le sol ; mais cette détermination est difficile, à cause des effets de rayonnement, et ne pourrait être faîte que par un emploi convenable du thermomètre fronde.

Wollaston a vérifié, d'ailleurs, son explication par des expériences directes du mirage dans la couche d'air située au-dessus d'un morceau de bois échauffé au soleil, ou au voisinage d'un fer rouge ou encore dans un liquide de densité variable, qu'il obtenait en versant de l'eau sur une couche d'acide sulfurique. La diffusion lente des liquides finit par produire un milieu à température uniforme où l'indice de réfraction croît de haut en bas d'une manière continue : les réfractions sont alors de sens contraire à celui du mirage naturel.

Les réfractions mesurées par Wollaston, c'est-à-dire la distance angulaire des deux images, ont été de 9' au-dessus du sable, plus de 20' avec la barre de bois et atteignaient i® i5' au-dessus d'une plaque de fer rouge.

Le phénomène se montre quelquefois dans le sens opposé. A la suite d'une journée chaude et calme, les navires situés au voisinage de l'horizon donnent une image aérienne renversée. Dans ce cas. la température de la couche d'air inférieure est encore plus élevée, mais elle baisse rapidement au contact de l'eau, et l'indice de réfraction, à partir de la surface de la mer, va d'abord en décroissant pour passer par un minimum. La réflexion totale peut alors se produire pour un rayon dirigé vers le haut et donner lieu à une image aérienne renversée.

Il arrive aussi que l'on distingue trois images d'un navire, deux droites et une renversée, cette dernière étant située plus haut ou plus bas suivant les circonstances. Enfin, les objets éloignés, monuments ou collines, semblent parfois suspendus en Tair, comme au-dessous d'une nappe liquide brumeuse.

Telles sont, en particulier, les apparences connues sous le nom de Fée morgane, que l'on aperçoit de Reggio dans la direction de Messine, au-dessus du canal qui sépare les deux rives, toutes réserves faites sur la part qu'il convient de laisser à l'imagination des narrateurs.

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. Soçi

« Quand le Soleil brille le matin ( * ) à la hauteur de 45" environ, si les vents et les marées ne rident ni ne troublent la surface unie et polie de ce bassin et que le spectateur se trouve sur les hauteurs de la ville ayant derrière lui le Soleil et le visage tourné vers la mer, il voit tout à coup dans les eaux une multitude d'objets divers : c'est une rangée de pilastres et d'arcades innombrables, ce sont des châteaux nettement dessinés, des colonnades régulières, des tours imposantes, des palais magnifiques décorés de balcons et de fenêtres sans nombre, des arbres gigantesques, de riantes campagnes avec leurs troupeaux, des armées d'hommes à pied et à cheval et une foule d'objets bizarres avec leurs couleurs naturelles et leurs mouvements propres; ces images, se succédant l'une à l'autre, glissent avec rapidité sur la mer, mais toutes ensemble elles n'y durent que peu de temps, pendant que les conditions précédentes demeurent réunies.

y> Toutefois, si l'air est en outre chargé de vapeurs, imprégné d'exhalaisons épaisses, et n'a pas été au préalable balayé par les vents, violemment agité par les marées ou raréfié par le Soleil, alors sur cette atmosphère même, comme sur un rideau parallèle au canal, à la hauteur de trente palmes et plus au-dessus de la surface de l'eau, les spectateurs de Reggio observent le phénomène décrit plus haut; ils voient toutes ces images non seulement reflétées à la surface de la mer, mais en même temps réfléchies par l'air le long du canal, bien qu'elles ne soient pas aussi distinctes et n'aient pas de contours aussi nets dans l'air que sur la mer.

» Enfin, si l'air est moins brumeux et moins sombre, mais très humide et propre à former l'arc-en-eiel, alors les images n'apparaissent qu'à la surface, de la mer, mais elles sont teintes de couleurs vives ou frangées de rouge, de vert, de bleu et de violet. »

Il est douteux que ces irisations soient dues au simple mirage, car la dispersion de l'air semble trop faible pour que les eflels varient avec la couleur.

D'après les différentes circonstances, Minasi distingue trois espèces de phénomènes : la Morgana marina^ la Morgana ma-rina aeria et la Morgana (Viride fregiata.

(«) A. Minasi, Dissertatione prima sopra un fenomeno vulgar mente detto Fata Morgana. Uoma, 1773.

3lO CHAPITRE XVlf.

Minasi signale Fexistence, le long de la côte italienne, de villes ou villages, construclions éparses, monuments anciens ou modernes, sentinelles isolées, routes parcourues par des voyageurs ou des soldats en armes, etc., dont les images se reproduisent plus ou moins déformées.

Nous citerons également une série d'observations analogues faites par M. Paris (*) à Montpellier, au-dessus de l'étang de Mauguio et du golfe d'Aigues-Mortes ; une étude détaillée des accidents du sol a permis de rapporter les images aériennes aux différents objets dont elles provenaient.

