II. Pi. pj- pi- P
liaii 1,33 4'^ 3i 5o 6,( 4^ 5o jo o
Alcool i,36i() 38 3,1 5711,7 38 20 5-
Solution (le sel ammoniac. . i,382 35 3o,6 62 5o,i 35 10 62 mo
Pétrole 1,447 -28 56,9 7659,9 2889 77
Essence de térébenlhine. .. . i,47ï"^- '^5 82,7 8c 3^,5 23 S-i
Comme les gouttes sont très fines, le rayon observé devrait être trop faible pour le premier arc cl trop grand pour le second, ce (pii n'a pas toujours lieu.
M. Faye (^) a signalé la formation d'un arc-en-ciel blanc sur le brouillard à la lumière d'un simple bec de gaz. Une observation analogue dans les Alpes conduisit M. ïyndall (*) à plusiein^ expériences intéressantes.
(') F. Raillard, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XUII, p. 906; i856.
(») H. llxuiiERLj^Sitzungsber. der K. A. der IViss, Wien., t. LXXXVI, Abth. II. p. 3oG; 1882.
(») H. Faye, Comptes rendus des séances de l'Académie des ScienceSt
i. XXVIII, p. 244; 1849.
(«) J. Tyndall, Phil. Mag. [5], t. XVII, p. Gi; 188';.
Les gouttes d'eau étaient produites soit par un bouilleur, soit par la projection sur une plaque de métal du jet liquide émanant d'un réservoir à grande pression. En prenant comme source la lumière électrique condensée sur un orifice étroit, de manière à obtenir un faisceau très divergent, le phénomène est très brillant. On aperçoit six franges surnuméraires très distinctes à l'intérieur du premier arc et d'autres franges plus pâles en dehors du second. La formation de ces franges prouve que le diamètre des gouttes était très uniforme; en outre, l'angle apparent de la source étant aussi réduit qu'on le veut, l'apparition des franges achromatiques devient plus facile.
Un grand nombre d'autres liquides ont été essayés dans les mêmes conditions; c'est le pétrole et l'essence de térébenthine qui ont donné les plus beaux arcs. Avec un mélange d'eau et d'essence, on obtient les deux systèmes d'arcs qui correspondent respectivement aux deux liquides. Enfîn ces arcs artificiels sont aussi partiellement polarisés dans le plan qui passe par la source
Dans une expérience de caractère tout différent, M. Gouy (*) a trouvé un système de franges d'interférence entièrement comparables aux arcs surnuméraires.
Le faisceau de lumière émané d'un collimateur à fente horizontale traverse une auge contenant deux liquides capables de se mélanger par diffusion, par exemple une couche d'eau au-dessus d'une dissolution saline. L'onde primitive, qui était d'abord un plan vertical, se transforme progressivement en une surface cylindrique; la section droite de cette surface est composée de deux parties rectilignes, correspondant à la propagation dans l'eau pure et dans la dissolution, raccordées dans la zone de diffusion par une courbe qui présente un point d'inflexion. A la sortie de l'auge, la normale au point d'inflexion, qui est déviée vers le bas, jouit des mêmes propriétés que la direction des rayons efficaces dans i'arcen-ciel; pour des déviations moindres, la lumière s'affaiblit par une dégradation continue; les directions plus inclinées donnent, quand on observe avec une lunette réglée sur l'infini, une série de franges d'interférence.
(«) Gouy, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, i. XC, p. 307; 1880.
M. — III. 3o
Avec une lumière homogène, M. Gouy a pu distinguer plusieurs centaines de franges, mais Texpérience est plus intéressante quand on fait usage de lumière blanche; elle réussit sans difficulté avec l'eau ordinaire et Teau salée.
Comme la déviation des rayons efficaces croît en sens inverse de la longueur d'onde, les différents systèmes de franges se superposent de la même manière que dans l'arc-en-ciel ; on aperçoit encore une frange achromatique à une certaine distance du bord qui limite le champ éclairé, et les franges voisines sont d'autant plus nombreuses que l'achromatisme est d'ordre plus élevé.
