COS(2Z
pzr-i
sm:
cette distance est positive pour l'image droite et négative pour l'image renversée.
Si l'objet est coupé par la caustique, la partie supérieure est seule visible directement; on en voit aussi une image renversée en contact avec la première, mais dont les portions voisines de la caustique sont très déformées. On comprend ainsi que l'image directe soit seule apparente, ou du moins facile à reconnaître, et que l'objet paraisse suspendu dans l'air.
La trajectoire limite, qui rase le sol, est
(i5) j?' — aa/=: aaj7sin8.
RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3l9
Supposons, pour fixer les idées, le sol étant Ao^Tq, que cette trajectoire soit O A-oQM. Pour qu'un point donne lieu au mirage, il faut que sa trajectoire inférieure touche la caustique au-dessus du contact Q de la trajectoire limite. Le champ du mirage est donc compris entre la caustique QP et la branche remontante QM delà trajectoire limite. Comme Tangle de départ Zq de cette trajectoire est très voisin de 90®, les objets doivent être très éloignés el notablement élevés au-dessus du sol.
2® En réalité l'indice croît d'une manière de plus en plus lente avec la hauteur et finit par devenir constant.
Pour avoir une idée des phénomènes, on supposera que la loi précédente est d'abord applicable, à partir de la surface du sol, mais qu'elle cesse au niveau de l'observateur, le milieu devenant ensuite homogène.
Rien n'est changé pour la marche de la lumière au-dessous de l'axe des x.
Chacune des trajectoires paraboliques, en pénétrant dans le milieu supérieur, au point dont l'abscisse est asiniz^ se transforme en une droite dont Tinclinaison sur l'horizon est la même que celle de la trajectoire au départ. I^'équation de ces droites est
(16) :r =: a sin2 5 4- V tang-5.
Leur caustique s'obtient en y ajoutant la dérivée
(17) o = 2 a COS 1Z H '-^-z— y
ce qui donne
/ = — 2aCOS2^ COS'5 HT — a C0S'2 5(l 4- COS25),
( x=. 2asm255in*s=: asm 25(1 — cos25).
Les variations de ces coordonnées avec l'angle z sont
c(^ == 2a sin25(i 4- 2 ces 2 5) dz^ dx = 4« sin*5(i 4- 2 C0S22) dz^
et le coefficient angulaire de la tangente
dy
--f- HZ cote.
dx
L'inclinaison de la tangente sur Taxe des x diminue donc d^iine manière continue, à mesure que l'angle z augmente, et la courbe ne présente pas de point d'inflexion (la figure donnée par Biot paraît incorrecte sur ce détail).
Pour 2 r:^ o, on di X ^^ o^ y —-- - 2 a. La courbe partant de ce point, où la tangente est verticale, passe par le point B, {fig* 356)
iïig. 356.
(s :^- 45^*, x= a^ y=^o)^ où elle est tangente à la caustique des paraboles sous Tinclinaison de 4«5", mais dont elle s'écarte ensuite vers la droite.
Les coordonnées ont des valeurs maxima pour
2 COS2S 4- Tr^ o, 5 = 60°,
x=za
C'est un point de rebroussement I, avec une tangente IF commune à deux branches différentes et inclinées de 3o** sur l'horizon,
La seconde branche 10 aboutit finalement à l'origine (z = 90**) où la tangente est horizontale.
L'origine est, en outre, un point multiple pour les rayons qui cheminent uniquement dans la couche supérieure.
On peut d'ailleurs éliminer facilement le paramètre z entre les
REFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3ai
équations (18), car on déduit de la première
et la caustique des trajectoires rectilignes est
(19) [i{x- — y^) — a{a -^ \oy)Y~ a{a — [^yy.
Rien de nouveau ne se présente pour les points situés au-dessous de l'axe des x^ en particulier pour la dépression et la distance visible de rhorizon.
Tous les objets situés au-dessus de l'axe des x sont d'abord visibles directement, et sans déformation, par des rayons rectilignes, le milieu supérieur étant homogène.
Les rayons partis d'un point M dans une direction MQ, tangente à la seconde caustique (19), reviennent à l'observateur sous la même inclinaison.
Lorsque ce point est en dehors de l'espace 0IB<, l'angle >s augmente pour un point N situé plus bas sur la même verticale; on obtient alors un mirage rem erse, par une trajectoire qui est d'abord tangente à la branche IQ ou à la branche lO de la caustique, suivant que ce point est au-dessus ou au-dessous de la droite IF.