Arago et Biot ont encore constaté un phénomène plus complexe. Du sommet de la montagne de Desierto de las Palmas, sur le bord de la mer, à la hauteur de 727™, ils observaient comme mire de nuit, à la distance de 161''", un réverbère situé sur la montagne de Campvey, dans l'île d'Yviza, à l'altitude de 4^0™.

L'image de la mire parut accompagnée d'une, deux, trois et môme d'un plus grand nombre d'images nouvelles, situées audessus de la première, grossies et irisées. Cette multiplication des images s'explique en admettant que l'observateur se trouvait dans une couche d'indice maximum, auquel cas les réflexions totales peuvent se répéter en haut et en bas.

Biot et Mathieu ayant eu l'occasion d'observer le mirage à Dunkerque en 1808, sur les grèves de sable que laissent les basses mers, en ont étudié avec soin toutes les circonstances. Biot (*)y a consacré ensuite un Mémoire où le phénomène est très habilement analysé, avec une explication complète des apparences signalées par les différents observateurs.

719. Propriétés générales. — On admettra d'abord, pour simplifier, que les couches d'égale réfraction sont concentriques à la terre et sensiblement horizontales, la distance des objets étant assez faible, dans la plupart des cas, pour que l'on puisse négliger la courbure du sol.

En appelant m l'indice de l'air au point où se trouve l'observa-

(») Paris, Annuaire de la Société météorologique de France, t. III, p. 147; i855, et t. VII, p. ia5; 1869.

(») Biot, Mémoires de l'Institut, u X, p. i; 1809.

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3ll

leur et z la distance nadirale d'un rayon de départ, on a

(i) m sin5 = /i sini = . . .1= y.

La réflexion totale (*) n'a lieu que si Tangle d'incidence i peut atteindre 90°, c'est-à-dire sur la couche dont l'indice p est

(2) p rrz msinz :^:z^.

L'angle de départ z correspondant croît avec Tlndlce de réfraction de la couche sur laquelle a lieu la réflexion totale. Si cet indice diminue à mesure que l'on approche du sol, les trajectoires s'abaissent de plus en plus quand le rayon initial s'écarte de l'horizon; la moindre valeur de z correspond au cas où la trajectoire du rajon est tangente à la surface du sol,

no

Gel angle Zq est le complément de la dépression apparente 8 de Fhorizon, et la distance maximum D de l'horizon visible est la distance à laquelle cette trajectoire limite rase le sol.

La valeur de D dépend de la loi de variation des indices, mais la dépression S est uniquement déterminée par leurs valeurs extrêmes, comme on l'a vu précédemment (713),

(3)' cos8i=^, 8«^2(m-/io).

La réflexion sur le vide, qui est un cas limite, donnerait, en faisant /i© = i et m = i,ooo3,

(') On a émis quelquefois des doutes sur la possibilité d'une réflexion totale lorsque Tindicedu milieu varie d'une manière continue; il semble, en eiïet, que le rayon devrait se propager en ligne droite quand il est parallèle aux surfaces d'égal indice. Pour lever celte difliculté, il suffit de remarquer que, si une onde plane est devenue perpendiculaire à ces surfaces, la concordance des vibrations détermine, pour une époque ultérieure, une surface d'onde symétrique d'une onde antérieure relative au même intervalle de temps, ce qui revient simplement à appliquer le principe du retour des rayons (Bravais, Ann. de Chim. et de Pays,, [3], t. XLVI, p. 493; 18:6).

3l'2 CHAPITRE XVII.

D'autre part, l'excès n — i pour les gaz est proportionnel à la masse spécifique, ou, lorsque la pression est constante, à l'inverse du binôme de dilatation ; on a donc

«0 — I i-ha^ m — I i-ha^o

et, avec la valeur approchée /n= 1,000293,

(fV ^ « 1,0734 t^—t ^ c/^^4 / ^0— ^

La dépression de Thorizon est donc proportionnelle à la racine du quotient de la différence des températures par le binôme de dilatation relatif à la couche d'air en contact avec le sol.

Le maximum de dépression 8', 26 constaté par Biot Indiquerait ainsi une différence de température de 2^,70, et l'angle de 76', qui résulte des observations de WoUaston avec la plaque de fer rouge, correspondrait à plus de 1000".

L'équation différentielle de la trajectoire est

(5) [j^^ :,-eof,:=--,--=— ^.

Le second membre de cette équation est une fonction du paramètre Y défini par l'angle z de départ, d'après l'équation (i), et des coordonnées courantes x eiy- L'intégration de (5) donnerait l'équation de la trajectoire

Si la trajectoire se relève après avoir éprouvé la réflexion totale, l'ordonnée du sommet de la courbe est définie par Téquation (2), où l'indice /> est une simple fonction de la hauteur.