En recevant la lumière émergente sur un prisme, l'ordre de h frange achromatique paraît élevé ou abaissé suivant que la réfraction augmente ou diminue la déviation des rayons efficaces.
Si la couche de transition est assez étroite et les indices des deux liquides primitifs notablement inégaux, la déviation des rayons efficaces est grande et, avec elle, la dispersion correspondante. Dans ce cas, Tonde émergente est comparable à celle que donnent les gouttes d'eau de petit diamètre et les franges sont relativement larges. A mesure que la difi'usion augmente, la variation d'indice dans la couche de transition est moins rapide et la courbure de la surface d'onde est plus faible. La déviation des rayons efficaces diminue; en même temps, les franges deviennent plus serrées.
On rencontre ainsi cette circonstance tout à fait singulière que les franges d'interférence sont d'autant plus fines que les milieux superposés diffèrent moins l'un de l'autre, tandis que, dans la plupart des phénomènes d'interférence produits par deux systèmes de rayons qui ont parcouru des chemins différents, la largeur des franges croît, au contraire, à mesure que la variation du chemin optique est plus faible.
Enfin il arrive fréquemment que l'indice de réfraction du mélange ne varie pas régulièrement avec la hauteur. Si la dérivée de l'indice passe plusieurs fois par un maximum ou un minimum, la méridienne de l'onde présente des points d'inflexion correspondants et l'on observe différents systèmes de franges avec des déviations particulières pour les rayons efficaces.
L'expérience ainsi disposée peut durer plusieurs heures, avec une transformation continue des franges, mais la diffusion finit par établir l'uniformité du mélange.
On peut reproduire les mêmes phénomènes par l'onde réfractée dans une lame de verre convenablement taillée, ou par les ondes paragéniques d'un réseau dont la distance des traits varie suivant une loi particulière.
Supposons d'abord qu'une lame de verre L (Jig* ^69) reçoive
Fig. 369.
un éclairement normal sur la surface plane AB, et cherchons quelle doit être la section droite S de la surface cylindrique de sortie pour que la méridienne S de l'onde émergente présente une forme analogue à celle de l'arc-en-cîel.
Soient ^ et j^ les coordonnées d'un point M rapporté aux axes Ox et OjK) ''o et i© les angles d'incidence et de réfraction à l'origine O, Ao = f'o — ^0 la déviation correspondante ; r, i et A = i — r les valeurs relatives au point M; D la distance OC; \ et r, les coordonnées, par rapport aux axes rectangulaires CÇetCO, du point N où le rajon réfracté MN aboutit à la surface d'onde S qui passe par le point G.
L'équation de la courbe S, au voisinage des rajons efficaces OC, peut s'écrire
le coefldcient k étant en raison inverse du carré d'une longueur. L'angle ft des rayons émergents OG et MN est
1 = Ao— A =iio—ro — (« — /•).
466 CHAPITBE XIX.
Les tangentes aux courbes S et 1 donnent aussi
La concordance des vibrations aux points C et N. sur l'onde émergente, exige ta condition
MN := D -r- /i r.
Enfin, si Ton projette le chemin OVLNC sur la direction du rajon efficace OC, on a
D r= — or sinAo — y cosAo-r- (D -f- /i vIcosO -h t..
On peut faire D = o, c'est-à-dire supposer que Tonde considérée, réelle ou virtuelle, passe par Torigine. En remplaçant */; par sa valeur ({o) en fonction de Tangle 6, la courbe S est définie par les équations (38) et (Sg), auxquelles o:i doit ajouter
/ sini rz: /i sin/*,
( tangO^ii 3X-*(j!:sinAoH- vcosAo — /ij-cos6)'.
L'élimination des angles £, r et 6 entre ces quatre équations déterminerait la courbe S par une équation diflerentielle. Il est à remarquer que la valeur de tangO est indépendante du signe des coordonnées x et ^; la courbe cherchée S est donc symétrique par rapport à l'origine O.
