V/ COS'-SH

ce qui donne, pour la trajectoire, l'une des expressions

ix:= asïnzl cosz — 4 /cos'«4- 2—1»

a?* — 2ax sinz cosz r= aay sin*-s, X* — ay ^=r a{xsin'iz — ycosa^).

C'est une parabole à axe vertical, comme on pouvait le prévoir(7H), qui coupe Taxe des x à l'origine et à la distance a sin 2^. Les coordonnées du sommet sont

(il)

- sinQjs.

Dans cette hypothèse, on a

ô*= 2(m — /io) = 2 — , a

V/2(m — /lo)

La dépression et la distance visible de l'horizon sont toutes deux proportionnelles à la racine carrée de la hauteur.

La distance D est évaluée par Monge à 4*^™- Si Ton suppose, pour simplifier, que la hauteur Aq soit de a", il en résulterait

2(m — «o) =:io-S ^0— ^ = o°>47> 8 = 3', 43.

Dans certaines observations de Biot, cette distance n'était que de 200™ quand on visait avec une lunette à la hauteur de i",i7; on en déduirait 2 (m — /lo) = 1,37.10"* et, par suite, une différence de température tout à fait exagérée, c'est-à-dire que l'hypothèse n'était pas alors applicable.

On obtient le lieu des sommets en éliminant l'angle z entre les

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3l7

équations (i i) :

(12) x^-^ ^y^-h 2ayz=o.

C'est une ellipse OBA dont l'un des sommets est à l'origine O, le grand axe horizontal et égal à a, et Taxe vertical -•

Enfin l'élimination de z entre Téquation (10) et la dérivée

{l3) J?C0S2-5-h^sin2jS o

donne la caustique

C'est une parabole AQP symétrique par rapport à l'axe des y^ dont le sommet A est sur Tellipse des sommets, et qui coupe en Bi la ligne des abscisses, à la distance a.

. Pour un angle de départ z, les coordonnées du point de contact de la trajectoire avec la caustique sont données par deux des équations (10), (i3) et (i4)- O'i déduit des deux premières, en supprimant l'origine, qui est un point commun à toutes les trajectoires,

x-^. a tangx;,

^=r-(tang*5 — i).

Remarquons en particulier que, pour 5 = 45'*, on a^ = o et x=^a. Le point B| de la caustique correspond à la trajectoire partie de l'origine sous l'angle de 45® et qui coupe l'ellipse des' sommets au point B où la tangente est verticale. La portion AB de cette courbe correspond à la partie AB| de la caustique située audessous de l'axe des x^ et la portion BO à la branche supérieure B, P. C'est une propriété générale sur laquelle on reviendra plus loin.

Pour le rayon d'abord horizontal, Téquation delà trajectoire 0P| se réduit à x^= ^ciy\ c'est une parabole identique à la caustique.

La région extérieure à la caustique est invisible. Un point M de l'intérieur peut être vu par deux trajectoires OMP et OQM, relatives à deux valeurs de z et, par suite, à deux images. Pour un point N situé plus bas sur la même verticale, les contacts des trajectoires avec la caustique ont lieu dans l'intervalle PQ, de sorte

3l8 CHAPITRE XVII.

que les angles de départ correspondants sont compris entre ceux qui permettraient de viser le point M.

Il résulte de là que l'image d'un objet fournie parles trajectoires directes OM et ON, qui ne touchent pas la caustique dans l'intervalle, est droite, tandis que l'autre image, fournie par les trajectoires MQO, qui ont touché la caustique et subi la réflexion totale, est renversée; cette dernière est le mirage.

En appelant r la distance OM et 8 l'angle de cette droite avec l'axe des x^ on a, par l'équation (lo)

^•— ■ ay

sin(25 — 6) = — z=z siiitt.

^ ' ar

Lorsque le problème est possible, c'est-à-dire que le point M est situé à l'intérieur de la caustique, on en déduit les angles de départ, 2z'=^H-T- u et 2z!^=:Tz-i-^ — Uj qui correspondent aux deux trajectoires.

La variation dz^ relative à une variation dy de la hauteur de l'objet, pour une même valeur de x, est

dz — sin*5 — sin'5

dy ~ œ ces 2z -t- y sin2z /• ces {2z — 6 )

Ce rapport est positif et l'image droite pour le plus grand des deux angles 5' etz"; il est négatif et l'image renversée pour l'angle le plus petit.

La distance p de la ligne focale horizontale est alors, d'après l'équation (9),