Lorsque le point M est situé dans l'espace OIB,, on peut toujours mener deux tangentes à la caustique vers le bas, l'une à la branche IQ, et l'autre à la branche lO. Il se produit ainsi deux images renversées,
EnGn il existe une troisième image droite, due à des tangentes menées vers le haut à la branche OI ou à la branche QI, suivant que l'objet est situé au-dessus ou au-dessous du prolongement de la droite FI.
Dans les circonstances les plus favorables, le mirage peut ainsi donner lieu, outre l'image directe, à trois images supplémentaires, une droite et deux renversées, mais deux d'entre elles présentent de grandes déformations.
Le champ du mirage produit par des rayons dirigés vers le bas de la branche IQ est encore limité par la partie rectiligne de la trajectoire qui touche le sol en A© et dont l'équation est
32U CHAPITRK XVII.
3^ Supposons maintenant que la variation des indices s'arrête encore en O {pg- 357) ^ '^ hauteur A^, mais que Tobservateur soit
Fig. 357.
placée en C dans le milieu homogène, à la hauteur Aq -4- h, La quantité a ne change pas et les rayons de retour pénètrent dans la couche homogène sous le même angle z qu'au départ.
Chacune des trajectoires curvilignes conserve la même forme, mais elle est déplacée horizontalement de la quantité frtangj. En prenant encore le point O pour origine, on devra remplacer x par X — b tang5 dans les équations (10) et (16). Les parties paraboliques des trajectoires sont alors
(10)' {x — b tang;î)'r=: axs\iïiz -h 2a(/ — b) sin'^,
et les parties rectilignes qui suivent
(16)' .r — asin2z -H (/-j-6) lang5.
RÉFRACTIONS ATMOSPHÉ RIQU RS. 323
Le sommet de la parabole est déterminé de la même manière par les équations (i i), qui donnent
r jc izi - sinac 4- b tangz.
La dépression de l^horizon ne change pas, mais la distance de rhorizon visible est augmentée de la quantité
^ 2sJ m -- Hq
proportionnelle à la différence d'altitude.
L'élimination de z entre les équations (i i)' donne, pour le iieu des sommets,
On a, d'ailleurs,
dy :=! - sin2 5 dz^
da; z=z l a ces 2 ;
cos^ dv sin2z
ces 2 s ~\
Le lieu des sommets se déduit aisément de l'ellipse primitive OB en augmentant les abscisses de 6 tang^. C'est une courbe AB'L, avec un point d'inflexion, tangente à l'ellipse au point A, et asymptote à l'axe des x.
La tangente est verticale pour la condition
1 O-r 6 -- «COS2 JCOS*Z= 6 H ces 2-5(1 -f- C0S25),
I 2 ces 2^ — — llti/ I — 8-.
Les deux racines z! et js!^ de cette équation, comprises entré o"
et 90®, ne sont réelles que si a>86; elles correspondent aux points B' et B".
Uëquation (16)' des trajectoires rectilignes ne diffère de (16) que parla substitution dey 4- 6 ày. La caustique QIC est donc la même que précédemment, avec la seule différence qu'elle est descendue de la hauteur 6, son origine C étant symétrique de l'observateur C par rapport à Taxe des x; elle coupe cet axe en de> points B| et B2, dont les abscisses sont données par Téquation (19) dans laquelle on fera y = b, ou
Enfin, l'observateur C est un point isolé de cette caustique, correspondant aux rayons qui cheminent uniquement dans le milieu homogène.
La trajectoire limite a pour équation
i-iï-
: 20x1 ■+- 2a{y — b)f et sa partie rectiligne
X = 2a<i-hi^— — .
Le champ du mirage situé au-dessus de Taxe des x est compris entre cette droite et la partie B<IB2 de la caustique. Pour que le champ existe, il faut que cette droite coupe Taxe des x au delà du point Ba, d'où la condition
La caustique des paraboles, supposées continues , est définie par l'équation (10)', ou
{x — b tang^)' — a{x — b tangjz) sin25 = aoy sîn*5,
et sa dérivée par rapport au paramètre
/p —— b tamT-s»
(28) b j — h a{x — bidingz) cos2x; -— abianigz -ha/sin25 = o.
On obtient d'abord, par Télimination de y^ en posant, pour abréger l'écriture,