Dans le cas actuel, la déviation des rayons efficaces croît avec l'indice, tandis que les interférences se produisent du côté opposé. Pour obtenir des franges achromatiques, il faudrait que la face d'entrée fût inclinée en sens contraire sur la tangente à l'origine O ; on peut encore arriver au même résultat en plaçant un prisme sur le trajet de la lumière, avant ou après la lame.
Si les angles i et /• sont assez petits pour que Ton puisse les substituer à leurs sinus ou à leurs tangentes, les cosinus étant remplacés par l'unité, on a
i=nr, e=z:(/2 — i)(ro— r),
el Téqualion différentielle se réduit à
(/•,x-yr^rf(/-.x-j)=3(^A yrf.r.
La constante dMntégration est nulle, puisque la courbe passe par Torig^ine; l'équation de cette courbe est donc
^'■'^-y^'={-éij
yzzzroX— <
En réalité, la seule condition à laquelle doive satisfaire la surface
de sortie est que sa section droite présente un point d'inflexion ;
il [suffit donc que, en développant la valeur de y en série suivant
les puissances croissantes de x^ les deux premiers termes soient
de la forme
v = xtang/*o x^.
Lors même que la courbe ne serait pas entièrement symétrique par rapport à l'origine, les interférences existeraient également, mais les minima ne seraient plus nuls.
Si Ton veut comparer les interférences avec celles de l'arc-enciel, il suffit de poser
Les franges sont d'autant plus larges que le coefficient A* est plus grand, c'est-à-dire que la surface de sortie s'éloigne davantage de la forme plane.
Le calcul des traits d'un réseau se fera de la même manière.
Considérons un réseau plan, à traits parallèles, éclairé sous l'incidence normale. Soit So l'écartement des traits à l'origine O, £ l'écartement au point P (Jig* 370), à la distance x^ où se trouve le />»*"* trait. Pour le spectre d'ordre m, les déviations To et rdes rayons paragéniques sont
(38)' mX = eosinroZ= esinr.
On a d'ailleurs
Fig. 370.
Nous supposerons encore qu'à la distance D la méridienne 2 des ondes di (Tractées soit représentée par l'équation (37), d'où résulte
lang(ro-/)=^=i3^|'=:3A-^T^
La concordance des rayons paragéniques sur Tonde D donne la condition
PN=zD — mpl,
et la projection du chemin OPNG sur la direction OC des rayons efGcaces
D^^xsinToH- (D — mp\)cos{rQ — r) — tj.
On peut encore faire D = o, c'est-à-dire calculer l'onde réelle ou virtuelle qui passe par le point O. En éliminant la variable r^, la loi des traits est alors définie par les deux équations
tang(ro— /) — 3 k^ [x sin Tq— mp\ cos {r^— r)y y
. dp
sinr = mX
dx
Le tracé du réseau est encore symétrique par rapport au point O.
Si Técartement des traits est croissant, comme on Ta supposé dans la figure, la déviation des rayons efficaces diminue avec la longueur d'onde ; les interférences se trouvent alors naturellement placées de manière qu'il puisse se produire un système de franges achromatiques.
On trouverait de grandes difficultés pratiques à tracer les traits suivant une loi déterminée, mais on peut former un réseau à traits équidistants sur une surface cylindrique S de forme convenable, et la déviation ne dépend que de la projection des traits sur l'onde incidente (206, III); la photographie de cette surface donnerait d'ailleurs le réseau cherché.