Remanjuons que le rayon de courbure R a pour expression

I ^JT* ^ dn sin i dn

A une hauteur déterminée, cette courbure varie avec l'incidence ion l'angle de départes correspondant; pour le sommet de la trajectoire, elle ne dépend que de la hauteur.

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3l3

LMHmination du paramètrey entre les équations ( a) el( 6) donne le lieu des sommets

(6)' /ia:,y,p)^o.

Enfin l'enveloppe des trajectoires, c'est-à-dire la caustique, se déterminera en éliminant l'angle js ou un paramètre équivalent, tel que Y, entre l'équation (6) et celle qu'on obtient en égalant à zéro sa dérivée par rapport au paramètre :

L'équation ("j) montre que la trajectoire tourne sa convexité vers les régions de moindre indice, ce qui était évident. Cette courbe peut avoir des inflexions si l'indice de réfraction du milieu passe par des maxima ou des minima.

Le plan vertical d'observation se trouve divisé par la caustique eu régions difTérentes.

L'une d'elles n'est traversée par aucune trajectoire, elle reste invisible à l'observateur. Pour d'autres régions, on pourra mener d'un point une ou plusieurs trajectoires tangentes à la caustique. Un objet ainsi placé donnera une ou plusieurs images différentes, droites ou renversées. Il n'y a généralement qu'une image possible lorsque le point, est situé sur la caustique, à moins que cette courbe n'ait une forme complexe et présente plusieurs branches.

Le champ du mirage, défîni en théorie parla caustique, s'arrête pratiquement à la trajectoire limite tangente à la surface du sol, car, pour tous les angles de départ inférieurs à Zq^ les trajectoires sont interrompues par cette surface.

L'équation différentielle (5), mise sous la forme

fdy\^ n^ — m'sin-^ . m^ — n^

\dx ) m*sin*5 m*sin*;3

peut être simplifiée, car le rapport -^ — ne diffère pas sensiblement de 2 (m — n) et l'on a, sans erreur appréciable,

I ( dyX^ cos'^ — i{m — n)

\\tx) -

dx =: sin^

sin'^

y^'cos^s — 2 (m — n)

3l4 CHAPITRE XVII.

La tangente à la caustique est commune à la trajectoire (5) correspondant au point de contact, les valeurs simples ou multiples des coordonnées de ce point étant déterminées en fonction de l'angle y par les équations (6) et (6)".

Si Tangle de départ z varie d'une manière continue, les coordonnées du point de contact, ainsi que le coefficient angulaire de la tangente à la caustique, varient également d'une manière continue. En d'autres termes, la caustique ne peut pas présenter de point anguleux.

Les rayons partis d'un point donnent lieu à deux lignes focales. L'une d'elles est verticale et à la même distance que l'objet; elle est due aux rayons situés dans un plan perpendiculaire au vertical du point observé. On comprend ainsi pourquoi les lignes verticales des figures de mirage paraissent encore bien dessinées.

L'autre ligne focale est horizontale et on en trouvera la position par la marche de deux rayons infiniment voisins situés dans un plan vertical. L'angle i étant également compté vers le nadir, s'il varie de di au point observé, la variation correspondante de l'angle de départ est

m cosz dzT^ n ces idi := û^y*

L'observateur étant pris pour origine, la trajectoire nouvelle coupera la verticale correspondante à une distance e, comptée au-dessous de l'axe des x^ et aura pour équation

/(^, J-^s, Y-+-<iY) = o, ce qui donne

â^ az

La distance focale apparente p de ce groupe de rayons qui aboutissent à l'observateur est alors

( ) P L ày

^^^ sinz ~ dz ~ dz

Cette distance est très différente de celle de l'objet et variable avec la hauteur du point observé; on ne pourrait la distinguer, en général, qu'à l'aide d'une lunette appropriée à chacun d'eux. Les lignes horizontales doivent donc perdre facilement leur netteté dans les figures de mirage.

RÉFRACTIONS ATMOSPHERIQUES. 3l5

Avant de discuter les conditions générales du phénomène, nous enaminerons, avec Biot, différentes hypothèses qui permettent de traiter complètement la question.

720. Cas particuliers. — i® L'hypothèse la plus simple consiste à admettre que la variation des indices est proportionnelle à la distance au sol. En prenant l'observateur O {fig' 355) pour ori-

Fig. 355.

g^ne des coordonnées, on peut écrire

Cette loi doit être évidemment restreinte au voisinage du sol et de l'observateur, puisque la valeur de /i — i ne peut s'annuler ni croître indéfiniment. Le phénomène physique se trouvera d'ailleurs naturellement limité.

3l6 GHAPITRB XVII.

L'équalion différentielle (8) devient alors

dy

(8)' dx^rz^\xïZ-