Si e estrécarlement des traits sur la section droite S de la surface, Qq l'inclinaison initiale de cette courbe sur l'axe des x et 0 l'inclinaison de la tangente au point M, on a
e = ecos6,
et la courbe S est définie par l'équation
1 e Eq dp
cosô e cosÔo dx
Lorsque les déviations sont assez faibles, les équations (40'
deviennent
dp ^ 1
To — '^^7/ ^^ 3A:*(ro»r — m\pYy
^ m A m A £o So^'o
L'équation de la courbe S est alors
COSÔ cosOo \ /'o /'
Toutefois, il suffit encore que la méridienne S de l'onde paragénique présente un point d'inflexion. Les traits du réseau peuvent être tracés suivant une loi quelconque, pourvu que les deux premiers termes du développement de l'ordre p en fonction des
puissances croissantes de x aient la forme précédente. On pourra, de même, faire la photographie d'un réseau à traits équidistanls tracé sur une surface cylindrique arbitraire, à la seule condition que la section droite de cette surface ait un point d'inflexion.
Une méthode plus simple encore consiste à placer un écran à bord rectiligne sur le trajet d'une onde concave dans le sens de la propagation. Une partie de l'onde devient convexe par diffraction dans l'ombre géométrique et l'observation avec une lunette réglée sur l'iniini montre une série de franges très nettes à la limite de la région lumineuse.
752. Gloires sur la rosée. — Nous rapprocherons de l'arcen-ciel l'illumination en forme de gloire dont paraît entourée l'ombre de la tête sur une prairie couverte de rosée.
Si Q est l'éclairement du Soleil, (T = Tza^ la section de chaque goutte supposée sphérique et / le pouvoir réflecteur moyen pour les deux azimuts principaux, la quantité de lumière réfléchie dans
Tunité d'angle (680) est égale à/y-' En appelant 8 Tangle d'incidence sous lequel on observe un élément de surface rfS couvert de rosée, la projection de cet élément sur un plan perpendiculaire au rayon visuel est dS cosô ; si a dS est la section totale des gouttes répandues sur cet élément, la quantité de lumière correspondante
émise dans l'unité d'ouverture angulaire est égale à /—^ arfS. La quantité émise par l'unité de surface apparente, où l'éclat intrinsèque de la rosée, eslfoLy-^ — r; elle est naturellement proportionnelle à Téclairement Q du Soleil et à la fraction a de surface occupée par les gouttes.
A la distance r, Téclat apparent e de la rosée est donc
4irr*cos6
Si la rosée était répandue, par exemple, sur une surface perpendiculaire aux rayons émanés de la source, et dont la plus courte distance de l'observateur est D = rcosô, on aurait
BROUILLARDS, NUAGES ET PLUIE. i' l
Le même effet a lieu pour la lumière qui a subi deux réfractions et k = p — I réflexions intérieures (745).
L'angle 6 est alors égal à 2(/?r — i) ou à son supplément, suivant que p est pair ou impair, et les sinus ont la même valeur. L'éclat apparent e^ de la rosée relatif à Tensemble de ces phénomènes est donc, en supposant toutefois que Tangle Q soit très différent du rayon des arcs-en-ciel,
OcosO sin
l\TzD* "^ ' sin 6 pcosi — ncosr'
il en résulte, pour Téclat final E, dans rhvpolhèsc de rayons incidents normaux à la surface de rosée,
L\TzD* y * sin6 pcosr — cosij
Au voisinage de la normale, on aurait
La gloire que l'on aperçoit sur la rosée s'affaiblit d'une manière continue à mesure que l'on vise des points plus éloignés de l'ombre portée, parce que les coefficients /et © croissent moins rapidement que l'inverse de cos6.
On pourrait calculer les coefficients y et «p, ainsi que la fraction de lumière polarisée, mais il n'est pas utile d'examiner le phénomène avec plus de précision, car les gouttes n'ont pas tout à fait la forme sphérique et sont généralement un peu écrasées à leur point d'appui, ce qui augmente l'intensité dans la direction de la lumière réfléchie correspondante.
Il est facile de constater, en effet, sur la rosée qui couvre une prairie horizontale, que la gloire présente beaucoup plus d'éclat au voisinage du plan qui passe par le Soleil. Les considérations précédentes suffiront donc pour indiquer le caractère général de ces apparences.
47'>- CHAPITBE XX.
